mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 15, 2016 3:27 pm**

KARKAR έγραψε:36.

$\displaystyle \sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{-x^3+x^2+1}=x^4-x^2+2$

Καλησπέρα!

Από Cauchy-Schwarz έχουμε $2(x^3+x^2-1-x^3+x^2+1) \geq (\sqrt{x^3+x^2-1}+\sqrt{-x^3+x^2+1})^2=(x^4-x^2+2)^2 \Leftrightarrow$

$(x^4-x^2+2)^2 \leq 4x^2 \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow (x^2+2x+2)(x-1)^2 \leq 0$ , και αφού x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$

, πρέπει $(x-1)^2 \leq 0 \Leftrightarrow x=1$ , που επαληθεύει την αρχική.

Άρα, $\boxed{x=1}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 15, 2016 5:04 pm**

37.

$x^3 - 8x - 1 = 2 \sqrt{10 - x^2}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 12:39 pm**

38.

$3 \sqrt[3]{8 - 81x} + 3x^3 = 6x^2 - 4x + 6$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 6:35 pm**

dimplak έγραψε: 37.

$x^3 - 8x - 1 = 2 \sqrt{10 - x^2}$

Διέγραψα τη δημοσίευση λόγω λάθους

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 6:45 pm**

39.

$\displaystyle{\displaystyle \root5\of{x^3+2x}=\root3\of{x^5-2x}}$

http://eisatopon.blogspot.gr/2016/10/21-10-2016_20.html

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 6:56 pm**

40.

$\displaystyle{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{3x-1}=\sqrt[3]{x+1}.}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 8:36 pm**

socrates έγραψε: 40.

$\displaystyle{\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{3x-1}=\sqrt[3]{x+1}.}$

Μιλάμε για $x\geq 1$ . Το x=1

, είναι προφανώς λύση .

Για x>1

, το

, είναι θετικό και το 3x-1

είναι θετικό

και μεγαλύτερο του x+1

, όμοια και οι κυβικές τους ρίζες .

Άρα δεν υπάρχει άλλη λύση .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 10:15 pm**

41.

$\sqrt[3]{5x+22} - \sqrt[3]{5x-22} = \sqrt[3]{8}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 11:14 pm**

dimplak έγραψε: 41.

$\sqrt[3]{5x+22} - \sqrt[3]{5x-22} = \sqrt[3]{8}$

Θέτουμε $5x+22=a^3 \, (1), \,\, 5x-22=b^3 \, (2), \,\, a,b>0$ και έχουμε ότι a-b=2, a^3-b^3=44

.

Έχουμε $a^3-b^3=44 \Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=44 \Leftrightarrow a^2+ab+b^2=22 \Leftrightarrow (a-b)^2+3ab=22 \Leftrightarrow ab=6$ ,

και άρα από την a-b=2

, $(a,b)=(\sqrt{7}+1,\sqrt{7}-1)$ , και εύκολα βρίσκουμε το

(από την (1) ή την (2))

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 16, 2016 11:29 pm**

42.

$x^3 + 1 = 2 \sqrt[3]{2x-1}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 17, 2016 9:33 am**

dimplak έγραψε: 28.

$\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} = x^2 - x + 2$

Μία λύση που σκέφτηκα με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης!

Η εξίσωση γίνεται:

$\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} - x + 1 = x^2 - 2x + 3 \Leftrightarrow$

$\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} - x + 1 = (x - 1)^2 + 2$

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x) = \sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} - x + 1$ και g(x) = (x-1)^2 + 2

και τότε αρκεί να

δείξουμε ότι η

έχει μοναδικό μέγιστο το

για

και η

έχει μοναδικό ελάχιστο το

για

. Για τη

είναι απλό. Για την

έχουμε ότι $x \in [ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} , \frac{\sqrt{5} + 1}{2}]$ άρα x > 0

και:

$f(x) \le 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} - x + 1 \le 2 \Leftrightarrow$

$\sqrt{x^2 + x - 1} + \sqrt{x - x^2 + 1} \le x + 1$ .

Υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε πράξεις οπότε προκύπτει ότι: $2 \sqrt{x^2 + x - 1} \sqrt{x - x^2 + 1} \le x^2 + 1$ .

Υψώνουμε πάλι στο τετράγωνο και με πράξεις προκύπτει τελικά: $(x^2 - 1)^2 \ge 0$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Νοέμ 17, 2016 9:57 pm**

43.

$2(1-x) \sqrt{x^2 +2x - 1} = x^2 - 2x - 1$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 19, 2016 4:21 pm**

44.

$x^5 - 2x + 1 = \sqrt[5]{\frac{1}{x} - 1}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 20, 2016 1:18 am**

45.

$\displaystyle{5\sqrt {{x^2} + 1} + 8\sqrt {1 - {x^2}} = 5\left( {\sqrt {1 + x} + \sqrt {1 - x} } \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 21, 2016 10:10 am**

dimplak έγραψε: 44.

$x^5 - 2x + 1 = \sqrt[5]{\frac{1}{x} - 1}$

Kαλημέρα
Είναι $0< x\leq 1$ και x=1

μια λύση της εξίσωσης

Θεωρώ τη συνάρτηση

$f(x)=x^{5}-2x+1,f(x)>0,0<x<1, f(x)=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-1)=(x-1)\Sigma (x), \Sigma (x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-1<0,\Sigma '(x)>0,$

Υπάρχει $\rho \epsilon \left ( 0,1 \right ),\Sigma (\rho )=0, x\epsilon (0,\rho ),\Sigma (x)<0$

Οπότε μοναδική λύση η x=1

Γιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 21, 2016 11:32 pm**

46.

$1 + \frac{1}{x} + 5x = 4 \sqrt{x^2 + x + 2}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 23, 2016 11:30 am**

dimplak έγραψε: 46.

$1 + \frac{1}{x} + 5x = 4 \sqrt{x^2 + x + 2}$

Καλημέρα Δημήτρη

Θέτω $x+1+\dfrac{1}{x}=w,x>0,w>0$ και η δοθείσα εξίσωση γράφεται
$w+4x=4\sqrt{xw+1}\Leftrightarrow (w-4x)^{2}=16\Leftrightarrow w-4x=4,(1), w-4x=-4,(2) (1)\Leftrightarrow 3x^{2}-5x-1=0,x=\dfrac{5+\sqrt{37}}{6},x=\dfrac{5-\sqrt{37}}{6}, (2)\Leftrightarrow 3x^{2}-5x-1=0,x=\dfrac{5+\sqrt{37}}{6},x=\dfrac{5-\sqrt{37}}{6}<0$

Γιάννης