mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 05, 2025 12:26 pm**

ΔΕΝ ΑΠΑΝΤΩ.
Παραπέμπω στο ποστ 119.

Νίκος Κυριαζής

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 10, 2025 4:33 pm**

Νέα Απόδειξη Γνωστης Πρότασης.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β25 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β25. Κάθε τρίγωνο και το ορθικό τρίγωνο του ορθικού του τριγώνου, είναι ομλογικά.

Δική μου νέα απόδίιξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Τα Μαθηματικά κλειδί ανάπτυξης.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 15, 2025 11:20 am**

Απόδειξη της παραπάνω Πρότασης Β25

Αγαπητοί φίλοι,
Πρωτοεμφανιζόμενη απόδειξη μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 4, Σελίδα βιβλίου 65, ψηφιακή 71, Πρόταση 4η(52),

Ή,πιο ευκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1rjw3sG ... uNym9/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 65, ψηφιακή 71, παράγραφος 4η(52).

Παρακαλώ για τις δικές σας νέες αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Το λίκνο της Θεωρητικής Γεωμετρίας, είναι η Αρχαία Ελλάδα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 21, 2025 12:02 pm**

Γενίκευση Γνωστης Πρότασης.

Αγαπητοί φίλοι,
αναρτώ παρακάτω την Πρόταση Β26 και ζητώ την απόδειξή της και τα καλοπροαίρετα σχόλιά σας:

β26. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους μία προς μία παράλλες και τρείς σεβιανκες του ενός είναι παράλληλες μία προς μία με αντίστοιχες σεβιανές του άλλου τιγώνου, τότε αν οι παραπάνω σεβιανές του ενός τριγώνου συντρέχουν, θα συντρέχου και οι σεβιανές του άλλου τριγώνου.

Δική μου απόδίιξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Καμία άλλη επιστήμη δεν συνδυάζει τόσο τέλεια την χάρη, την αρμονία και την αδιαφιλονίκητη λογική και κριτική σκέψη, όσο η Ευκλείδεια Γεωμετρία.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 21, 2025 10:22 pm**

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Πέμ Αύγ 21, 2025 12:02 pm
β26. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους μία προς μία παράλλες και τρείς σεβιανκες του ενός είναι παράλληλες μία προς μία με αντίστοιχες σεβιανές του άλλου τιγώνου, τότε αν οι παραπάνω σεβιανές του ενός τριγώνου συντρέχουν, θα συντρέχου και οι σεβιανές του άλλου τριγώνου.

.

: Ceva x 2.png (25.89 KiB) Προβλήθηκε 3026 φορές

.
Είναι άμεσο από την Τριγωνομετρική μορφή του Θεωρήματος Ceva: Λόγω των παραλληλιών όλες οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες. Έτσι η παράσταση $\displaystyle{\dfrac {\sin A_1}{\sin A_2}\dfrac {\sin B_1}{\sin B_2}\dfrac {\sin C_1}{\sin C_2}}$ του ενός τριγώνου είναι ΑΚΡΙΒΩΣ η ίδια για του άλλου. Οπότε αν ισούται με

για το ένα τρίγωνο, είναι

και για το άλλο. Τελειώσαμε.

Αν δεν θέλουμε την Τριγωνομετρική μορφή του Θεωρήματος Ceva, αλλά την κανονική, είναι εξ ίσου άμεσο: Από την ομοιότητα των τριγώνων του σχήματος (έχουν μάλιστα όλα τον ίδιο λόγο ομοιότητας) είναι $\dfrac {BD}{DC} = \dfrac {B'D'}{D'C'}$ και κυκλικά. Οπότε το γινόμενο των μεν είναι ίσο με το γινόμενο των δε. Αν είναι

το ένα γινόμενο, τότε είναι

και το άλλο. Τελειώσαμε.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 22, 2025 12:16 am**

H ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι επιστήμη όπως η Φυσική, Χημεία , Βιολογία κτλ...Είναι κλάδος των Μαθηματικών.
Καλό είναι να μην δημιουργούμε παρανοήσεις...

Καμία άλλη επιστήμη δεν συνδυάζει τόσο τέλεια την χάρη, την αρμονία και την αδιαφιλονίκητη λογική και κριτική σκέψη, όσο η Ευκλείδεια Γεωμετρία. [/b]

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 22, 2025 8:41 am**

mick7 έγραψε: Παρ Αύγ 22, 2025 12:16 am H ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι επιστήμη όπως η Φυσική, Χημεία , Βιολογία κτλ...Είναι κλάδος των Μαθηματικών.
Καλό είναι να μην δημιουργούμε παρανοήσεις...

Καμία άλλη επιστήμη δεν συνδυάζει τόσο τέλεια την χάρη, την αρμονία και την αδιαφιλονίκητη λογική και κριτική σκέψη, όσο η Ευκλείδεια Γεωμετρία.

.
mick7 ομολογώ ότι δεν κατανοώ την ένστασή σου: Η Γεωμετρία ως κλάδος των Μαθηματικών κληρονομεί τον χαρακτηρισμό της επιστήμης. Για παράδειγμα η Ιατρική είναι κλάδος της Βιολογίας, αλλά κανείς δεν έχει αντίρρηση στον ισχυρισμό ότι η Ιατρική κληρονομεί τον χαρακτηρισμό ως επιστήμη. Όμοια, η Αστροφυσική είναι κλάδος της Φυσικής, αλλά όλοι συμφωνούν ότι είναι επιστήμη. Με λίγα λόγια, δεν βλέπω καμία δημιουργία παρανόησης στην παραπάνω φράση. Είναι ωραιότατη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 23, 2025 10:51 am**

Αγαπητέ/ή mick7, σχετικά με το παραπάνω σχόλιό σου έχω να πω τα ακόλουθα:

α. Συμφωνώ απόλυτα με το παραπάνω σχετικό σχόλιο του Μιχ. Λάμπρου.

β. Σύμφωνα με αυτά που έχω διαβάσει, κάθε επιστήμη, για να είναι πραγματικά επιστήμη, πρέπει να στηρίζεται σε δύο πυλώνες: Στην απόδειξη των Προβλημάτων της και στην αξιωματική της θεμελίωση.
Από τότε που ο Θαλής ανακάλυψε την απόδεικτική διαδικασία και την εφάρμοσε πρώτα στη Γεωμετρία και ο Ευκλείδης που την θεμελίωσε αξιωματικά με τα «Στοιχεία» του η γεωμετρία έγινε επιστήμη και μάλιστα η πρώτη επιστήμη. Μετά ακολούθησαν άλλες, οι οποίες όμως δε βασίζονται στους παραπάνω δύο πυλώνες και για αυτό βρίσκονται σε ένα είδος σύγχυσης.

γ. Σε διάφορα βιβλία η Ευκλείδεια Γεωμετρία αναφέρεται ως επιστήμη.
Για παράδειγμα στην εισαγωγή (σελ. 12) του βιβλίου [1] αναγράφεται: Η ανακάλυψη από τους Έλληνες της αποδεικτικής διαδικασίας ανέβασε την Γεωμετρία στο επίπεδο της επιστήμης. Στο ίδιο βιβλίο σε άλλη θέση, την αποκαλεί πιο ζωντανή επιστήμη..
Στον πρόλογο (σελ. 1) του ίδιου βιβλίου [2] αναγράφεται: Πέρα όμως από την καθαρά επιστημονική σημασία, η Γεωμετρία θεωρείται ……... Στη παράγραφο 1,2 (σελ. 8) του βιβλίου [2] αναγράφεται: Οι Αρχαίοι Έλληνες ήταν οι πρώτοι που έκαναν αποφασιστική πρόοδο στην ανάπτυξη της Γεωμετρίας ως μια επιστήμη ανε-ξάρτητη…..

δ. Ο Φιλόλαος ισχυρίζεται ότι: Η Γεωμετρία αρχή και μητρόπολης ούσα των άλλων επιστημών επαναφέρει και καθοδηγεί την διάνοια…….

ε. Ο Pascal έλεγε ότι, «Η Γεωμετρία είναι σχεδόν η μόνη από τις επιστήμες που δίνει αλάνθαστα συμπεράσματα, γιατί αυτή μόνο ακολουθεί μια πραγματική μέθοδο, ενώ όλες οι άλλες βρίσκονται σε ένα είδος σύγχυσης...., Διάλεξα την επιστήμη αυτή, γιατί μόνο αυτή γνωρίζει τους πραγματικούς νόμους της λογικής».

στ. Κάπου αλλού, (δε θυμάμαι που), αναγράφεται ότι: Με την Γεωμετρία αναπτύσσεται η ερευνητική ικανότητα, η κρίση και η λογική σκέψη. Είναι ίσως η μόνη επιστήμη που ασκεί το πνεύμα με απόλυτη αυστηρότητα.

Δεν είναι δυνατό όλοι αυτοί να έκαναν λάθος. Θα τα ανατρέψουμε όλα επειδή αυτό μας εξυπηρετεί;

ζ. Για την χώρα μας η ευκλείδεια γεωμετρία αποτελεί μεγάλη κληρονομιά - παράδοση και με αυτή έχει προβληθεί και προβάλλεται σε όλο τον κόσμο. Υποχρέωσή μας, ως Έλληνες. είναι να την προάγουμε και όχι να τη «σαμποτάρουμε».
Η Ευκλείδειος Γεωμετρία «είναι οι ρίζες μας», γι’ αυτό πρέπει να γυρίσουμε σε αυτή. Το mathematica πρωταγωνιστεί.

η. Η Ελλάδα θεωρείται διεθνώς κοιτίδα και χορηγός της Μαθηματικής σκέψης και δεν επιτρέπεται σήμερα καμιά υστέρηση από Έλληνες.
Από όσα γράφονται εδώ στο mathematica, αποδεικνύεται, ότι για μια φορά ακόμη, η Γεωμετρία ζει και αναπτύσσεται, σε πείσμα των εχθρών της.

Βιβλιογραφία.
[1]. Η Γεωμετρία στην Αρχαία Ελλάδα του Δημ. Τσιμπουράκη 1985.
[2]. Βασικές Έννοιες της Γεωμετρίας των Δημ. Κοντογιάννη και Βαγ. Ντζιαχρήστου 1995.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 8:23 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Αύγ 21, 2025 10:22 pm
ΝΙΚΟΣ έγραψε: Πέμ Αύγ 21, 2025 12:02 pm
β26. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους μία προς μία παράλλες και τρείς σεβιανκες του ενός είναι παράλληλες μία προς μία με αντίστοιχες σεβιανές του άλλου τιγώνου, τότε αν οι παραπάνω σεβιανές του ενός τριγώνου συντρέχουν, θα συντρέχου και οι σεβιανές του άλλου τριγώνου.
.
Ceva x 2.png
.
Είναι άμεσο από την Τριγωνομετρική μορφή του Θεωρήματος Ceva: Λόγω των παραλληλιών όλες οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες. Έτσι η παράσταση $\displaystyle{\dfrac {\sin A_1}{\sin A_2}\dfrac {\sin B_1}{\sin B_2}\dfrac {\sin C_1}{\sin C_2}}$ του ενός τριγώνου είναι ΑΚΡΙΒΩΣ η ίδια για του άλλου. Οπότε αν ισούται με για το ένα τρίγωνο, είναι και για το άλλο. Τελειώσαμε.

Αν δεν θέλουμε την Τριγωνομετρική μορφή του Θεωρήματος Ceva, αλλά την κανονική, είναι εξ ίσου άμεσο: Από την ομοιότητα των τριγώνων του σχήματος (έχουν μάλιστα όλα τον ίδιο λόγο ομοιότητας) είναι $\dfrac {BD}{DC} = \dfrac {B'D'}{D'C'}$ και κυκλικά. Οπότε το γινόμενο των μεν είναι ίσο με το γινόμενο των δε. Αν είναι το ένα γινόμενο, τότε είναι και το άλλο. Τελειώσαμε.

Η άποψή μου:
α. Καλό είναι εδώ μόνο Γεωμετρία.
β. Για την παραπάνω Γεωμετρική απόδειξη δεν πρέπει να δικαιολογήσουμε γιατί είναι ίσοι οι δύο λόγοι;
Η παραπάνω Γεωμετρική απόδειξη προφανώς αποτελεί υπόδειξη μη επιτρεπόμενη και από τον κανονισμό, αλλά και δυσκολονόητη από μαθητές.
Συνεπώς, αν γίνει με πληρότητα δε τελειώνει τόσο άμεσα.

Νίκος Κυριαζής

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 9:18 am**

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 8:23 am
Η παραπάνω Γεωμετρική απόδειξη προφανώς αποτελεί υπόδειξη μη επιτρεπόμενη και από τον κανονισμό, αλλά και δυσκολονόητη από μαθητές.
Συνεπώς, αν γίνει με πληρότητα δε τελειώνει τόσο άμεσα.

.
H παραπάνω δεν είναι υπόδειξη αλλά ΠΛΗΡΗΣ απόδειξη.Το να προσέθετα ότι τα τρίγωνα με παράλληλες πλευρές είναι όμοια, περιττεύει ως αυτονόητο και γνωστότατο. Και αν ακόμη τα όμοια τρίγωνα έχουν κοινές πλευρές (όπως είναι τα έξι τρίγωνα που προκύπτουν από τις πλευρές και τις σεβιανές) τότε τα αντίστοιχα τους έχουν ίδιο λόγο ομοιότητας, είναι εξ ίσου αυτονόητο και προφανές: Κοινές πλευρές ίσον κοινοί λόγοι στην ομοιότητα.

Οτιδήποτε παραπάνω από αυτά που έγραψα είναι πλατειασμός, μη συμβατός με το αγαθό των Μαθηματικών, όπου οι αποδείξειες πρέπει να είναι λιτές, και να περιέχουν μόνο την ουσία.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 10:15 am**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 9:18 am
ΝΙΚΟΣ έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 8:23 am
Η παραπάνω Γεωμετρική απόδειξη προφανώς αποτελεί υπόδειξη μη επιτρεπόμενη και από τον κανονισμό, αλλά και δυσκολονόητη από μαθητές.
Συνεπώς, αν γίνει με πληρότητα δε τελειώνει τόσο άμεσα.
.
H παραπάνω δεν είναι υπόδειξη αλλά ΠΛΗΡΗΣ απόδειξη.Το να προσέθετα ότι τα τρίγωνα με παράλληλες πλευρές είναι όμοια, περιττεύει ως αυτονόητο και γνωστότατο. Και αν ακόμη τα όμοια τρίγωνα έχουν κοινές πλευρές (όπως είναι τα έξι τρίγωνα που προκύπτουν από τις πλευρές και τις σεβιανές) τότε τα αντίστοιχα τους έχουν ίδιο λόγο ομοιότητας, είναι εξ ίσου αυτονόητο και προφανές: Κοινές πλευρές ίσον κοινοί λόγοι στην ομοιότητα.

Οτιδήποτε παραπάνω από αυτά που έγραψα είναι πλατειασμός, μη συμβατός με το αγαθό των Μαθηματικών, όπου οι αποδείξειες πρέπει να είναι λιτές, και να περιέχουν μόνο την ουσία.

Απορία μου:
Στα δύο σχήματα έχουμε συνολικά δεκατέσσερα τρίγωνα.
Στην ομοιότητα ποιών ζευγών τριγώνων αναφέρεσαι, και γιατί είναι όμοια;
Ένας έμπειρος Γεωμέτρης μπορεί να μαντέψει σε ποια ζεύγη τριγώνων αναφέρεσαι, όμως ένας μη έμπειρος; Ένας μαθητής; Δε θα τους πούμε ποιά;

Νίκος Κυριαζής

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 10:54 am**

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 10:15 am
Στην ομοιότητα ποιών ζευγών τριγώνων αναφέρεσαι, και γιατί είναι όμοια;

.
Θα κάνω άλλη μία προσπάθεια αν και νοιώθω ότι πρέπει να εξηγήσω τα αυτονόητα. Ας κάνω λοιπόν την ανάλυσή μου με εποπτικό τρόπο:

'Εχουμε δύο όμοια τρίγωνα (παράλληλες πλευρές) χωρισμένα σε μικρότερα τρίγωνα με παράλληλες, αντίστοιχα, σεβιανές.

Έστω, χωρίς βλάβη, ότι το δεύτερο τρίγωνο είναι μεγαλύτερο από το πρώτο. Είναι δηλαδή το δεύτερο τρίγωνο σαν να βλέπουμε το πρώτο μέσα από έναν μεγεθυντικό φακό.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι τα τρίγωνα και υποτρίγωνα που βλέπουμε μέσα από τον μεγεθυντικό φακός είναι με απόλυτα καθορισμένη αντιστοιχία; Δηλαδή ότι ο μεγεθυντικός μας φακός δεν τα ανακάτεψε; Για φαντάσου δηλαδή να κοιτάς ένα ουράνιο τόξο μέσα από κυάλια, και ξαφνικά τα χρώματα μέσα από τα κυάλια να είναι με άλλη σειρά από αυτά που βλέπεις στον ουρανό. Δεν γίνεται! Η αντιστοιχία είναι απόλυτα καθορισμένη.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι όσο μεγεθύνθηκε κάποιο από τα επιμέρους τρίγωνα, τότε και το διπλανό του μεγεθύνθηκε κατά ακριβώς τον ίδιο λόγο; Δηλαδή, αν για παράδειγμα ο φακός διπλασιάσει ένα τρίγωνο τότε θα διπλασιάσει και το διπλανό του που μοιράζεται κοινή πλευρά με αυτό; Προφανές.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι αν οι σεβιανές του ενός τριγώνου συντρέχουν τότε συντρέχουν και του άλλου, δηλαδή ότι ο μεγεθυντικός μας φακός δεν θα ξεκολλήσει ξαφνικά τις συγκλίνουσες και θα τις κάνει μη συγκλίνουσες στο άλλο τρίγωνο; Προφανώς δεν γίνεται.

Νομίζω πως κανείς δεν θα αμφιβάλει για το αληθές αυτών που ισχυρίζομαι. Κανείς δεν θα χρειαστεί βοήθεια να κατανοήσει τα παραπάνω. Είναι ΑΥΤΟΝΟΗΤΑ, ΠΡΟΦΑΝΗ ΚΑΙ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΑ. Περισσότερη εξήγηση είναι πλατειασμός, ασύμβατος με την καλή Μαθηματική πρακτική.

Εδώ τελειώνουν τα επιχειρήματά μου. Δεν μπορώ να κάνω τα πράγματα πιο απλά.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 3:24 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 10:54 am
ΝΙΚΟΣ έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 10:15 am
Στην ομοιότητα ποιών ζευγών τριγώνων αναφέρεσαι, και γιατί είναι όμοια;
.
Θα κάνω άλλη μία προσπάθεια αν και νοιώθω ότι πρέπει να εξηγήσω τα αυτονόητα. Ας κάνω λοιπόν την ανάλυσή μου με εποπτικό τρόπο:

'Εχουμε δύο όμοια τρίγωνα (παράλληλες πλευρές) χωρισμένα σε μικρότερα τρίγωνα με παράλληλες, αντίστοιχα, σεβιανές.

Έστω, χωρίς βλάβη, ότι το δεύτερο τρίγωνο είναι μεγαλύτερο από το πρώτο. Είναι δηλαδή το δεύτερο τρίγωνο σαν να βλέπουμε το πρώτο μέσα από έναν μεγεθυντικό φακό.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι τα τρίγωνα και υποτρίγωνα που βλέπουμε μέσα από τον μεγεθυντικό φακός είναι με απόλυτα καθορισμένη αντιστοιχία; Δηλαδή ότι ο μεγεθυντικός μας φακός δεν τα ανακάτεψε; Για φαντάσου δηλαδή να κοιτάς ένα ουράνιο τόξο μέσα από κυάλια, και ξαφνικά τα χρώματα μέσα από τα κυάλια να είναι με άλλη σειρά από αυτά που βλέπεις στον ουρανό. Δεν γίνεται! Η αντιστοιχία είναι απόλυτα καθορισμένη.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι όσο μεγεθύνθηκε κάποιο από τα επιμέρους τρίγωνα, τότε και το διπλανό του μεγεθύνθηκε κατά ακριβώς τον ίδιο λόγο; Δηλαδή, αν για παράδειγμα ο φακός διπλασιάσει ένα τρίγωνο τότε θα διπλασιάσει και το διπλανό του που μοιράζεται κοινή πλευρά με αυτό; Προφανές.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι αν οι σεβιανές του ενός τριγώνου συντρέχουν τότε συντρέχουν και του άλλου, δηλαδή ότι ο μεγεθυντικός μας φακός δεν θα ξεκολλήσει ξαφνικά τις συγκλίνουσες και θα τις κάνει μη συγκλίνουσες στο άλλο τρίγωνο; Προφανώς δεν γίνεται.

Νομίζω πως κανείς δεν θα αμφιβάλει για το αληθές αυτών που ισχυρίζομαι. Κανείς δεν θα χρειαστεί βοήθεια να κατανοήσει τα παραπάνω. Είναι ΑΥΤΟΝΟΗΤΑ, ΠΡΟΦΑΝΗ ΚΑΙ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΑ. Περισσότερη εξήγηση είναι πλατειασμός, ασύμβατος με την καλή Μαθηματική πρακτική.

Εδώ τελειώνουν τα επιχειρήματά μου. Δεν μπορώ να κάνω τα πράγματα πιο απλά.

Αντιλαμβανόμαστε τι θέλετε να πείτε. Δηλαδή την απόδειξη προσπαθείτε να κάνετε διαισθητικά.
Συγνώμη όμως, με διαίσθηση, με μεγεθυντικό φακό και με ουράνιο τόξο στη γεωμετρία αποδείξεις, δεν έχουμε συναντήσει.
Έχουμε συναντήσει μόνο ορισμένα τρίγωνα, που λέμε ότι είναι όμοια, εάν και εφόσον όμως αποδείξουμε ότι είναι όμοια.

Νίκος Κυριαζής

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 3:36 pm**

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 3:24 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 10:54 am
ΝΙΚΟΣ έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 10:15 am
Στην ομοιότητα ποιών ζευγών τριγώνων αναφέρεσαι, και γιατί είναι όμοια;
.
Θα κάνω άλλη μία προσπάθεια αν και νοιώθω ότι πρέπει να εξηγήσω τα αυτονόητα. Ας κάνω λοιπόν την ανάλυσή μου με εποπτικό τρόπο:

'Εχουμε δύο όμοια τρίγωνα (παράλληλες πλευρές) χωρισμένα σε μικρότερα τρίγωνα με παράλληλες, αντίστοιχα, σεβιανές.

Έστω, χωρίς βλάβη, ότι το δεύτερο τρίγωνο είναι μεγαλύτερο από το πρώτο. Είναι δηλαδή το δεύτερο τρίγωνο σαν να βλέπουμε το πρώτο μέσα από έναν μεγεθυντικό φακό.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι τα τρίγωνα και υποτρίγωνα που βλέπουμε μέσα από τον μεγεθυντικό φακός είναι με απόλυτα καθορισμένη αντιστοιχία; Δηλαδή ότι ο μεγεθυντικός μας φακός δεν τα ανακάτεψε; Για φαντάσου δηλαδή να κοιτάς ένα ουράνιο τόξο μέσα από κυάλια, και ξαφνικά τα χρώματα μέσα από τα κυάλια να είναι με άλλη σειρά από αυτά που βλέπεις στον ουρανό. Δεν γίνεται! Η αντιστοιχία είναι απόλυτα καθορισμένη.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι όσο μεγεθύνθηκε κάποιο από τα επιμέρους τρίγωνα, τότε και το διπλανό του μεγεθύνθηκε κατά ακριβώς τον ίδιο λόγο; Δηλαδή, αν για παράδειγμα ο φακός διπλασιάσει ένα τρίγωνο τότε θα διπλασιάσει και το διπλανό του που μοιράζεται κοινή πλευρά με αυτό; Προφανές.

Είναι κανείς που αμφιβάλει ότι αν οι σεβιανές του ενός τριγώνου συντρέχουν τότε συντρέχουν και του άλλου, δηλαδή ότι ο μεγεθυντικός μας φακός δεν θα ξεκολλήσει ξαφνικά τις συγκλίνουσες και θα τις κάνει μη συγκλίνουσες στο άλλο τρίγωνο; Προφανώς δεν γίνεται.

Νομίζω πως κανείς δεν θα αμφιβάλει για το αληθές αυτών που ισχυρίζομαι. Κανείς δεν θα χρειαστεί βοήθεια να κατανοήσει τα παραπάνω. Είναι ΑΥΤΟΝΟΗΤΑ, ΠΡΟΦΑΝΗ ΚΑΙ ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΑ. Περισσότερη εξήγηση είναι πλατειασμός, ασύμβατος με την καλή Μαθηματική πρακτική.

Εδώ τελειώνουν τα επιχειρήματά μου. Δεν μπορώ να κάνω τα πράγματα πιο απλά.

Αντιλαμβανόμαστε τι θέλετε να πείτε. Δηλαδή την απόδειξη προσπαθείτε να κάνετε διαισθητικά.
Συγνώμη όμως, με διαίσθηση, με μεγεθυντικό φακό και με ουράνιο τόξο στη γεωμετρία αποδείξεις, δεν έχουμε συναντήσει.
Έχουμε συναντήσει μόνο ορισμένα συγκεκριμένα τρίγωνα, που λέμε ότι είναι όμοια, εάν και εφόσον όμως αποδείξουμε ότι είναι όμοια.

Νίκος Κυριαζής

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 5:41 pm**

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 3:36 pm Αντιλαμβανόμαστε τι θέλετε να πείτε. Δηλαδή την απόδειξη προσπαθείτε να κάνετε διαισθητικά.
Συγνώμη όμως, με διαίσθηση, με μεγεθυντικό φακό και με ουράνιο τόξο στη γεωμετρία αποδείξεις, δεν έχουμε συναντήσει.
Έχουμε συναντήσει μόνο ορισμένα συγκεκριμένα τρίγωνα, που λέμε ότι είναι όμοια, εάν και εφόσον όμως αποδείξουμε ότι είναι όμοια.

.

: εξήγηση των προφανών.png (11.02 KiB) Προβλήθηκε 2822 φορές

.
Έγραψα εποπτική θεώρηση για να δώσω με χειροπιαστό τρόπο να γίνει κατανοητό το τετριμμένο, παρότι η αρχική μου απόδειξη είναι πλήρης και απλούστατη. Και δεν χρειάζεται συμπλήρωση.

Ας γράψω λοιπόν τα τετριμμένα που κατηγορούμαι ότι εργάζομαι διαισθητικά, αποφεύγοντας την σωστή Γεωμετρία. Θα είμαι αναλυτικός σε υπερθετικό βαθμό αφού απέτυχα γράφοντας μόνο όσα είναι απαραίτητα.

Έχουμε δύο τρίγωνα ABC, A'B'C'

με παράλληλες πλευρές. Τα τρίγωνα περιέχουν από μία σεβιανή AD, A'D'

οι οποίες είναι επίσης παράλληλες. Θέλουμε να δείξουμε διάφορες ομοιότητες και μάλιστα ότι έχουν τον ίδιο λόγο ομοιότητας. Συγκεκριμένα:

Είναι προφανές ότι το ζεύγος των τριγώνων ABC, A'B'C'

είναι όμοια (εξηγώ παρακάτω για την απίθανη περίπτωση που κάποιος δεν το βλέπει, παρόλο που είναι ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟ). Επίσης το ζεύγος ABD, A'B'D'

, και ακόμη το ζεύγος ADC, A'D'C'

είναι όμοια. Πράγματι:

Αφού οι γωνίες με παράλληλες πλευρές είναι ίσες (για παράδειγμα οι κόκκινες) έχουμε $\widehat {A} = \widehat {A'}$ , και $\widehat {B} = \widehat {B'}$ και $\widehat {C} = \widehat {C'}$ . Αυτό δείχνει την ομοιότητα των ABC, A'B'C'

.

Επίσης αφού, πάλι λόγω παραλληλίας, είναι $\widehat {B} = \widehat {B'}$ και $\widehat {BAD} = \widehat {BA'D'}$ και $\widehat {ADB} = \widehat {A'D'B'}$ . Αυτό δείχνει την ομοιότητα των ABD, A'B'D'

.

Όμοια και η τρίτη.

Μένει να δείξουμε ότι οι λόγοι ομοιότητας των παραπάνω τριών ομοιοτήτων είναι ίσοι.

Από την ομοιότητα των ABC, A'B'C'

έχουμε

$\dfrac {a}{a'} = \dfrac {b}{b'} = {\color {red} \dfrac {c}{c'}}$ (1)

Από την ομοιότητα των ABD, A'B'D'

έχουμε

${\color {red} \dfrac {c}{c'}} = \dfrac {d}{d'} = \dfrac {x}{x'}$ (2)

Από την ομοιότητα των ADC, A'D'C'

έχουμε

$\dfrac {d}{d'} = \dfrac {b}{b'} = \dfrac {y}{y'}$ (3)

Tώρα, οι (1),(2), (3) έχουν κοινούς όρους. Π.χ. οι δύο πρώτες έχουν τους $\dfrac {c}{c'}$ και η πρώτη με την τρίτη έχουν τους $\dfrac {b}{b'}$ . Υπάρχουν και άλλοι αλλά αρκούν αυτοί.

Έπεται λοιπόν το ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟ

$\boxed {\dfrac {a}{a'} = \dfrac {b}{b'} = \dfrac {c}{c'} = \dfrac {d}{d'} = \dfrac {x}{x'} = \dfrac {y}{y'}}$

Αυτό δείχνει την ζητούμενη ισότητα των λόγων ομοιότητας. Στην εποπτική μου ερμηνεία ήταν το σημείο που έλεγε "όσο μεγεθύνθηκε κάποιο από τα επιμέρους τρίγωνα, τότε και το διπλανό του μεγεθύνθηκε κατά ακριβώς τον ίδιο λόγο. Δηλαδή, αν για παράδειγμα ο φακός διπλασιάσει ένα τρίγωνο τότε θα διπλασιάσει και το διπλανό του που μοιράζεται κοινή πλευρά με αυτό". Αφού δεν έγινε κατανοητό ούτε με την βοήθεια της εποπτείας (που περίττευε γιατί η αρχική μου απόδειξή μου είναι πλήρης), έγραψα το πλεονάζον για να αρθούν οι αμφιβολίες.

ΤΟΣΟ ΑΠΛΑ.

Συνοψίζοντας: Έχω κάνει στο ποστ #125 δύο πλήρεις και σωστές αποδείξεις. Δεν έγιναν κατανοητές. Κατόπιν έδωσα εποπτική ερμηνεία που διευκολύνει να γίνουν κατανοητές οι δύο αποδείξεις μου. Ούτε αυτό τελεσφόρησε. Οπότε τώρα έγραψα πλατειάζοντας, κατά παράβαση των σωστών Μαθηματικών, μία απόδειξη με όσο πιο απλά λόγια μπορώ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 6:21 pm**

$\bullet$ Ας μου επιτραπεί να πω , χωρίς να θέλω να γίνω παρεμβατικός , ότι ο κύριος Λάμπρου είναι πολύ ευγενικός, σε συνάρτηση με τα ειρωνικά και σχεδόν υπόγεια υποτιμητικά σχόλια που εισέπραξε. Κάνω αυτή την τοποθέτηση, γιατί πλέον έχει εκτραχυνθεί αυτή η κατάσταση με τις συσσωρευμένες αιχμές προς τον κύριο Λάμπρου (ο οποίος απαντά πάντα με αξιοπρέπεια δίχως να ανταποδίδει) και κατ' επέκταση, αυτό το επαναλαμβανόμενο μοτίβο τείνει να καταλήξει σε ένα γραφικό στοιχείο που αφήνει το (αρνητικό) στίγμα του στο φόρουμ.
$\bullet$ Προσπαθείτε κύριε Κυριαζή να κάνετε μάθημα λογικής στον κύριο Λάμπρου , λες και είναι κανένα μαθητούδι που του παραδίδετε μάθημα . Δεν το έχει ανάγκη ο κύριος Λάμπρου να σας απολογηθεί για τίποτα, άλλωστε η δική μου τοποθέτηση δεν αφορά την υποστήριξη του κυρίου Λάμπρου, προφανώς επειδή δεν χρειάζεται κανέναν για να υπερασπιστεί τη θέση του. Το γεγονός όμως ότι το κάνει και εξηγεί τα πάντα απολύτως τεκμηριωμένα ,αψηφώντας τα αρνητικά σχόλια που λαμβάνει κατ' εξακολούθηση, δείχνει πως παραμένει ανέγγιχτη η επιστημονική του ακεραιότητα, ακόμα κι αν δέχεται έναν καταιγισμό από χτυπήματα κάτω από τη ζώνη.
$\bullet$ Κάπου εδώ να επισημάνω ότι είμαστε επιστήμονες και δεν μας τιμά να μας εκμαιεύει κάποιος μια συγγνώμη μετά από αρκετές προσπάθειες .Έτσι ευτελίζουμε την έννοια της συγγνώμης, μετατοπίζοντας την ευθύνη σε εκείνον με τον οποίο αντιπαρατεθήκαμε. Και το χειρότερο; Χειραγωγούμε εμμέσως τους αναγνώστες που δεν έχουν βρει ακόμα την επιστημονική τους ταυτότητα (μαθητές κατά κύριο λόγο) και χρειάζονται σωστή καθοδήγηση , με σκοπό να καταφέρουν τους στόχους τους. Ελπίζω πως ο καθένας είναι σε θέση να κρίνει από μόνος του την αξιοπιστία της εκάστοτε ανάρτησης εδώ στο

, γιατί οι μαθητές είναι κι εκείνοι σκεπτόμενοι άνθρωποι και διαθέτουν κρίση.
Φιλικά πάντα.
Δημήτρης.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 7:42 pm**

Dimessi έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 6:21 pm $\bullet$ Ας μου επιτραπεί να πω , χωρίς να θέλω να γίνω παρεμβατικός , ότι ο κύριος Λάμπρου είναι πολύ ευγενικός, σε συνάρτηση με τα ειρωνικά και σχεδόν υπόγεια υποτιμητικά σχόλια που εισέπραξε. Κάνω αυτή την τοποθέτηση, γιατί πλέον έχει εκτραχυνθεί αυτή η κατάσταση με τις συσσωρευμένες αιχμές προς τον κύριο Λάμπρου (ο οποίος απαντά πάντα με αξιοπρέπεια δίχως να ανταποδίδει) και κατ' επέκταση, αυτό το επαναλαμβανόμενο μοτίβο τείνει να καταλήξει σε ένα γραφικό στοιχείο που αφήνει το (αρνητικό) στίγμα του στο φόρουμ.
$\bullet$ Προσπαθείτε κύριε Κυριαζή να κάνετε μάθημα λογικής στον κύριο Λάμπρου , λες και είναι κανένα μαθητούδι που του παραδίδετε μάθημα . Δεν το έχει ανάγκη ο κύριος Λάμπρου να σας απολογηθεί για τίποτα, άλλωστε η δική μου τοποθέτηση δεν αφορά την υποστήριξη του κυρίου Λάμπρου, προφανώς επειδή δεν χρειάζεται κανέναν για να υπερασπιστεί τη θέση του. Το γεγονός όμως ότι το κάνει και εξηγεί τα πάντα απολύτως τεκμηριωμένα ,αψηφώντας τα αρνητικά σχόλια που λαμβάνει κατ' εξακολούθηση, δείχνει πως παραμένει ανέγγιχτη η επιστημονική του ακεραιότητα, ακόμα κι αν δέχεται έναν καταιγισμό από χτυπήματα κάτω από τη ζώνη.
$\bullet$ Κάπου εδώ να επισημάνω ότι είμαστε επιστήμονες και δεν μας τιμά να μας εκμαιεύει κάποιος μια συγγνώμη μετά από αρκετές προσπάθειες .Έτσι ευτελίζουμε την έννοια της συγγνώμης, μετατοπίζοντας την ευθύνη σε εκείνον με τον οποίο αντιπαρατεθήκαμε. Και το χειρότερο; Χειραγωγούμε εμμέσως τους αναγνώστες που δεν έχουν βρει ακόμα την επιστημονική τους ταυτότητα (μαθητές κατά κύριο λόγο) και χρειάζονται σωστή καθοδήγηση , με σκοπό να καταφέρουν τους στόχους τους. Ελπίζω πως ο καθένας είναι σε θέση να κρίνει από μόνος του την αξιοπιστία της εκάστοτε ανάρτησης εδώ στο , γιατί οι μαθητές είναι κι εκείνοι σκεπτόμενοι άνθρωποι και διαθέτουν κρίση.
Φιλικά πάντα.
Δημήτρης.

Έτσι ακριβώς Κ. Δημήτρη !

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 8:23 pm**

Dimessi έγραψε: Σάβ Αύγ 30, 2025 6:21 pm $\bullet$ Ας μου επιτραπεί να πω , χωρίς να θέλω να γίνω παρεμβατικός , ότι ο κύριος Λάμπρου είναι πολύ ευγενικός, σε συνάρτηση με τα ειρωνικά και σχεδόν υπόγεια υποτιμητικά σχόλια που εισέπραξε. Κάνω αυτή την τοποθέτηση, γιατί πλέον έχει εκτραχυνθεί αυτή η κατάσταση με τις συσσωρευμένες αιχμές προς τον κύριο Λάμπρου (ο οποίος απαντά πάντα με αξιοπρέπεια δίχως να ανταποδίδει) και κατ' επέκταση, αυτό το επαναλαμβανόμενο μοτίβο τείνει να καταλήξει σε ένα γραφικό στοιχείο που αφήνει το (αρνητικό) στίγμα του στο φόρουμ.
$\bullet$ Προσπαθείτε κύριε Κυριαζή να κάνετε μάθημα λογικής στον κύριο Λάμπρου , λες και είναι κανένα μαθητούδι που του παραδίδετε μάθημα . Δεν το έχει ανάγκη ο κύριος Λάμπρου να σας απολογηθεί για τίποτα, άλλωστε η δική μου τοποθέτηση δεν αφορά την υποστήριξη του κυρίου Λάμπρου, προφανώς επειδή δεν χρειάζεται κανέναν για να υπερασπιστεί τη θέση του. Το γεγονός όμως ότι το κάνει και εξηγεί τα πάντα απολύτως τεκμηριωμένα ,αψηφώντας τα αρνητικά σχόλια που λαμβάνει κατ' εξακολούθηση, δείχνει πως παραμένει ανέγγιχτη η επιστημονική του ακεραιότητα, ακόμα κι αν δέχεται έναν καταιγισμό από χτυπήματα κάτω από τη ζώνη.
$\bullet$ Κάπου εδώ να επισημάνω ότι είμαστε επιστήμονες και δεν μας τιμά να μας εκμαιεύει κάποιος μια συγγνώμη μετά από αρκετές προσπάθειες .Έτσι ευτελίζουμε την έννοια της συγγνώμης, μετατοπίζοντας την ευθύνη σε εκείνον με τον οποίο αντιπαρατεθήκαμε. Και το χειρότερο; Χειραγωγούμε εμμέσως τους αναγνώστες που δεν έχουν βρει ακόμα την επιστημονική τους ταυτότητα (μαθητές κατά κύριο λόγο) και χρειάζονται σωστή καθοδήγηση , με σκοπό να καταφέρουν τους στόχους τους. Ελπίζω πως ο καθένας είναι σε θέση να κρίνει από μόνος του την αξιοπιστία της εκάστοτε ανάρτησης εδώ στο , γιατί οι μαθητές είναι κι εκείνοι σκεπτόμενοι άνθρωποι και διαθέτουν κρίση.
Φιλικά πάντα.
Δημήτρης.

Συμφωνώ σε όλα με το Δημήτρη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 30, 2025 9:42 pm**

Κύριε Κυριαζή
Ο κύριος Λάμπρου με την τελευταία του δημοσίευση εξαντλεί τα πρότυπα αυστηρότητας που θέτουμε ως μαθηματικοί. Αυτό.μόνο...

mathematica.gr

ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.

Re: ΠΡΩΤΟΕΜΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ, ΕΠΕΚΤΆΣΕΙΣ, ΑΠΟΔΕΊΞΕΙΣ, ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ.