mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 24, 2011 8:30 pm**

Kαλησπέρα... είχα δοκιμάσει να λύσω το σύστημα αλλά

. Από περιέργεια το έβαλα στο Wolfram και έβγαλε μόνο τέσσερα ζεύγη πραγματικών

και κάποια μιγαδικά που απορρίπτονται (δεν είναι απόδειξη αλλά μια ιδέα).

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 24, 2011 9:10 pm**

Μήπως βοηθήσει η Ανάλυση (πλήθος ριζων);

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 25, 2011 10:55 am**

Βασιζόμενος στα αριθμητικά αποτελέσματα παραπάνω, δίνω σε σχήμα τα ζεύγη z,w

που προκύπτουν

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 26, 2011 7:27 am**

Στο αρχείο sketcpad που έβαλα παραπάνω αν δώσουμε κίνηση στο σημείο θα δούμε ότι ένα μικρό κομμάτι του κύκλου δεν καλύπτεται παρόλο που αλγεβρικά φαίνεται να μπορούμε να πάρουμε όλο τον κύκλο. Μήπως κάτι ξεφεύγει από την αλγεβρική λύση ή την παρουσίαση του sketcpad; Μήπως κάποιος μπορεί να ελέγξει το αρχείο αυτό αφού αναιρέσει ντην απόκρυψη και δει τι έκανα καλύτερα; Είναι περίεργο για εμένα και μαθηματικά προκλητικό...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 19, 2011 10:32 pm**

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:
G.Tsikaloudakis έγραψε:(Μαθηματικα Λυκείου τευχ. 4ο)

Δίνονται οι μιγαδικοί με:

$z = \alpha + \beta i{\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ w = (}}\alpha ^2 - {\rm{2}}\alpha {\rm{) + }}\left( {\beta ^2 - {\rm{4}}\beta } \right)i{\rm{ }}{\rm{, }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\mathop {}\nolimits_{} {\rm{ }}\alpha ,\beta \in R$

και η εικόνα του ανήκει στην ευθεία .

2. Να βρεθεί αν υπαρχουν μιγαδικοι με τις παραπάνω συνθήκες , ώστε:
Πολύ ενδιαφέρον το 2.

1. $\displaystyle{ \left( {\alpha ^2 - 2\alpha } \right) + \left( {\beta ^2 - 4\beta } \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {\alpha ^2 - 2\alpha + 1} \right) + \left( {\beta ^2 - 4\beta + 4} \right) = 9 \Leftrightarrow \left( {\alpha - 1} \right)^2 + \left( {\beta - 2} \right)^2 = 3^2 }$
Ο γ.τ είναι ο κύκλος , κέντρου $\displaystyle{K(1,2)}$ και ακτίνας 3.

2. Από την αρχή , φέρνουμε τις διχοτόμους των αξόνων.
Η διχοτόμος $\displaystyle{y = x}$ τέμνει την ευθεία στο $\displaystyle{P(2,2)}$ .
Η διχοτόμος $\displaystyle{y = - x}$ τέμνει τον κύκλο C στο $\displaystyle{M( - 2,2)}$
Έχουμε: $\displaystyle{(OP) = (OM) = 2\sqrt 2 }$
Τα $\displaystyle{P,M}$ είναι οι εικόνες των αντίστοιχα.
Τελικά υπάρχουν μιγαδικοί και έχουν εικόνες τα $\displaystyle{P,M}$

Φιλικά Χρήστος

ΥΓ Περιμένω μία διερευνικότερη απάντηση στο 2.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 19, 2011 10:35 pm**

rek έγραψε:
G.Tsikaloudakis έγραψε:Τώρα που ξανακοιτάζω τη λύση βλέπω κάποιο λάθος στη λύση μου.

Όσο για τα δεδομένα , νομίζω ότι δεν υπάρχει ασάφεια.

Λέμε: Δίνονται οι μιγαδικοί $z = \alpha + \beta i$

(δηλαδή οι είναι της μορφής

$w = (\alpha ^2 - 2\alpha ) + (\beta ^2 - 4\beta )i$ )
και εικόνες τους ανήκουν στην ευθεία

$\varepsilon :{\rm{ }}\mathop {}\limits^{} {\rm{ }}x + y - 4 = 0$

Η έκφραση ΄΄ανήκουν στην ευθεία'' δεν σημαίνει ότι οι εικόνες των υποχρεωτικά
καλύπτουν την ευθεία $\varepsilon$ .

Άρα , λόγω περιορισμών των τιμών του ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (w)$
και ${\mathop{\rm Im}\nolimits} (w)$

ο γ.τ. των εικόνων των είναι ευθύγραμμο τμήμα (όπως πολύ σωστα
αναφέρθηκε)
Όμως ο γ. τ. των εικόνων των είναι όλος ο κύκλος.

Για λόγους πληρότητας των ερωτημάτων , μπορούμε να τα διαμορφώσουμε
ως εξής:

1. Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων των

2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μιγαδικοί με ίσα μέτρα που
να ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες.

3. Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες και έχουν ίσα μέτρα

Έτσι έχουμε απαντήσει στο 1 .και 2 .

Όπως πολυ σωστά βρήκε ο συναδελφος Σωτήρης , για α=1 ικανοποιείται η 2.
Αυτό προκύπτει και από τη δική μου λύση, (διορθωμένη) ως εξής:

Αν είναι οι εικόνες των αντίστοιχα και το μέσο του , τότε από τη σέχση:

$\lambda _{OM} \cdot \lambda _{AB} = - 1$

βρίσκουμε τελικά:

$4\beta = (4 - \alpha ^2 + 2\alpha )^2 + (\alpha ^2 - \alpha )(\alpha ^2 - 3\alpha ) - (4 - \alpha ^2 + 2\alpha )$
(2)

Από τη (2) για $\alpha = 1$
προκύπτει

$z = 1 + 5i\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{}, w = - 1 + 5i$

Με βάση τώρα την (2) μπορούμε να δούμε το 3ο ερώτημα.

Τελικά, ό,τι και αν κάνουμε, για το τρίτο ερώτημα, πρέπει να λύσουμε το σύστημα:

που είναι ζόρικο!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 03, 2011 12:20 am**

Eπαναφέρω, αφού έχουν μείνει... σκοτεινά σημεία!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 07, 2011 3:29 am**

rek έγραψε:Τελικά, ό,τι και αν κάνουμε, για το τρίτο ερώτημα, πρέπει να λύσουμε το σύστημα:

που είναι ζόρικο!

Γιώργος Απόκης έγραψε:Eπαναφέρω, αφού έχουν μείνει... σκοτεινά σημεία!

Βρίσκω πως δε μπορούμε να προχωρήσουμε πιο πέρα από εκεί όπου έφθασε ο Γιώργος (Απόκης) με το Wolfram.
Αλλάζοντας για ευκολία τα a,b

με τα

με
$f\left( x,y\right) =\allowbreak y^{2}-4y+x^{2}-2x-4$
$g\left( x,y\right) =-y^{4}+8y^{3}-15y^{2}-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}$
έχουμε προς επίλυση το σύστημα:
$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} f\left( {x,y} \right) = 0\\ g\left( {x,y} \right) = 0 \end{array} \right\}\left( \Sigma \right)}$
Κάνοντας Ευκλείδειες διαιρέσεις ως προς

βρίσκουμε τις ταυτότητες:
$\left( -y^{4}+8y^{3}-15y^{2}-x^{4}+4x^{3}-3x^{2}\right) =\left( y^{2}-4y+x^{2}-2x-4\right) \left( -y^{2}+4y-2x-3+x^{2}\right) +\left( \allowbreak 4y-2x^{4}+8x^{3}-12-14x\right)$
$y^{2}-4y+x^{2}-2x-4=\left( 4y-2x^{4}+8x^{3}-12-14x\right) \left( \allowbreak \frac{1}{4}y-\frac{1}{2}x^{3}+\frac{7}{8}x-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}x^{4}\right) +\left( \frac{1}{4}x^{8}-2x^{7}+4x^{6}+\frac{7}{2}x^{5}-13x^{4}-4x^{3}+\frac{53}{4}x^{2}+\allowbreak 5x-7\right)$
από τις οποίες συμπεραίνουμε ότι κάθε λύση (x,y)

του $\Sigma$ είναι και ρίζα του $4y-2x^{4}+8x^{3}-12-14x$ και επομένως όντας ρίζα του $4y-2x^{4}+8x^{3}-12-14x$ και του $y^{2}-4y+x^{2}-2x-4$ είναι και ρίζα του $\frac{1}{4}x^{8}-2x^{7}+4x^{6}+\frac{7}{2}x^{5}-13x^{4}-4x^{3}+\frac{53}{4}x^{2}+\allowbreak 5x-7$ . ΑΥτό σημαίνει ότι η τετμημένη κάθε λύσης του $\Sigma$ είναι οπωσδήποτε λύση του
$\frac{1}{4}x^{8}-2x^{7}+4x^{6}+\frac{7}{2}x^{5}-13x^{4}-4x^{3}+\frac{53}{4}x^{2}+\allowbreak 5x-7$
Αυτό γράφεται
$\allowbreak \frac{1}{4}\left( x-1\right) \left( x^{7}-7x^{6}+9x^{5}+23x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+8x+28\right) \allowbreak$
Δοικιμάζοντας την τιμή x=1

στις εξισώσεις του $\Sigma$ βρίσκουμε την τιμή y=5

δηλαδή το ζεύγος (1,5)

είναι ρίζα του $\Sigma$ . Θα έχουμε βρει τις άλλες λύσεις του $\Sigma$ αν λύσουμε την εξίσωση
$x^{7}-7x^{6}+9x^{5}+23x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+8x+28=0 \,\,\,\,(*)$
Κάθε λύση της μας δίνει και δύο τιμές του

από την