mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 28, 2011 6:30 pm**

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Η κουβέντα με τον Χρήστο έδειξε ότι είμαι ασαφής.

Το ακριβές ερώτημα είναι το εξής:
Αφού $z \in \mathbb{R}$ ισχύει και αν , αντικαθιστούμε και εξισώνουμε πραγματικά και φανταστικά μέλη.

Τότε προκύπτει $\displaystyle{a=\frac{3x}{4+x^2},b=\frac{2-x^2}{4+x^2}}$ .

Πως από εδώ καταλήγουμε στον κύκλο; Αν θυμάμαι καλά έχει ξανασυζητηθεί το θέμα, αλλά δεν το βρίσκω.

Να προτείνω μια λύση, που "ξεφεύγει" όμως από τους μαθητές μας λόγω τριγωνομετρίας!

Για $\displaystyle x=2tan\theta, \theta \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ προκυπτει εύκολα, με την βοήθεια των τύπων

$\displaystyle cos^2\theta=\frac{1}{1+tan^2\theta}, \\ \\sin2\theta=2sin\theta cos\theta, \ \ 2sin^2\theta=1-cos2\theta, \ \ 2cos^2\theta=1+cos2\theta$

ότι οι εξισώσεις

$\displaystyle{a=\frac{3x}{4+x^2},b=\frac{2-x^2}{4+x^2}}$

είναι ισοδύναμες με τις

$\displaystyle{a=\frac{3}{4}sin2\theta ,\ \ b+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}cos2\theta}$
ή
$\displaystyle {\frac{4}{3}a=sin2\theta ,\ \ \frac{4}{3}\left(b+\frac{1}{4}\right)=cos2\theta}$

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle (a,b)$ είναι κύκλος με κέντρο το $\displaystyle K\left(0,-\frac{1}{4}\right)$ και ακτίνα $\displaystyle \frac{3}{4}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 28, 2011 7:47 pm**

Demetres έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:Άλλη μια ιδέα:
Αναζητούμε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{k,l,m}$ ώστε η εξίσωση $\displaystyle{a^2+b^2+ka+lb+m=0}$ να παριστάνει εξίσωση κύκλου ως προς $\displaystyle{(a,b)}$ , οπότε με αντικατάσταση προκύπτει πολυώνυμο ως προς $\displaystyle{x}$ το οποίο απαιτούμε να είναι το μηδενικό πολυώνυμο και έτσι βρίσκουμε τους πραγματικούς $\displaystyle{k,l,m}$ .
Ας το δούμε και στην πράξη:
$\displaystyle{a=\frac{3x}{4+x^2},b=\frac{2-x^2}{4+x^2}}$

Αναζητούμε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{k,l,m}$ ώστε να παριστάνει κύκλο η εξίσωση
$\displaystyle{a^2+b^2+ka+lb+m=0 \Rightarrow \frac{9x^2}{(4+x^2)^2}+\frac{4-4x^2+x^4}{(4+x^2)^2}+k\frac{3x}{4+x^2}+l\frac{2-x^2}{4+x^2}+m=0}$
$\displaystyle{ \Rightarrow 9x^2+4-4x^2+x^4+3kx(4+x^2)+(2l-lx^2)(4+x^2)+m(16+8x^2+x^4)=0}$
$\displaystyle{ \Rightarrow 9x^2+4-4x^2+x^4+12kx+3kx^3+8l-4lx^2+2lx^2-lx^4+16m+8mx^2+mx^4=0}$
$\displaystyle{ \Rightarrow (1-l+m)x^4+(3k)x^3+(9-4-4l+2l+8m)x^2+(12k)x+(8l+16m+4)=0}$

Απαιτούμε να είναι το μηδενικό πολυώνυμο ως προς x, άρα
$\displaystyle{ \left\{\begin{matrix} 1-l+m=0 \\ 3k=0\\ 5-2l+8m=0\\ 12k=0\\ 8l+16m+4=0 \end{matrix}\right} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} l=\frac{1}{2} \\ k=0\\ m=-\frac{1}{2}\\ \end{matrix}\right} }$

οπότε $\displaystyle{a^2+b^2+0a+\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}=0 \Rightarrow a^2+b^2+2\frac{1b}{4}+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16} \Rightarrow a^2+\left(b+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{9}{16}=\left(\frac{3}{4}\right)^2}$
parmenides, υπάρχει πρόβλημα με αυτήν την προσέγγιση. Παίρνεις ως δεδομένο ότι οι εικόνες του βρίσκονται πάνω σε κύκλο και βρίσκεις ποιος πρέπει να είναι αυτός ο κύκλος. Το ζητούμενο όμως είναι να δειχθεί ότι οι εικόνες του βρίσκονται πάνω σε κύκλο οπότε δεν επιτρέπεται να το πάρουμε ως δεδομένο.

--------------------------
Επίσης σε οποιαδήποτε διαπραγμάτευση πρέπει να είμαστε προσεκτικοί διότι ο γεωμετρικός τόπος δεν είναι κύκλος αλλά κύκλος με εξαίρεση ενός σημείου. Το ανήκει στον κύκλο αλλά όχι στον γεωμετρικό τόπο.

Demetres, έχεις δίκιο και στις δυο παρατηρήσεις σου.
Σχετικά με την παραπάνω απόπειρα λύσης (καθώς και μια άλλη γεωμετρική απόπειρα που έκανα νωρίτερα), απαντούσε στο ερώτημα
''να αποδείξετε πως οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{a+bi}$ με $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R}}$ κινούνται σε κύκλο''
(παρασύρθηκα γιατί η ερώτηση του Λευτέρη ήταν ''πως αφού βρούμε τα παραπάνω $\displaystyle{a,b}$ καταλήγουμε στον κύκλο ;'' ).
Νομίζω πως απέδειξα παραπάνω πως με δεδομένο ότι κινείται σε κύκλο, θα έχει την παραπάνω εξίσωση.
Στην αρχική εκφώνηση, δηλαδή ''να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των παραπάνω μιγαδικών'',
η λύση είναι λάθος γιατί βασίζεται στην παραδοχή πως αν ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος θα έχει την παραπάνω εξίσωση.
Αν δεν είναι κύκλος, δεν ξέρουμε τι μπορεί να είναι. Μπορεί να είναι κύκλος ή οτιδήποτε άλλο.
Άρα είναι λάθος η παραπάνω λύση.
Τους περιορισμούς τους αγνόησα κακώς (εκ παραδρομής) γιατί ασχολήθηκα με την απαλοιφή της παραμέτρου $\displaystyle{x}$ .
Κοίταζα την εκφώνηση από το σημείο που έχουμε λύσει ως προς τα $\displaystyle{a,b}$ .
Θα προσπαθήσω να είμαι πιο προσεκτικός στο μέλλον.

Σ' ευχαριστώ για τις επισημάνσεις σου.
Πάλι κάτι ξεκαθαρίσαμε σήμερα.

mathematica.gr

Διδακτική προσέγγιση

Re: Διδακτική προσέγγιση

Re: Διδακτική προσέγγιση