mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 14, 2016 8:13 pm**

dimplak έγραψε: 1.

$\begin{cases} x + \frac{3x - y}{x^2 +y^2} = 3 \\ y - \frac{x + 3y}{x^2 +y^2} = 0 \end{cases}$

Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη επί $\displaystyle{i}$ και προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη, οπότε προκύπτει

$\displaystyle{x+yi+\frac{(3-i)(x-yi)}{x^2+y^2}=3\iff z+(3-i)\frac{1}{z}=3\iff z^2-3z+3-i=0.}$

Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε $\displaystyle{z=1-i\vee z=2+i,}$ άρα οι λύσεις του συστήματος είναι οι $\displaystyle{(1,-1),(2,1).}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 11:30 pm**

12.

$\begin{cases} \frac{x^2}{y^2} + 2 \sqrt{x^2 + 1} + y^2 = 3 \\ x + \frac{y}{\sqrt{x^2 + 1} + x} + y^2 = 0 \end{cases}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 11:43 pm**

13.

Αν ισχύει ότι $\begin{cases} x^4 y^5 + y^4 x^5 = 810 \\ x^3 y^6 + y^3 x^6 = 945 \end{cases}$ , να βρείτε το 2 x^3 + (xy)^3 + 2y^3

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 11:46 pm**

14.

$\begin{cases} xy + yz = 8 \\ yz + zx = 9 \\ zx + xy = 5 \end{cases}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 11:50 pm**

15.

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt[3]{y} + \sqrt{x} = 9 \end{cases}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 16, 2016 11:57 pm**

16.

$\begin{cases} \sqrt{x + y + 1} + \sqrt{2x + y} = 4 \\ \sqrt{2x + y} - \sqrt{x - y + 2} = 1 \end{cases}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 17, 2016 8:44 am**

matha έγραψε:
dimplak έγραψε: 1.

$\begin{cases} x + \frac{3x - y}{x^2 +y^2} = 3 \\ y - \frac{x + 3y}{x^2 +y^2} = 0 \end{cases}$
Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη επί $\displaystyle{i}$ και προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη, οπότε προκύπτει

$\displaystyle{x+yi+\frac{(3-i)(x-yi)}{x^2+y^2}=3\iff z+(3-i)\frac{1}{z}=3\iff z^2-3z+3-i=0.}$

Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε $\displaystyle{z=1-i\vee z=2+i,}$ άρα οι λύσεις του συστήματος είναι οι $\displaystyle{(1,-1),(2,1).}$

Άλλη μία λύση ώστε να θεωρηθεί εντός ύλης Β΄ Λυκείου

Θέτουμε $\begin{cases} x = r cosa \\ y = r sina \end{cases}$ οπότε $\begin{cases} x^2 = r^2 cos^2 a \\ y^2 = r^2 sin^2 a \end{cases}$ και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι x^2 + y^2 = r^2 (cos^2 a + sin^2 a) = r^2

x^2 + y^2 = r^2 (cos^2 a + sin^2 a) = r^2

. Τότε με αντικατάσταση στο αρχικό σύστημα και λύνοντας ως προς cosa

και

προκύπτει ότι $\begin{cases} cosa = \frac{3r (r^2 - 3)}{r^4 - 10} \\ sina = \frac{3r}{r^4 - 10} \end{cases}$ . Συνεπώς , λόγω της τριγωνομετρικής ταυτότητας cos^2 a + sin^2 a = 1

προκύπτει ότι

$(\frac{3r (r^2 - 3)}{r^4 - 10})^2 + ( \frac{3r}{r^4 - 10} )^2 = 1$ και με πράξεις καταλήγουμε στο (r^2 - 2) (r^2 - 5 ) (r^4 - 2r^2 + 10) = 0

οπότε

ή

. 'Αρα με αντικατάσταση προκύπτει ότι

$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ ή $\begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 17, 2016 9:35 am**

dimplak έγραψε:14.
Προσθέτουμε τις εξισώσεις :
$\begin{cases} xy + yz = 8 \\ yz + zx = 9 \\ zx + xy = 5 \end{cases}$ .

$xy+yz+zx=11 ,(*), zx=3,(1), xy=2,(2), yz=6,(3), (1),(2),(3)\Rightarrow x^{2}y^{2}z^{2}=36\Leftrightarrow xyz=6,xyz=-6, (x,y,z)=(1,2,3),(x,y,z)=(-1,-2,-3)$

Γιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 17, 2016 2:14 pm**

17.

$\begin{cases} x^3 + ( 2x^2 - x ) \sqrt{x^3 - y} = 2y \\ 5x^3 - 2x^2 + x = y^3 - y^2 + 5y \end{cases}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 17, 2016 2:22 pm**

18.

$\begin{cases} ( y - x )^4 + x^4 = 2 \\ x y + x + y = 5 \end{cases}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 18, 2016 9:50 am**

dimplak έγραψε:15.

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt[3]{y} + \sqrt{x} = 9 \end{cases}$ .

Θέτω

και

οπότε το σύστημα γίνεται $\begin{cases} t^2 + p^3 = 5 \\ p^2 + t^3 = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} p^3 = 5 - t^2 \\ p^2 = 9 - t^3 \end{cases}$ Επειδή ισχύει $t , p \ge 0$ έχουμε $(p^3)^2 = (p^2)^3 \Leftrightarrow (5 - t^2)^2 = (9 - t^3)^3$ . Παρατηρούμε ότι το t = 2

επαληθεύει την προηγούμενη εξίσωση . Οπότε τη μετασχηματίζουμε σε t^9 - 27 t^6 + t^4 + 243 t^3 - 10 t^2 - 704 = 0

και με τη βοήθεια του σχήματος Horner την για $\rho = 2$ την παραγοντοποιούμε σε (t -2) (t^8 + 2 t^7 + 4 t^6 - 19 t^5 - 38 t^4 - 75 t^3 + 93 t^2 + 176 t + 352) = 0

. Το πολυώνυμο 8ου βαθμού αποδεικνύεται ότι είναι θετικό. Άρα t = 2

οπότε

και

άρα

.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 18, 2016 12:02 pm**

19.

$\begin{cases} 3x^2 - 2x - 5 + 2x \sqrt{x^2 + 1} = 2 ( y + 1) \sqrt{y^2 + 2y + 2} \\ x^2 + 2y^2 = 2x - 4y + 3 \end{cases}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 25, 2016 11:13 pm**

20. $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-zx-zy=2x+y\\ y^2+z^2-xy-xz=y+3z \\ z^2+x^2-yz-yx=3z+2x \end{matrix}\right.$

21. $\left\{\begin{matrix} x+y-3z=0\\ x^2+y^2-5z^2=0 \\ xyz=16 \end{matrix}\right.$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 30, 2016 11:34 am**

22.

$\begin{cases} x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y \\ (x^2 + 1)(2-x) = x^2 y \end{cases}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 30, 2016 11:41 am**

23.

$\begin{cases} y^2 - 2x + \sqrt[3]{x^2 y^2 - 2x^2} = 2 \\ (4x^3 - y^2 + 5)^3 - x^3 = \frac{3}{2} \end{cases}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 31, 2016 10:42 pm**

dimplak έγραψε:22.

$\begin{cases} x^2 + y^2 + xy + 1 = 4y \\ (x^2 + 1)(2-x) = x^2 y \end{cases}$

$x^{2}+y^{2}+xy+1=4y,(1), (x^{2}+1)(2-x)=yx^{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{(x^{2}+1)(2-x)}{x^{2}},(2), (1),(2)\Rightarrow x^{2}+1+\dfrac{(x^{2}+1)(2-x)}{x^{2}}.\dfrac{(x^{2}+1)(2-x)+x^{2}(x-4)}{x^{2}}=0\Leftrightarrow x^{3}+2x^{3}-3x^{2}-4x+4=0$
Η τελευταία εξίσωση έχει δυο διπλες ρίζες x=1,x=-2

Τελικά

Για

είναι αδύνατη

Γιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Οκτ 31, 2016 11:04 pm**

Καλησπέρα, Γιάννη!

Σωστές οι λύσεις , κι εγώ με παρόμοιο τρόπο - αντικατάσταση - το έλυσα!

24.

$\begin{cases} 2x^3 - 3 + 2 \sqrt{y^2 + 3y} = 2x \sqrt{y} + y \\ x^2 - \sqrt{y + 3} + \sqrt{y} = 0 \end{cases}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 04, 2016 8:45 am**

25.

$\begin{cases} xy = x + y + 1 \\ yz = y + z + 5 \\ zx = z + x + 2 \end{cases}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Νοέμ 04, 2016 9:15 pm**

26.
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=27\\ 27x^3+6y^2x=2+y^3+30x^2y\\ x,y \in \mathbb{R}\\ \end{matrix}\right.}$

27.

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (2x+2)\sqrt{2x-1}=y^3+3y\\ y^2-xy+5=5x-6y\\ x,y \in \mathbb{R}\\ \end{matrix}\right.}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 05, 2016 10:49 pm**

dimplak έγραψε:25.

$\begin{cases} xy = x + y + 1 \\ yz = y + z + 5 \\ zx = z + x + 2 \end{cases}$

$\begin{cases} xy = x + y + 1 \\ yz = y + z + 5 \\ zx = z + x + 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy- x = y - 1 + 2 \\ yz - y = z - 1 + 6 \\ zx - z = x - 1 + 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-1)(y-1)= 2 \\ (y - 1)(z - 1) = 6 \\ (z - 1)(x - 1)= 3 \end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} (x-1)^2(y-1)(z-1)= 6 \\ (y - 1)(z - 1) = 6 \end{cases} \Rightarrow (x-1)^2(y-1)(z-1)=(y - 1)(z - 1) \Rightarrow y=1 \vee z=1 \vee (x-1)^2=1 \Rightarrow y=1 \vee z=1 \vee x=0 \vee x=2$
Έτσι έχουμε:
Αν y=1