mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:04 pm**

Τα θέματα της Γ' Γυμνασίου δεν είχαν καμία σχέση με τα περσινά.Οι 1,2 ήταν πανεύκολες η 3 λίγο πιο δύσκολη ,ενώ η 4 απαιτούσε καθαρό μυαλό και υπομονή, θα την χαρακτήριζα μέτριας δυσκολίας.Τα περσινά ήταν κατά πολύ ευκολότερα.Ο επιτηρητής μας θεωρεί ότι οι βάσεις θα κυμαίνοται πολύ χαμηλά, ίσως κάτω και από 10...
Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει το πρόβλημα 4 της Γ' Γυμνασίου?

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:10 pm**

Στο θέμα 1 της Β λυκείο

$a^{6}+2\cdot 13a^{3}b^{3}=27b^{6}\Leftrightarrow (a^{3}+13b^{3})^{2}=169b^{6}+27b^{6}=196b^{6}=(14b^{3})^{2}\Leftrightarrow$

$(a^{3}+13b^{3}+14b^{3})(a^{3}+13b^{3}-14b^{3})=0$

κ.τ.λ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:11 pm**

cretanman έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:01 pm
george visvikis έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:57 pm Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1

Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0$

$\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7 \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}$
Καλησπέρα Γιώργο! Χωρίς φαντασία, διαιρώντας με (το δεν είναι λύση της εξίσωσης) και θέτοντας $x-\dfrac{3}{x}=y$ καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς η οποία λύνεται πολύ απλά.

Αλέξανδρος

Σχετικά απλά βγαίνει και αν γράψεις το πολυώνυμο σαν γινόμενο 2 δευτεροβάθμιων πολυωνύμων!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:24 pm**

Β' Γυμνασίου - Πρόβλημα 3

: 2018-11-10_14-20-41.png (174.05 KiB) Προβλήθηκε 6214 φορές

Έστω ότι έχει

€
$\begin{array}{l} A. & \xi o\delta \varepsilon \dot \upsilon \varepsilon \iota \,\dfrac{x}{2} + 30 & \tau o\upsilon \,\mu \dot \varepsilon \nu o\upsilon \nu \,x - \left( {\dfrac{x}{2} + 30} \right) = \dfrac{x}{2} - 30\\ B. & \xi o\delta \varepsilon \dot \upsilon \varepsilon \iota \,\dfrac{{x/2 - 30}}{2} + 40 = \dfrac{x}{4} + 25 & \tau o\upsilon \,\mu \dot \varepsilon \nu o\upsilon \nu \,\dfrac{x}{2} - 30 - \left( {\dfrac{x}{4} + 25} \right) = \dfrac{x}{4} - 55\\ \Gamma . & \xi o\delta \varepsilon \dot \upsilon \varepsilon \iota \,\dfrac{{x/4 - 55}}{2} + 50 = \dfrac{x}{8} + 22,5 & \tau o\upsilon \,\mu \dot \varepsilon \nu o\upsilon \nu \,0 \end{array}$
Άρα, έχουμε την εξίσωση: $\left( {\dfrac{x}{2} + 30} \right) + \left( {\dfrac{x}{4} + 25} \right) + \left( {\dfrac{x}{8} + 22,5} \right) = x\, \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow x = 620$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:39 pm**

Prødigy έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:04 pm Τα θέματα της Γ' Γυμνασίου δεν είχαν καμία σχέση με τα περσινά.Οι 1,2 ήταν πανεύκολες στην 3 βρήκα ότι α=9 μόνο ,ενώ το τέταρτο ήταν εύκολο, εκτός από το υποερώτημα β που απαιτούσε υπομονή, θα το χαρακτήριζα μέτριας δυσκολίας.Τα περσινά ήταν κατά πολύ ευκολότερα.Ο επιτηρητής θεωρεί ότι οι βάσεις θα κυμαίνοται πολύ χαμηλά, ίσως κάτω και από 10...
Κατά πάσα πιθανότητα έχω περάσει,είμαι ευχαριστημένος.
Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει το πρόβλημα 4 της Γ' Γυμνασίου?

Πρόβλημμα 4 Γ γυμνασίου
A)
$\Delta A_{\kappa o\iota \nu \eta },\Delta \Gamma =\Delta B,AB=A\Gamma$ άρα τα τρίγωνα $A\Delta B,A\Delta \Gamma$ είναι ίσα και $\Delta AB=\Delta A\Gamma$ οπότε οι γωνίες είναι ίσες με $20^{\circ}$

B) $A\Gamma =AB=AE\Leftrightarrow ABE$ ισοσκελές $\widehat{\Gamma AE}=\widehat{BAE}-\widehat{\Gamma AB}=180-2\widehat{EBA}-\widehat{\Gamma AB}=180-2\widehat{\Delta AB}-\Gamma AB=100^{\circ}$

Γ) $\widehat{AEB}=\widehat{AB\Delta }=\widehat{\Delta A\Gamma }=\widehat{A\Gamma M}\Leftrightarrow _{\widehat{A\Gamma E}=\widehat{AE\Gamma }}\widehat{M\Gamma E}=\widehat{ME\Gamma}$ το

ανήκει στην μεσοκάθετο του $\Gamma E$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 3:10 pm**

ΘΕΜΑ 4-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

(α) Είναι $A\widehat{B}\Delta=\Gamma\widehat{B}E$ (γωνίας χορδής και εφατομένης) και $B\widehat{\Gamma}E=\Delta \widehat{A}B$ (από το εγγράψιμο $AB\Gamma\Delta$ ) κι άρα $A\widehat{\Delta}B=B\widehat{E}\Gamma.$

Δηλαδή, η $A\Delta$ εφάπτεται του κύκλου (c_1)

στο $\Delta.$

(β) H

είναι κάθετη στην $\Delta E$ και η

είναι κάθετη στη

, κι άρα οι οξείες γωνίες $M\widehat{O}B=B\widehat{E}\Gamma=Α\widehat{\Delta}B=A\widehat{\Gamma}B$ είναι ίσες.

Συνεπώς, το $MO\Gamma B$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

(γ) Η εφαπτομένη στον (c_1)

στο

είναι κάθετη στη

, όπου

το κέντροτου (c_1)

και η εφαπτομένη στον (c_2)

στο

είναι κάθετη στη $B\Lambda$ , όπου $\Lambda$ το κέντροτου (c_2)

.

Αρκεί να δειχθεί ότι η γωνία $B\widehat{O}\Gamma$ είναι ίση με την $B\widehat{K}E$ .Όμως, η $B\widehat{O}\Gamma$ είναι διπλάσια της $B\widehat{\Delta}\Gamma$ (εγγεγραμένη στο τόξο $B\Gamma$ του (c)

) και η $B\widehat{K}E$ είναι διπλάσια της $B\widehat{\Delta}E$ (εγγεγραμένη στο τόξο

toy

) .

Αφού $B\widehat{\Delta}\Gamma=B\widehat{\Delta}E$ , η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 3:21 pm**

Πρόβλημα 3ο Α' Λυκείου:

Από την ανισότητα

$\displaystyle{\frac{x+y}{2}>\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}}$ για $\displaystyle{x,y>0, x\ne y}$

έχουμε

$\displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}>\frac{2}{3},~~\frac{1}{5}+\frac{1}{7}>\frac{2}{6}}$ κτλ.

Άρα $\displaystyle{B>A.}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 3:47 pm**

3o ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

$B-A=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{3})+...+ (\frac{1}{98}-\frac{1}{99})+(\frac{1}{100}-\frac{1}{99}).$

Όμως $(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n})=\frac{1}{n}\left [ \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right ]>0$

Επομένως $B-A>0\Rightarrow B>A.$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 4:20 pm**

Ο 9Α είναι ίσος με 10Α-Α δηλαδή σύμφωνα με την πράξη της αφαίρεσης:

$\alpha _{4}$ $\alpha _{3}$ $\alpha _{2}$ $\alpha _{1}$ $\alpha _{0}$

$\alpha _{4}$ $\alpha _{3}$ $\alpha _{2}$ $\alpha _{1}$ $\alpha _{0}$
__________________________________________________
$\beta _{5}$ $\beta _{4}$ $\beta _{3}$ $\beta _{2}$ $\beta _{1}$ $\beta _{0}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 4:37 pm**

Οι επίσημες λύσεις από την Ε.Μ.Ε.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 4:47 pm**

Θεμα 4 Γ Γυμνασιου

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 4:52 pm**

Γ' Γυμνασίου-Πρόβλημα 4

: Θαλής Γ.Γυμν. Γεωμ. 2018.png (18.5 KiB) Προβλήθηκε 6052 φορές

Α) Από την προφανή ισότητα των τριγώνων ADB, ADC

και το ισοσκελές ABE

βρίσκουμε τις γωνίες των $20^\circ$ που φαίνονται

στο σχήμα, απ' όπου προκύπτει ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat A.$

B) Γράφω τον κύκλο (A,AB).

Από το ισοσκελές ABC

εύκολα παίρνουμε $D\widehat BC=50^\circ,$ άρα $C\widehat AE=100^\circ$ (σχέση επίκεντρης

και εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνουν στο ίδιο τόξο).

Γ) Το τρίγωνο ACE

είναι ισοσκελές και λόγω της παραλληλίας των AD, CM

βρίσκουμε ότι οι CM, EM

διχοτομούν τις γωνίες του,

οπότε η τρίτη διχοτόμος

θα είναι κάθετη στην CE.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 6:40 pm**

Ένας μαθητής περνάει στην επόμενη φάση με ελάχιστο βαθμό , με ποσοστό ή με κάποιον άλλο τρόπο;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 6:54 pm**

paylos έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 6:40 pm Ένας μαθητής περνάει στην επόμενη φάση με ελάχιστο βαθμό , με ποσοστό ή με κάποιον άλλο τρόπο;

Με ποσοστό του αριθμού συμμετεχοντων

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 7:23 pm**

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:11 pm
cretanman έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 2:01 pm
george visvikis έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:57 pm Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1

Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0$

$\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7 \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}$
Καλησπέρα Γιώργο! Χωρίς φαντασία, διαιρώντας με (το δεν είναι λύση της εξίσωσης) και θέτοντας $x-\dfrac{3}{x}=y$ καταλήγουμε σε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς η οποία λύνεται πολύ απλά.

Αλέξανδρος
Σχετικά απλά βγαίνει και αν γράψεις το πολυώνυμο σαν γινόμενο 2 δευτεροβάθμιων πολυωνύμων!

Ας μου επιτραπεί να αναπτύξω την ιδέα του Νίκου:

Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d

τέτοιοι ώστε

$\begin{aligned} x^4-x^3-18x^2+3x+9&=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\\ &=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd\\ \end{align}$

οπότε είναι
$\begin{aligned} a+c&=-1 &(1)\\\notag b+d+ac&=-18& (2) \\\notag ad+bc&=3 &(3)\\\notag bd&=9 &(4)\\\notag \end{aligned}$

Από τις (1), (3)

προκύπτει ότι ad+b(-1-a)=3

κι άρα

.

Αφού $d=\dfrac{9}{b}$ από την (4)

, παίρνουμε a(9-b^2)=b(b+3)

, δηλαδή $\displaystyle{(b+3)(a(3-b)-b)=0.}$

Από την τελευταία βλέπουμε ότι $b\ne 3$ , κι ότι είναι λογικό να δοκιμάσουμε b=-3

. Τότε θα είναι d=-3

και η

θα είναι ισοδύναμη με την (1)

. Επιπλέον, ac=-12

από την

Αφού

και

εύκολα βλέπουμε ότι (a,c)=(-4,3)

ή

Άρα

$\displaystyle{x^4-x^3-18x^2+3x+9=(x^2-4x-3)(x^2+3x{\color{red}{-}}3)}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 7:26 pm**

Καλησπερα και καλη επιτυχια σε οσους δινανε.

Θα ηθελα την αποψη σας για το 2ο θεμα της Α λυκειου στο οποιο απο απερισκεψια παραγοντοποιησα το α2+4β2 ,αλλα ολα τα αλλα τα ειχα σωστα εκτος απο αυτο. Λετε να μου κοψει πολλες μοναδες?
Επισης που πιστευετε οτι θα κυμαινονται οι βασεις? (για την Α)
και μια τελευταια ερωτηση. το πρωτο ερωτημα της γεωμετριας ποσο επιανε?

ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΕΚ ΤΩΝ ΠΡΟΤΕΡΩΝ ΟΠΟΙΟΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 7:50 pm**

Να σχολιάσω κάτι πάνω στην λύση του κυρίου Αχιλλέα! Το σύστημα με τους 4 αγνώστους δεν χρειάζεται να λυθει!!! Απλά οποίος το λύσει βρίσκει όλες τις δυνατές παραγοντοποιησεις. Μπορούμε δηλαδή απλά να βρούμε 4 αριθμούς a,b,c,d που απλά ικανοποιούν το σύστημα. Παρατηρώντας το bd=9 αν δοκιμάσουμε το προφανές b=3 και d=3 από την πρώτη και τρίτη σχέση οδηγούμαστε σε άτοπο. Δοκιμάζοντας έπειτα b=d=-3 βλέπουμε ότι πρώτη και τρίτη σχέση "ταυτιζοντε" και από την δεύτερη βρίσκω τα υπόλοιπα!

Συγνώμη για το πρόχειρο γράψιμο αλλά γράφω από κινητό.. επίσης ευχαριστώ πολύ το κύριο Αχιλλέα που αφιέρωσε χρόνο και κόπο να γράψει την λύση!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 8:38 pm**

Τι γνώμη έχετε για τα θέματα της Β' λυκειου;
Εγώ τα βρήκα σε γενικές γραμμές πιο δύσκολα από τα περσινά. Μόνο το ενα μου φάνηκε σχετικά πιο εύκολο από πέρσυ. Ήταν όμως ωραία Θέματα και κυρίως το 3.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 9:01 pm**

Athena apo έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 8:38 pm Τι γνώμη έχετε για τα θέματα της Β' λυκειου;
Εγώ τα βρήκα σε γενικές γραμμές πιο δύσκολα από τα περσινά. Μόνο το ενα μου φάνηκε σχετικά πιο εύκολο από πέρσυ. Ήταν όμως ωραία Θέματα και κυρίως το 3.

Όντως ήταν πιο δύσκολα θέματα από τα περσινά της Β Λυκείου κατά τη γνώμη μου. Τα έλυσα και τα 4, αλλά το 3ο μου πήρε λίγη ώρα...

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 9:22 pm**

Athena apo έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 8:38 pm Τι γνώμη έχετε για τα θέματα της Β' λυκειου;
Εγώ τα βρήκα σε γενικές γραμμές πιο δύσκολα από τα περσινά. Μόνο το ενα μου φάνηκε σχετικά πιο εύκολο από πέρσυ. Ήταν όμως ωραία Θέματα και κυρίως το 3.

Ναι ωραία ήταν! Το τρίτο είναι αυτό που θα λέγαμε κλασσικό ολυμπιακό πρόβλημα καθώς και το δεύτερο. Το πρώτο είναι μια καλή γυμναστική. Στο γεωμετρικό το μόνο που δεν μου άρεσε είναι ότι έχει πολλά υπό-ερωτήματα. Καλύτερα ένα, α,β,γ,... μου θυμίζει πανελλήνιες.

Και μια παρατήρηση αν επιτρέπεται.

cretanman έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 4:37 pm Οι επίσημες λύσεις από την Ε.Μ.Ε.

Αν οι λύσεις αυτές απευθύνονται και στους μαθητές καλύτερα είναι να αποφεύγονται τα σύμβολα ισοδυναμίας ( $\Leftrightarrow , \Rightarrow$ ) για τις τάξεις Β,Γ γυμνασίου μιας και ο μαθητής δεν τα γνωρίζει ακόμα.

mathematica.gr

ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)