mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 23, 2019 9:41 pm**

Συγχαρητήρια σε όλους, μαθητές και συνοδούς και διοργανωτές !!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 23, 2019 10:08 pm**

Αλέξανδρε, πολύ ωραία νέα μας φέρνεις! Πολλά συγχαρητήρια σε όλους τους μαθητές, αλλά και σε εσένα και τον Ανδρέα, που ως αρχηγός και υπαρχηγός παλέψατε και καταφέρατε τη μέγιστη δυνατή συγκομιδή μεταλλίων.

Σε ευχαριστώ και προσωπικά για την υποστήριξη και την επιλογή του προβλήματος που είχα στείλει για τη Θεωρία Αριθμών.
Γράφω δύο λόγια για το πώς κατασκευάστηκε:
Το 2015 στον Θαλή της Γ Λυκείου είχα προτείνει το πρόβλημα 3:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... Θαλής+2015
που ουσιαστικά ζητούσε να βρεις όλους τους x,y

ώστε ο

να είναι γινόμενο δύο πρώτων.
Η βασική ιδέα είναι ότι ο x^3-x

διαιρείται από 2 και από 3.

Αυτό φυσικά γενικεύεται με το Fermat, γιατί τότε ο x^p-x

διαιρείται από

. Φυσικά όμως διαιρείται και από 2 και από 3. Από το 3 διαιρείται όμως μόνο όταν

περιττός, οπότε για να διαιρείται από 3 και όταν p=2

πρέπει να έχουμε τρεις όρους. Γι΄αυτό λοιπόν και οι τρεις όροι
x^p+y^p+z^p-x-y-z

.
Το θέμα είναι τώρα ότι για p>3

μπορούμε να βρούμε όλες τις τριάδες x,y,z

. Για

και

φαίνεται ότι είναι άπειρες όμως, γι' αυτό και η ερώτηση τέθηκε με το να βρεθούν όλοι οι

ώστε να υπάρχουν x,y,z

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 23, 2019 11:44 pm**

cretanman έγραψε: Σάβ Ιουν 22, 2019 3:15 pm Πρόβλημα 3 (Σερβία)

Δίνεται τρίγωνο με . Η μεσοκάθετος της πλευράς τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Έστω το ορθόκεντρο του τριγώνου και τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και τέμνονται πάνω στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .

Θερμά συγχαρητήρια και καλή πρόοδο σε όλα τα παιδιά καθώς επίσης θερμά συγχαρητήρια και στους συνοδούς.
Μου φάνηκε ωραία το πρόβλημα και παραπέμπω μια κάπως διαφορετική λύση.
Έστω D,E,F

τα ίχνη των υψών από τα A,B,C

αντίστοιχα. Έστω ακόμη $Z\equiv BC\cap EF$ . Από το πλήρες τετράπλευρο AFBHCE

έπεται ότι το

είναι αρμονικό συζυγές του

ως προς τα B,C

. Τότε

. Όμως $OM\perp BC$ και $AD\perp BC$ συνεπώς OM//AD

. Τότε έχουμε:
$P\equiv AB\cap OM$ και $Q\equiv AC\cap OM$ . Αν $N'\equiv AZ\cap OM$ τότε αφού η

είναι παράλληλη σε μία από της ευθείες της αρμονικής δέσμης A(Z,B,D,C)

τότε έπεται ότι

είναι μέσο του

. Άρα: $N\equiv N'$ . Επομένως μέχρι στιγμής έχει αποδειχτεί ότι οι AN,BC,EF

συντρέχουν στο

. Ακόμη το τετράπλευρο BCEF

είναι εγγράψιμο με κέντρο κύκλου το σημείο

. Ακόμη: $H\equiv BE\cap CF$ , $Z\equiv BC\cap EF$ , $A\equiv BF\cap CE$ . Άρα

πολική του

και τότε $HM\perp AZ$ . Αν

η τομή του περίκυκλου του ABC

είναι γνωστό ότι η

διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του

. Επομένως $AR\perp HM$ . Όμως αποδείξαμε ότι $AZ\perp HM$ . Συνεπώς A,N,R

είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έπεται.
Θα παραθέσω αύριο σχήμα.
Παρακαλώ αν υπάρχει λάθος να αναφερθεί.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 9:08 am**

Καλημέρα.

Και μία ακόμη άποψη για το Πρόβλημα 3.

Ας πάμε για λίγο στην ευθεία Euler που οι juniors στο επίπεδο αυτό την γνωρίζουν. Τουλάχιστον στην επιτροπή διαγωνισμών το διδάσκαμε αλλά και τώρα το διδάσκουν γιατί ως γνωστόν έτσι πρέπει, αφού αποτελεί κομψή και διδακτική πρόταση για το επίπεδο αυτό.

Αν ενώσουμε το κέντρο

με το μέσο

του

, τότε $OL\parallel MH \Rightarrow OL \bot NA,$ αφού $\vartriangle HBC \sim \vartriangle AQD,\;\,DQ \bot BC.$
Αν

η τομή των NA,MH

η

που είναι κάθετη στην

, ως παράλληλη στην

, θα τέμνει την

στο μέσο της

οπότε $LA = LT \Rightarrow OA = OT.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 9:30 am**

Συγχαρητήρια σε όλη την αποστολή!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 10:22 am**

Η Κυπριακή αποστολή κατέκτησε τέσσερα χάλκινα μετάλλια με τους:

Κυριάκο Τσιαννή
Μιχάλη Χριστοφή
Παναγιώτη Χατζηκώστα
Δανάη Μακρίδου

Επίσης από την δεύτερη μας ομάδα χάλκινο μετάλλιο κατέκτησε ο:

Ραφαήλ Στυλιανιού

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 10:30 am**

Γενίκευση για το 4: Βρείτε όλους τους δυνατούς χρωματισμούς με 302 μαύρα κελιά.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 10:33 am**

silouan έγραψε: Σάβ Ιουν 22, 2019 6:28 pm Προφανώς η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα και μετά γνήσια αύξουσα, οπότε έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες,

Μπορούμε εδώ να χρησιμοποιήσουμε και τον κανόνα προσήμων του Descartes για να δούμε ότι το πολυώνυμο έχει ακριβώς μία θετική και ακριβώς μία αρνητική ρίζα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 12:04 pm**

Demetres έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 10:30 am Γενίκευση για το 4: Βρείτε όλους τους δυνατούς χρωματισμούς με 302 μαύρα κελιά.

Εχεις δίκιο. Θα επανέλθω με την σωστή.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 12:08 pm**

Altrian έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 12:04 pm
Demetres έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 10:30 am Γενίκευση για το 4: Βρείτε όλους τους δυνατούς χρωματισμούς με 302 μαύρα κελιά.
Καλημέρα.Επισυνάπτω μια λύση. Υπάρχουν και άλλες ισοδύναμες.

Δεν είναι σωστή. Υπάρχουν κελιά με τρεις μαύρους γείτονες.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 12:45 pm**

Demetres έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 12:08 pm
Altrian έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 12:04 pm
Demetres έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 10:30 am Γενίκευση για το 4: Βρείτε όλους τους δυνατούς χρωματισμούς με 302 μαύρα κελιά.
Καλημέρα.Επισυνάπτω μια λύση. Υπάρχουν και άλλες ισοδύναμες.
Δεν είναι σωστή. Υπάρχουν κελιά με τρεις μαύρους γείτονες.

Νομίζω τώρα το έχουμε!!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 1:05 pm**

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ. (Δείτε την τελευταία γραμμή.)

Υπάρχουν άλλοι;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 2:00 pm**

Πολλά συγχαρητήρια στους μαθητές των 2 ομάδων,τους συνοδούς ,τους θεματοδότες και φυσικά τους διοργανωτές.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 3:48 pm**

Αξίζει να σημειώσουμε ότι η Ελλάδα κατέλαβε την 3η θέση στο διαγωνισμό (μετά από τη Ρουμανία και τη Βουλγαρία), μία από τις καλύτερες παρουσίες της στην ιστορία του θεσμού!

Σιλουανέ ευχαριστούμε και για το ιστορικό του προβλήματός σου!

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 4:07 pm**

cretanman έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 3:48 pm Αξίζει να σημειώσουμε ότι η Ελλάδα κατέλαβε την 3η θέση στο διαγωνισμό (μετά από τη Ρουμανία και τη Βουλγαρία), μία από τις καλύτερες παρουσίες της στην ιστορία του θεσμού!

Σιλουανέ ευχαριστούμε και για το ιστορικό του προβλήματός σου!

Αλέξανδρος

Να πω και εγώ με τη σειρά μου Αλέξανδρε τα συγχαρητήρια μου σε όλους, εν αναμονή της τελετής βράβευσης. Σε σένα κουμπάρε μου γιατί ήσουν άψογος στα καθήκοντά σου ως αρχηγός της αποστολής, στον φίλτατο Ανδρέα Βαρβεράκη που ήταν ένας πανάξιος υπαρχηγός, καθώς επίσης και σε όλα τα παιδιά που πέτυχαν αυτήν την σπουδαία εμφάνιση.

Η φετινή Βαλκανιάδα Νέων είναι γεγονός ότι είχε έντονο άρωμα

Πέραν των Αλέξανδρου και Ανδρέα, ο Πρόεδρος της επιτροπής επιλογής θεμάτων ήταν ο «δικός» μας Δημήτρης Χριστοφίδης, ο οποίος (κατά τη γνώμη μου πάντα) έκανε σπουδαία δουλειά στην επιλογή και επεξεργασία των θεμάτων της λίστας, καθώς επίσης και στον συντονισμό των διορθώσεων.

Τέλος, ελπίζω (ως μέλος της Οργανωτικής Επιτροπής) να πετύχαμε τον στόχο μας, ο οποίος ήταν η οργάνωση μιας Ολυμπιάδας χωρίς ιδιαίτερα προβλήματα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 24, 2019 10:20 pm**

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά της ελληνικής και της κυπριακής ομάδας.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 25, 2019 12:40 am**

cretanman έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 3:48 pm Αξίζει να σημειώσουμε ότι η Ελλάδα κατέλαβε την 3η θέση στο διαγωνισμό (μετά από τη Ρουμανία και τη Βουλγαρία), μία από τις καλύτερες παρουσίες της στην ιστορία του θεσμού!
Σιλουανέ ευχαριστούμε και για το ιστορικό του προβλήματός σου!
Αλέξανδρος

Καταρχάς και καταρχήν και πάλι καταθέτουμε τον ειλικρινή θαυμασμό μας.
Επειδή οι θύμισες από την όμορφη Κύπρο συγκινούν (Ανθρώπινο γαρ συναίσθημα). Μου ήρθε στο νου η 5η BMO juniors που έγινε στην Λευκωσία (στον αγρό), όπου είχα την τιμή να ήμουν ο αρχηγός της ομάδας με υπαρχηγό τον Α. Δούναβη αλλά και κατασκευαστής - εισηγητής του 3ου προβλήματος. Η ομάδα ήταν εφαπτόμενα στην δεύτερη θέση με την Ρουμανία (με συνοδούς - παρατηρητές εκτός των άλλων τον Αντρέσκου, τον Μπρανζέϊ κτλ, πρώτη ήταν η Βουλγαρία) και τελικά μας κατέταξαν στην 3η θέση. Τότε πήραμε ένα Χρυσό μετάλλιο με τον Αρετάκη που αυτή τη στιγμή μεσουρανεί ως Μαθηματικός στο διεθνές στερέωμα και τιμήθηκε πρόσφατα και από την Ακαδημία Αθηνών, και στην συνέχεια Ασημένια μετάλλια με τους Γαλάνη, Κερασιώτη, Σγουρίτσα, Χαλούλο, Ασλανίδου που είναι ήδη μεγάλα Ονόματα στο διεθνές στερέωμα.

Χαίρομε επίσης ειλικρινά για ένα πράγμα. Που ο Σιλουανός μας κατέθεσε τον τρόπο κατασκευής του πανέμορφου για τέτοιους διαγωνισμούς προβλήματος. Εκτός της εγνωσμένης Μαθηματικής αξίας Σιλουανός και των άλλων χαίρομαι διότι και όσο με αφορά τέτοιες καταθέσεις τρόπων κατασκευών τέτοιων προβλημάτων έχω «τολμήσει» και εγώ στο παρελθόν. Πρώτον στα περιοδικά της ΕΜΕ κάτω από τους τίτλους «Το οδοιπορικό της κατασκευής ενός Αλγεβρικού προβλήματος» , «Το οδοιπορικό της κατασκευής ενός Γεωμετρικού προβλήματος», σε δύο συνέδρια, και τέλος σε ημέτερο βιβλίο Γεωμετρίας που συνέγραψα με τον τεράστιο διεθνούς κύρους πλέον Μαθηματικού Ακαδημαϊκού Μιχαήλ Ρασσιά από τις εκδόσεις Springer. Έχει μεγάλη σημασία να δείχνουμε τους τρόπους και τις τεχνικές κατασκευής Μαθηματικών Προβλημάτων.

ΤΕΛΙΚΑ η ΓΑΛΑΖΙΑ ΑΥΤΗ ΠΑΤΡΙΔΑ έχει τεράστιες δυνατότητες, αρκεί ...., αρκεί, ....., αρκεί, ...., αρκεί να γίνει αυτό κατανοητό και επί της ουσίας από
όλους ... ημάς τε και υμάς ...

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 25, 2019 12:51 pm**

S.E.Louridas έγραψε: Τρί Ιουν 25, 2019 12:40 am
cretanman έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 3:48 pm Αξίζει να σημειώσουμε ότι η Ελλάδα κατέλαβε την 3η θέση στο διαγωνισμό (μετά από τη Ρουμανία και τη Βουλγαρία), μία από τις καλύτερες παρουσίες της στην ιστορία του θεσμού!
Σιλουανέ ευχαριστούμε και για το ιστορικό του προβλήματός σου!
Αλέξανδρος
Καταρχάς και καταρχήν και πάλι καταθέτουμε τον ειλικρινή θαυμασμό μας.
Επειδή οι θύμισες από την όμορφη Κύπρο συγκινούν (Ανθρώπινο γαρ συναίσθημα). Μου ήρθε στο νου η 5η BMO juniors που έγινε στην Λευκωσία (στον αγρό), όπου είχα την τιμή να ήμουν ο αρχηγός της ομάδας με υπαρχηγό τον Α. Δούναβη αλλά και κατασκευαστής - εισηγητής του 3ου προβλήματος. Η ομάδα ήταν εφαπτόμενα στην δεύτερη θέση με την Ρουμανία (με συνοδούς - παρατηρητές εκτός των άλλων τον Αντρέσκου, τον Μπρανζέϊ κτλ, πρώτη ήταν η Βουλγαρία) και τελικά μας κατέταξαν στην 3η θέση. Τότε πήραμε ένα Χρυσό μετάλλιο με τον Αρετάκη που αυτή τη στιγμή μεσουρανεί ως Μαθηματικός στο διεθνές στερέωμα και τιμήθηκε πρόσφατα και από την Ακαδημία Αθηνών,

Πράγματι, Σωτήρη, και μ' αυτήν ακριβώς την διάκριση 'κλείνει' το βιογραφικό του, σ' ευχαριστούμε που μοιράστηκες αυτήν την όμορφη ανάμνηση μαζί μας!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 26, 2019 7:13 am**

Demetres έγραψε: Δευ Ιουν 24, 2019 1:05 pm Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ. (Δείτε την τελευταία γραμμή.)

Υπάρχουν άλλοι;

OXI, διότι η ύπαρξη ενός μαύρου τετραγώνου σε οποιοδήποτε από τα λευκά τετράγωνα του Διονύση, και σε χρωματισμό με μέγιστο αριθμό μαύρων τετραγώνων, θα επέτρεπε έναν χρωματισμό με περισσότερα μαύρα τετράγωνα ... σύμφωνα με τον 'αλγόριθμο' του συνημμένου. ΔΕΝ είναι σωστή η προτεινόμενη εδώ απόδειξη μου -- δείτε κάποιες δημοσιεύσεις παρακάτω.

: 5-το-6.png (45.26 KiB) Προβλήθηκε 4055 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 26, 2019 10:28 am**

Άλλη μια Μαθηματική χρονιά τελείωσε με αρκετούς διαγωνισμούς και πολύ διάβασμα !
Φέτος αξιώθηκα να πάρω ασημένιο μετάλλιο στην JBMO και να γνωρίσω νέους φίλους μικρούς και μεγάλους
και είμαι πολύ χαρούμενος για αυτό !

Ευχαριστώ όλους τους φίλους μου στο Mathematica και όχι μόνο, για την συμπαράσταση και
τα καλά τους λόγια, ήταν για μένα μέγιστη κινητήριος δύναμη για να προσπαθήσω πιό πολύ, να φτάσω όπου δεν μπορώ !

Ευχαριστώ τον Ανδρέα Βαρβεράκη και τον Αλέξανδρο Συγκελάκη που μας βοήθησαν στην προετοιμασία μας για την JBMO και μας υποστήριξαν πάρα πολύ!
Χαρά μου λοιπόν και τιμή μου που τα είπαμε και από κοντά !

Xάρηκα ιδιαίτερα που μίλησα με τον Σωτήρη Λοϊζιά , τον Δημήτρη Χριστοφίδη και τον Τάσο Ευαγόρου.
Μπράβο στους Κύπριους Αδερφούς μας για την τέλεια διοργάνωση και για την ζεστασιά τους !!

Μπράβο και στην Ε.Μ.Ε. που φροντίζει για τα παιδιά που ονειρεύονται, που διεκδικούν αυτά που τους αξίζουν και δεν τρώνε τη φόλα !!!

Καλό Καλοκαίρι σε όλους !

Υ.Γ. Πολλούς χαιρετισμούς στους φίλους μου από την Αλβανία !

mathematica.gr

JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019

Re: JBMO 2019