mathematica.gr

Ας είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών . Φέρνω και την ευθεία και τέμνει την στο .

Οι κάθετες από το στις τις τέμνουν στα . Το προφανώς είναι το περίκεντρο του .

Τα σημεία τομής , των αφ ενός και των αφ ετέρου είναι μέσα των . Η που είναι παράλληλη στην διέρχεται και από τα μέσα των υποτεινουσών των ορθογωνίων τριγώνων οπότε : .

Μετά απ’ αυτά :

και άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, οπότε αφού η διχοτομεί τη γωνία του .

Μία με διανύσματα. Καλύτερα να τα δούμε ως δυνάμεις, στην Φυσική.

Τοποθετούμε έξι δυνάμεις στις κορυφές των γωνιών του τριγώνου, όπως οι κόκκινες στο σχήμα. Οι δυνάμεις είναι ίσες σε μέγεθος αλλά έχουν άλλη φορά ή διεύθυνση. Το σύστημα αυτό ισορροπεί επειδή το ζεύγος δυνάμεων σε κάθε πλευρά είναι ίσες και αντίθετες.

Τώρα βλέπουμε το σύστημα αλλιώς: Βρίσκουμε την συνισταμένη των δύο δυνάμεων στην κάθε κορυφή (γαλάζιες). Αφού το κάθε ζεύγος αποτελείται από δυνάμεις ίσου μεγέθους, η εκάστοτε συνισταμένη είναι κατά μήκος των διχοτόμων των γωνιών. Το γεγονός ότι οι συνισταμένες ισορροπούν (αφού όλο το σύστημα ισορροπεί), σημαίνει ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το τελευταίο είναι απλό να αποδειχθεί, αλλά κάπως το αμελούμε στην διδασκαλία μας, πάντως το χρησιμοποιούν οι Φυσικοί. Συνοψίζοντας, αφού οι τρεις γαλάζιες δυνάμεις διέρχονται από ένα κοινό σημείο, συμαίνει ότι οι διχοτόμοι συγκλίνουν.
.

Δεν διάβασα με προσοχή όλες τις αποδείξεις οπότε ελπίζω να μην μπήκε.

Έστω το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών και . Θεωρώ τον μετασχηματισμό που προκύπτει μετά από ανάκλαση πρώτα στην και μετά στην . Αυτός είναι στροφή με κέντρο το και γωνία διπλάσια της . Δηλαδή με γωνία . (Η φορά είναι αντιωρολογιακή αν τα είναι με αντιωρολογιακή φορά.)

Ο μετασχηματισμός στέλνει αρχικά την ευθεία στην ευθεία και ακολούθως στην ευθεία . Άρα η εικόνα του βρίσκεται πάνω στην ευθεία . Κοιτάζουμε τώρα το ισοσκελές τρίγωνο . Είναι . Άρα . Δηλαδή η διχοτομεί την γωνία .

[Δεν έχω δει ξανά αυτήν την απόδειξη αν και σίγουρα δεν θα είναι καινούργια. Την εμπνεύστηκα διότι σήμερα κάναμε με τους φοιτητές ισομετρίες στο επίπεδο, συνθέσεις αυτών των ισομετριών κτλ.]

Κάνω το σχήμα στην ωραία μέθοδο του Δημήτρη (και την γράφω με δικά μου λόγια για να αποφύγω ανακλάσεις ώστε να είναι πιο προσιτή σε μαθητές).

Έστω ότι οι διχοτόμοι των τέμνονται στο . Παίρνουμε το συμμετρικό του προς την . Πέφτει βέβαια πάνω στην . Παίρνουμε τώρα το συμμετρικό του ως προς την . Πέφτει βέβαια πάνω στην . Υπόψη ότι .

Yπολογίζουμε τώρα την γωνία , Ένας τρόπος είναι με γωνίες, όπως ο Δημήτρης. Άλλος τρόπος, μικρή παραλλαγή, είναι να πούμε ότι αφού εκ κατασκευής , ο κύκλος κέντρου και ακτίνας διέρχεται από τα άρα . Οπότε , δηλαδή διχοτόμος της .
.

Ξανακάνω την απόδειξη του Δημήτρη, η οποία μου αρέσει ιδιαίτερα. Οι προσθήκες μου στα παρακάτω είναι μηδαμινές καθώς όλη η ουσία υπάρχει ήδη στην απόδειξη του Δημήτρη.

Έστω ότι οι διχοτόμοι των τέμνονται στο . Παίρνω επί της σημείο με . Έπεται ότι τα τρίγωνα είναι ίσα και άρα και .

Παίρνουμε τώρα στην σημείο με . Έπεται ότι τα τρίγωνα είναι ίσα και άρα και (και ίσα με την ).

Έπεται ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές και . Με τις προηγούμενες ισότητες γωνιών έχουμε . Τελειώσαμε.
.

Ας δούμε και αυτό:

Θεωρούμε για τρίγωνο τα σημεία τέτοια που Θεωρούμε σημείο τέτοιο που και τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο που τέμνει την πλευρά στο και τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα. Έτσι με απλούς υπολογισμούς γωνιών παίρνουμε ότι τα τρίγωνα είναι ισοσκελή αντίστοιχων κορυφών Τότε στο κέντρο του κύκλου θα συναντώνται οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου

Και μία ακόμη απόδειξη που νομίζω ότι δεν είδα παραπάνω:

Ας υποθέσουμε ότι . Προεκτείνουμε την προς το κατά τμήμα ώστε και έστω ότι οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο . Τότε από το τρίγωνο έχουμε και από το (ισοσκελές) έχουμε . Άρα , κι επειδή η γωνία είναι ως γνωστόν ίση με άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Έτσι, αν φέρουμε τις τότε τα τρίγωνα είναι ίσα [, (οι προσκείμενες της γωνίες του είναι φανερά ίσες) και τέλος ], άρα συνεπώς η είναι διχοτόμος κι έτσι το συμπέρασμα έπεται!

Αλέξανδρος

EDIT: Είναι εντελώς όμοια με εκείνη την απόδειξη του Κώστα στο post #15. Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης!