mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Νοέμ 19, 2024 5:05 pm**

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα Γεωμετρική Κατασκευή Α16:

Α16. Να κατασκευασθεί κυρτό εξάγωνο (όχι κανονικό), εγγεγραμμένο σε κύκλο, τέτοιο ώστε οι κύριες διαγώνιές του να διχοτομούν τα ζεύγη των απέναντι γωνιών (του εξάγωνου) από τις κορυφές των οποίων περνούν.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 20, 2024 12:01 am**

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Τρί Νοέμ 19, 2024 5:05 pm Α16. Να κατασκευασθεί κυρτό εξάγωνο (όχι κανονικό), εγγεγραμμένο σε κύκλο, τέτοιο ώστε οι κύριες διαγώνιές του να διχοτομούν τα ζεύγη των απέναντι γωνιών (του εξάγωνου) από τις κορυφές των οποίων περνούν.

Ίσως χάνω κάτι γιατί μου φαίνεται απόλυτα άμεση η κατασκευή: Παίρνουμε εναλλάξ τόξα $\theta$ και $\phi$ σε έναν κύκλο, όπου $\theta +\phi=120^o.$ Τότε όλες οι κύριες διαγώνιες διχοτομούν τις δικές τους κορυφές γιατί είναι όλες από 120^o

. Τελειώσαμε.

Ας συμπληρώσουμε: Αποδεικνύεται, αντίστροφα, ότι τα εν λόγω εξάγωνα είναι όλα της παραπάνω μορφής. Πράγματι, για παράδειγμα οι εγγεγραμμένες γωνίες $\angle ADE, \, \angle ABE$ βαίνουν στο ίδιο τόξο, άρα είναι ίσες. Αν αφαιρέσουμε το κοινό τόξο $\overset {\frown} {AF}$ μένει $\overset {\frown} {AB}= \overset {\frown} {FE}$ , που το ονομάζουμε $\theta$ . Όμοια τα υπόλοιπα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 24, 2024 9:04 am**

Λύση του παρπάνω Πρόβλήματος Α16.

Αγαπητοί φίλοι,
Λύση μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλ. Νέα Στοιχεία Γωμ, Τεύχος 1, σελ. βιλ.122, ή διαδ. 152, Πρότ. 1α(87).

Ή, πιο εύκολα, την λύση μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελ. βιβλ. 122, ή διαδικτύου 152, παράγ. 1α(87).

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 30, 2024 9:50 am**

Πρόταση Α17.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α17. Για κάθε τετράπλευρο (κυρτό ή μη), αληθεύει το Θεώρημα Carnot, για διατέμνουσα την ευθεία που ορίζεται από τις δύο τομής των απέναντι πλευρών του.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 04, 2024 10:06 am**

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α17.

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2, Σελίδα βιβλίου 145, ή διαδικτυακά 171, Πρόταση 2α(102).

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 145, ή ψηφιακά 171, παράγραφος 2α(102).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 12, 2024 9:08 am**

Πρόταση Α18.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α18. Σε κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο δεκάγωνο, του οποίου τουλάχιστον το ένα από τα δίδυμα πεντάγωνα είναι κανονικό, έχει το άθροισμα των μηκών των πλευρών του και των κυρίων διαγώνιων του, ίσο με το άθροισμα των μηκών των δεύτερων διαγώνιων του, ή της περιμέτρου του αστεροειδούς μη κανονικού δεκάγωνου των δεύτερων διαγώνιων του.
(Σχετική ορολογία εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
σελίδα βιβλ. Δ1, ή ψηφιακά 12).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 15, 2024 12:12 pm**

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α18.

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2, Σελίδα βιβλίου 132, ή διαδικτυακά 159, Πρόταση 2α(93).

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 132, ή ψηφιακά 159 , παράγραφος 2α(93).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Δεκ 18, 2024 2:59 pm**

Πρόταση Α19.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Κριτήριο 1 Αρμονικότητας Τετράπλευεου.
Α19. Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο κυρτό τετράπλευρο είναι Αρμονικό, αν και μόνο αν η μια τουλάχιστον από τις διαγώνιές του, περνά από την μια τομή των απέναντι πλευρών του αντίστοιχού του περιγεγραμμένου τετράπλευρου.
(Σχετική ορολογία εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
σελίδα βιβλ. Δ1, ή ψηφιακά 12).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 23, 2024 10:18 am**

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α19.

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2, Σελίδα βιβλίου 128, ή διαδικτυακά 154, Πρόταση 2α(90).

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου 128, ή ψηφιακά 154, παράγραφος 2α(90).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 26, 2024 11:19 am**

Πρόταση Α20.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Κριτήριο 3 Αρμονικότητας Τετράπλευεου.
Α20. Οι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών κάθε αρμονικού τετράπλευρου, τέμνονται επάνω στις διαγώνιές του (προφανώς σε εκείνες που δεν περνούν από τις κορυφές των γωνιών αυτών), και αντίστροφ.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 29, 2024 9:50 am**

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α20.

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2, Σελίδα βιβλίου 173, ή διαδικτυακά 199, Πρόταση 2β(22).

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:Σελίδα βιβλίου 173, ή ψηφιακά 199, παράγραφος 2β(22).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Κατά τον Kant «Στο νου εκείνου που πρώτος αποδεικνύει ή ανακαλύπτει μια ιδιότητα ενός Γεωμετρικού σχήματος, λάμπει ένα πολύ μεγάλο φως και η ικανοποίησή του είναι τεράστια». :.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 01, 2025 12:30 pm**

Πρόταση Α21.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α21. Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο οκτάπλευρο, με συντρέχουσες διαγώνιες (κύριες), έχει συνευθειακές τις τομές των απέναντι πλευρών του και των απέναντι πρώτων και δεύτερων διαγώνιων του].
(Σχετική ορολογία εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
σελίδα βιβλ. Δ1, ή ψηφιακά 12).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Τρεις δικές μου αποοδείξεις θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Χρόνια πολλά. Καλή χρονιά

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Σημειώνω ότι, όταν αποφάσισα να ασχοληθώ με την μελέτη-έρευνα στη Γεωμετρία, γνώριζα ότι έμπαινα σε ξένα αλλά και πολύ δύσκολα μονοπάτια, επειδή δεν είμαι Μαθηματικός και επειδή οι λεωφόροι στον τομέα αυτό έχουν διανυθεί από όλες τις μεγάλες προσωπικότητες, όλων των εποχών ,για χιλιάδες χρόνια τώρα. Γι’ αυτό πραγματικά, σήμερα είναι πολύ δύσκολο να ανακαλύψει κανείς κάτι καινούργιο στον τομέα αυτό.
Πολύ περισσότερο επειδή "Φύσις κρύπτεσθαι φίλει", όπως ο Ηράκλειτος έλεγε.
Παρά ταύτα τόλμησα:
Έτσι σήμερα πιστεύω ότι, από τις χιλιάδες Προτάσεις που επινόησα, τουλάχιστον ένα μέρος απ’ αυτές είναι πρώτο-εμφανιζόμενες. «Ο τολμών νικά».

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 01, 2025 3:12 pm**

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Τετ Ιαν 01, 2025 12:30 pm Πρόταση Α21.

Α21. Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο οκτάπλευρο, με συντρέχουσες διαγώνιες (κύριες), έχει συνευθειακές τις τομές των απέναντι πλευρών του και των απέναντι πρώτων και δεύτερων διαγώνιων του.

Eίναι απολύτως άμεση και απλή εφαρμογή του Θεωρήματος Pascal και του Desargues:

Θεωρούμε το εξάγωνο (οι πράσινες κορυφές στο σχήμα). Από Pascal οι απέναντι πλευρές του τέμνονται σε συνευθειακά σημεία (κόκκινη γραμμή). Θεωρούμε τώρα τα προοπτικά ως προς το τρίγωνα και . Από Desargues οι ομόλογες πλευρές τους τέμνονται σε συνευθειακά σημεία , από τα οποία τα δύο είναι κοινά με την προηγούμενη. Άρα οι ευθείες συμπίπτουν. Όμοια οι άλλες τομές πλευρών ή διαγωνίων τέμνονται επί της . Τελειώσαμε.

Κατά την γνώμη μου δεν είναι δόκιμο να ονομάζονται "πρωτοεμφανιζόμενες" οι απλές προτάσεις με άμεση απόδειξη. Άλλωστε σίγουρα συναντώνται ευρέως στην παλαιά βιβλιογραφία.
.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 02, 2025 10:31 am**

1. Αγαπητοί φίλοι, σε κάθε μου ανάρτησή εδώ, με την τελευταία μου παράγραφο, παραπέμπω στο ποστ 1, ως εξής:
«Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.».

2. Στο ποστ 1, μεταξύ άλλων, αναφέρονται και τα ακόλουθα:
«Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας.
α. Σ’ αυτό εδώ τον χώρο, θα σας παρουσιάζουμε στο εξής, σημαντικές κατά την γνώμη μας Προτάσεις -Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, συνήθως με τις αποδείξεις τους, τις οποίες έχουμε επινοήσει κατά το παρελθόν και τις οποίες δεν είχαμε συναντήσει μέχρι τότε, σαν Προτάσεις, στη γνωστή μας βιβλιογραφία (πρωτοεμφανιζόμενες), άσχετα αν εκ των υστέρων έχουμε συναντήσει κάποιες απ’ αυτές.
β. Γι’ αυτές τις νέες Προτάσεις, κτλ, θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριμένα αν τις έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.
γ. Εξυπακούεται ότι, οι παραπάνω Προτάσεις μπορεί να είναι πολύ δύσκολες μέχρι και πολύ απλές, Στη δεύτερη περίπτωση, σωστό είναι οι κ. κ. Καθηγητές να τις αφήνουν για τους μαθητές, τουλάχιστον για ένα 24ωρο.
δ. Στόχος μας είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσουμε στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες Προτάσεις, κτλ, μπορέσουμε και όχι τόσο η συμμετοχή.
Παρόλα αυτά οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις-λύσεις και ακόμη να κάνουν τις δικές τους επεκτάσεις-γενικεύσεις και τα δικά τους καλοπροαίρετα σχόλια. Δικές μας αποδείξεις-λύσεις, θα ακολουθούν σε εύλογο χρονικό διάστημα».

3. Ακόμη εδώ θα ήθελα να προσθέσω και την δική μου άποψη σε θέματα που συχνά παρατηρούμε:
α. Δε θα πρέπει να δίνονται υποδείξεις αντί ολοκληρωμένων αποδείξεων, γιατί είναι συνήθως δυσνόητες από μαθητές αλλά και παραβιάζουν τον κανονισμό (Δεοντολογία § 16).
β. Η ονομασία των Θεωρημάτων και των Γεωμετρικών Προτάσεων δεν πρέπει να γίνεται με κριτήριο αν είναι εύκολες οι αποδείξεις τους η όχι. Η ευκολία άλλωστε στις αποδείξεις, είναι κυρίως θέμα εμπειρίας, διάθεσης ή μη χεωμάτων αλλά και ταλέντου.
(Βλέπε για παράδειγμα Θεώρημα § 95, της Γεωμ. Γ. Χ. Παπανικολάου 1966 σελ. 75, με πολύ απλή απόδειξη).

4. Επειδή παρατήρησα ότι τα παραπάνω δε λαμβάνονται υπόψη, θα ήθελα να παρακαλέσω και πάλι να λαμβάνονται υπόψη, προς αποφυγή παρεξηγήσεων.

5. Τα παραπάνω αναφερόμενα πιστεύω ότι δίνουν απαντήσεις σε διάφορους υπαινιγμούς.

Ευχαριστώ για την προσοχή σας.
ΧΡΌΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 08, 2025 9:40 am**

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α21.

Αγαπητοί φίλοι,
Τρεις Αποδειξεις μου, και όχι μόνο, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 3, Σελίδα βιβλίου 319, ή διαδικτυακά 329, Πρόταση 2ζ(50).

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1YBEELC ... Lkre9/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:Σελίδα βιβλίου 319, ή ψηφιακά 329, παράγραφος 2ζ(50).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.
Χρόνια πολλά. Καλή χρονιά.

Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής.
Η ομορφιά της λύσης ή ανακάλυψης μιας Γεωμετρικής πρότασης, αν μάλιστα είναι και σημαντική, είναι από μόνη της χρήσιμη, καθώς γοητεύει τον λύτη, ή εμπνευστή, αφάνταστα. .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 12, 2025 2:39 pm**

Πρόταση Α22.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α22. Τα τρία σημεία επαφής των πλευρών κάθε τριγώνου με τον εγγεγραμμένο του κύκλο και οι τρεις τομές του κύκλου αυτού με τις σεβιανές Gergonne του τριγώνου αναφοράς, αποτελούν τις έξι κορυφές αρμονικού εξάγωου.
(Σχετική ορολογία εδώ:
https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
σελίδα βιβλ. Δ1.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δύο δικές μου αποοδείξ3ις θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

Χρόνια πολλά. Καλή χρονιά

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
'Οταν ο Ιέρων παρότρυνε τον Αρχιμήδη να χρησιμοποιήσει τις τεράστιες δυνατότητες του σε πρακτικούς σκοπούς, εκείνος απαντούσε: "Προτιμώ να ανακαλύπτω αλήθειες που υπάρχουν πάντοτε, αλλά κανείς δεν γνώριζε πριν από μένα".

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 17, 2025 8:02 am**

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α22.

Αγαπητοί φίλοι,
Δύο αποδειξεις μου, θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 7, Σελίδα βιβλίου 405, ή διαδικτυακά 414, Πρόταση 7ι(211).

Ή, πιο εύκολα, τις δύο αποδείξεις μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/17DsqXK ... m99Zs/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:Σελίδα βιβλίου 405, ή ψηφιακά 414, παράγραφος 7ι(211).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.
Χρόνια πολλά. Καλή χρονιά.

Φιλικά και ταπεινά.
Νίκος Κυριαζής.
ΥΓ: Ο Κάντ γράφει ότι: «Τα μαθηματικά βρήκαν στον θαυμαστό λαό των Ελλήνων τον ασφαλή δρόμο της επιστήμης». .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 8:46 am**

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα Γεωμετρική Κατασκευή Α23:

Α23. Ειδικού τριγώνου, η μία γωνία είναι διπλάσια μιας άλλης. Ζητείται η τριχοτόμηση της τρίτης γωνίας του.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.
Χρόνια πολλά. Καλή χρονιά.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
ΥΓ: Η αξία της Γεωμετρίας είναι μεγάλη, καθώς έχει συμβάλλει και συμβάλλει αποφασιστικά στην πρόοδο του ανθρώπου, αφού βρίσκει εφαρμογές στην Μηχανική, Αρχιτεκτονική, Τοπογραφία, Οδοποιία, Γλυπτική, Ζωγραφική, Τέχνες, κ.τ.λ.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 8:57 am**

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Τετ Ιαν 22, 2025 8:46 am Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

προτείνω για λύση την παρακάτω νέα Γεωμετρική Κατασκευή Α23:

Α23. Ειδικού τριγώνου, η μία γωνία είναι διπλάσια μιας άλλης. Ζητείται η τριχοτόμηση της τρίτης γωνίας του.

.
Μήπως χάνω κάτι, γιατί το βλέπω τετριμμένο. Συγκεκριμένα, σε τρίγωνο με δοθείσες γωνίες $\theta, 2\theta$ ζητάμε να τριχοτομηθεί η τρίτη γωνία. Σωστά; Μα η τρίτη γωνία είναι $180-3\theta$ της οποίας το $\frac {1}{3}$ είναι $60-\theta$ . Με λίγα λόγια, μας δίνεται η $\theta$ και ζητάμε την κατασκευή της $60-\theta$ . Πού είναι το πρόβλημα! Χάνω κάτι;

Και κάτι ακόμα: Εάν δεν κατασκευάζεται το αρχικό τρίγωνο, ισοδύναμα, αν δεν κατασκευάζεται η γωνία $\theta$ , τότε ούτε η τριχοτόμος είναι κατασκευάσιμη. Με άλλα λόγια πρέπει το δοθέν τρίγωνο να είναι σχεδιασμένο στο χαρτί. Για παράδειγμα αν ζήταγα να τριχοτομηθεί η γωνία

του τριγώνου με $B=40^o, C=2\times 40^o=80^o$ , ΔΕΝ ΘΑ ΤΑ ΚΑΤΑΦΕΡΝΑ αν δεν το έβλεπα σχεδιασμένο: Εδώ θα ζητούσε να τριχοτομηθεί η 180-40-80= 60

, ΠΟΥ ΩΣ ΓΝΩΣΤΟΝ ΔΕΝ ΤΡΙΧΟΤΟΜΕΙΤΑΙ, από Wantzel.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 22, 2025 5:35 pm**

Μια κατασκευή δόθηκε με την ανάρτηση αυτή .

mathematica.gr

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.