mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=11778

Σελίδα 3 από 5

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 02, 2011 9:53 pm
από Eukleidis
7.
Απο την ταυτότητα του Euler ψάχνουμε αριθμούς ακεραιους και διαφορετικούς με το μικρότερο δυνατό αθροισμα και τη μικρότερη δυνατή διαφορα ανα δυο μεταξύ τους.

Αρα είναι για α=1 β=2 και γ=3 και ολες τις μεταθέσεις τους

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 3:22 am
από socrates
Άσκηση 14η

Αν a,b,c μη αρνητικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a+b+c=1,

νδο \displaystyle {\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{5}{2}.}

Πότε ισχύει η ισότητα;

Άσκηση 15η

Αν a \in \mathbb{R} νδο ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς a+\sqrt{2} και a^3+\sqrt{2} είναι άρρητος.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 3:43 am
από userresu
Demetres έγραψε:Άσκηση 5η

Να λυθεί στους ακεραίους η εξίσωση a^2 + 2011b^2 = 2010c^2
1) a,b,c\neq 0
Χωρίς βλάβη της γενικότητας a,b,c>0. Η εξίσωση γράφεται a^2+b^2 = 2010(c-b)(c+b). Παρατηρούμε ότι τα τετραγωνικά υπόλοιπα mod 3 είναι 0 ή 1. Επίσης αφού 3 | 2010, 3 | a^2+b^2. Συνεπώς 3|a και 3|b. Τότε μπορούμε να πούμε a=3k, b=3l. Η εξίσωση γίνεται λοιπόν 9k^2 + 9l^2 = 2010(c-3l)(c+3l) \Leftrightarrow 3(k^2+l^2)=670(c-3l)(c+3l). Από εδώ όμως παίρνουμε ότι 3 | (c-3l)(c+3l), δηλαδή 3|c και c=3m. Τότε έχουμε ότι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την 3(k^2+l^2)=670\cdot 9(m-l)(m+l) \Leftrightarrow k^2+l^2=2010(m-l)(m+l) με a>k,b>l,c>m. Παρατηρούμε ότι, εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία επ' άπειρον, κάθε θετικός ακέραιος της τριάδας μειώνεται απεριόριστα. Όμως αυτό είναι άτοπο καθώς το σύνολο των θετικών ακεραίων είναι κάτω φραγμένο. Συνεπώς η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

2)
Αν c=0 τότε a=0 και b=0.
Αν b=0 τότε a^2=2010c^2, το οποίο ισχύει μόνο για a=c=0 αφού το 2010 δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Αν a=0 τότε 2011b^2=2010c^2 και λόγω των τετραγώνων το αριστερό μέλος διαιρείται περιττό αριθμό φορών με τον πρώτο 2011, ενώ το δεξί άρτιο αριθμό φορών, άτοπο.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 1:21 pm
από slash
Ασκηση 14)

Mπορουμε να γραψουμε την ανισωση ως εξης.
\sum{\frac{(1+a^2)-a^2}{1+a^2}}\geq \frac{5}{2}
Αφου σπασουμε το κλασμα και αλλαξουμε μελη καταληγουμε στην:
\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \frac{1}{2}
Η τελευταια ομως ισχυει διοτι:
\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \sum{\frac{a^2}{2a}}=\sum{\frac{a}{2}}=\frac{1}{2}

Αν εχω κανω καπου λαθος πειτε μου ή αν εχετε αλλο τροπο.

Κωστας.

ΥΓ : Ξερει κανεις με ποσα θεματα περιπου περνας στον ευκλειδη ? Ξερω οτι εξαρταται απο την δυσκολια των θεματων αλλα συνηθως με ποσα περνας ? ευχαριστω.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 2:04 pm
από chris_gatos
Φέτος δε σκοπεύω να κατέβω στον Ευκλείδη. Λόγω ηλικίας απορρίπτομαι...

Μία υπόδειξη για τη 15 του Θανάση που υπογράφει με το όνομα του πάλαι ποτέ Βραζιλιάνου ημίθεου της στρογγυλής θεάς:

Υποθέστε πως και οι δύο είναι ρητοί
ΧΜΧΜΧΜ....χμχμχμχμχμχμ σιγά την υπόδειξη
ονομάστε τους ρ1 και ρ2 αντιστοίχως.Επιλύστε την πρώτη ως πρός α και... :censored:
Σιγά βρε άνθρωπε εσύ την έλυσες κιόλας!!

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 2:33 pm
από Linardatos
Για την 15

γιατι να μην φτανει ο παρακατω συλλογισμος..

εστω α ρητος τοτε προφανως και οι 2 ειναι αρρητοι αφου το αθροισμα ρητος και αρρητος δινει αρρητο΄
εστω α αρρητος τοτε μπορει να μην ξερω τι κανει το a^3 αλλα μου αρκει ο πρωτος αφου αρρητος και αρρητος δινει παλι αρρητο.... οποτε παντα εχουμε εναν τουλαχιστον...

οχι???

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 2:46 pm
από chris_gatos
Φίλε Linardatos νομίζω πως δεν ισχύει ο ισχυρισμός σου.
Πάρε τους \displaystyle{ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 }
και προσθεσέ τους.
Ή πάρε τους \displaystyle{ 1 - \sqrt 2 ,2 + \sqrt 2 }
ή τελος πάντων μπορείς να πάρεις αρκετά ζευγάρια άρρητων που δε σου κάνουν.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 4:28 pm
από Linardatos
Α δεν ειναι τιποτα... μαλλον οι διακοπες...
;)


σωστος... υπαρχουν και αυτα τα αθροισματα.
μαλλον βιαστικα να θεωρησω τους αριθμους "μονονυμα" ????
whatever.. τοτε προφανως θελει αναλυση η ασκηση..!

<Γ/Λ>

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 4:29 pm
από Linardatos
Μονωνυμα lol lol lol lol δε ξανατρωω γαλοπουλα...!!!!

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 4:48 pm
από socrates
slash έγραψε:Ασκηση 14)

Mπορουμε να γραψουμε την ανισωση ως εξης.
\sum{\frac{(1+a^2)-a^2}{1+a^2}}\geq \frac{5}{2}
Αφου σπασουμε το κλασμα και αλλαξουμε μελη καταληγουμε στην:
\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \frac{1}{2}
Η τελευταια ομως ισχυει διοτι:
\sum{\frac{a^2}{1+a^2}}\leq \sum{\frac{a^2}{2a}}=\sum{\frac{a}{2}}=\frac{1}{2}

Αν εχω κανω καπου λαθος πειτε μου ή αν εχετε αλλο τροπο.

Κωστας.

ΥΓ : Ξερει κανεις με ποσα θεματα περιπου περνας στον ευκλειδη ? Ξερω οτι εξαρταται απο την δυσκολια των θεματων αλλα συνηθως με ποσα περνας ? ευχαριστω.
Σωστά... :)

Διαφορετικά, μπορούμε να δείξουμε \displaystyle \frac{1}{1+a^2}\geq \frac{2-a}{2} και να αθροίσουμε κυκλικά. Η ισότητα αν-ν (a,b,c)=(1,0,0) και οι μεταθέσεις.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 5:04 pm
από chris_gatos
Ας δώσω κι εγώ μία:

ΑΣΚΗΣΗ 16

Να βρείτε τα τελευταία

1)3 ψηφία

2) 5 ψηφία

του αριθμού \displaystyle{ 7^{2001} }

Στο πρώτο παρέχεται βοήθεια...
Θέμα απο ''Μαθηματικές Ολυμπιάδες για μαθητές Δημοτικού-Γυμνασίου''-Σ.Λουρίδας-Κ.Σάλαρης

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 5:12 pm
από Eukleidis
Lets see here: viewtopic.php?f=23&t=10756

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 03, 2011 6:09 pm
από socrates
Άσκηση 17η

Θεωρούμε την ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων \{a_n\}_{n\geq 1} τέτοια ώστε
i) a_{mn} = a_{m}+a_{n} για κάθε m,n \in \mathbb{N}^*
ii) a_{n} =0, αν το ψηφίο των μονάδων του n είναι 9

Να δείξετε ότι αν το n δεν έχει κοινό παράγοντα με το 10, δηλαδή (n,10)=1, τότε a_{n} = 0.


Άσκηση 18η

Ποιοι ακέραιοι μπορούν να γραφούν στη μορφή \displaystyle \frac{a}{2b}+\frac{b}{3a} με a,b \in \mathbb{Z}^*;


Άσκηση 19η

Να βρεθούν οι a,b \in \mathbb{N}^* ώστε ο αριθμός \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b} να είναι ακέραιος.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 04, 2011 5:44 pm
από qwerty
socrates έγραψε:
Άσκηση 19η

Να βρεθούν οι a,b \in \mathbb{N}^* ώστε ο αριθμός \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b} να είναι ακέραιος.
θα βρούμε τα ζεύγη (α,b) που ζητάει η άσκηση...
εύκολα βλέπουμε 2 λύσεις τις (1,1) και (1,2) τώρα αν a>1 και b>2 έχουμε 1/a<1 και 2/b<1 άρα 1/α+1/β<2
αρα για αυτές τις τιμες η μόνη ελπίδα να είναι ο \displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b} ακέραιος,είναι να ισχύει
\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1 (1) οπότε τώρα μας αρκεί να βρούμε τις ακέραιες λύσεις τις (1)
έχουμε λοιπόν (1) \Leftrightarrow b+2a=ab \Leftrightarrow \frac{2a}{b}=a-1 αυτό σημαίνει οτι ο b|2a \Rightarrow b\leq 2a
άρα ab=b+2a \leq 2a+2a=4a \Rightarrow ab\leq 4a \Rightarrow b\leq 4

δοκιμάζουμε λοιπόν τις τιμες b=1,2,3,4 και βρίσκουμε τις λύσεις (1,1),(1,2),(2,4),(3,3)

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 04, 2011 8:14 pm
από socrates
Άσκηση 20η

Αν a_1,a_2,\cdots,a_n>0 τέτοιοι ώστε a_1+a_2+...+a_n+a_1a_2...a_n=n+1,

νδο a_1+a_2+...+a_n\geq \sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+...+\sqrt{a_n}.


Άσκηση 21η

Αν οι πραγματικοί αριθμοί a_1,a_2,\cdots,a_{100} είναι τέτοιοι ώστε a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{100}^{2}+( a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100})^{2}= 101,

νδο |a_{k}|\leq 10, για κάθε k\in\{1,2,...,100\}


Άσκηση 22η

Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε abc(a+b+c)=3,

νδο (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 04, 2011 8:46 pm
από Eukleidis
20.
Από C.S. παίρνουμε ότι \displaystyle{n\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right) \geqslant {\left( {\sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} + ... + \sqrt {{a_n}} } \right)^2}}.
Αρκεί να δείξουμε ότι \displaystyle{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \geqslant n \Leftarrow n + 1 - {a_1}{a_2}...{a_m} \geqslant n \Leftarrow {a_1}{a_2}...{a_m} \leqslant 1}
Πράγματι αν ισχυε ότι \displaystyle{{a_1}{a_2}...{a_m} > 1} τότε
\displaystyle{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} + {a_1}{a_2}...{a_n} \geqslant n\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} + {a_1}{a_2}...{a_n} > n + 1} που είναι άτοπο.

Αρα τελικά ισχύει το ζητουμενο

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 04, 2011 9:30 pm
από kwstas12345
22.
Από την αρχική βλέπουμε \displaystyle 81=27abc\left(a+b+c \right)\leqslant \left(a+b+c \right)^{2}\Rightarrow a+b+c\geqslant 3 αλλά και \displaystyle abc\leqslant 1.

Είναι: \displaystyle \left(a+b \right)\left(b+c \right)\left(c+a \right)=ab\left(a+b \right)+bc\left(b+c \right)+ca\left(c+a \right)+ 2abc.

Όμως : \displaystyle 3+\sum{ab\left(a+b \right)}=\sum{\left(a^2b+a^2c+1 \right)}\geqslant 3\sum{\sqrt[3]{a^4 bc}}=3\sqrt[3]{abc}\sum{a}

Άρα: \displaystyle \prod{\left(a+b \right)}\geqslant 2abc-3+3\sqrt[3]{abc}\left(a+b+c \right)=\frac{6}{a+b+c}+3\sqrt[3]{3\left(a+b+c \right)^{2}}- 3.

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle f\left(x \right)=\frac{2}{x}+\sqrt[3]{3x^2},f'\left(x \right)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{x}}=2\left(\frac{\sqrt[3]{3}x^{2}-3\sqrt[3]{x}}{3x^2\sqrt[3]{x}} \right)>0, \displaystyle x\geqslant 3.

Άρα: \displaystyle \frac{6}{a+b+c}+3\sqrt[3]{3\left(a+b+c \right)^{2}}-3=3f\left(a+b+c \right)-3\geqslant 3f\left(3 \right) -3=8.

Η ισότητα λαμβάνεται όταν \displaystyle a+b+c=3\Leftrightarrow a=b=c=1

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 04, 2011 11:29 pm
από Νασιούλας Αντώνης
Μια λύση για την 4ii), λίγο διαφορετική από του κ. Ηράκλειου.
0<1\leq b \Rightarrow a^2<a^2+b\Rightarrow a<\sqrt{a^2+b} \Rightarrow \sqrt{a^2+b}-a>0\Rightarrow \sqrt{A} >0

b\leq a < a + \frac{1}{4}\Rightarrow a^2+b<a^2+2a\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}=(a+\frac{1}{2})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+b}<a+\frac{1}{2}\Rightarrow \sqrt{a^2+b}-a<\frac{1}{2}\Rightarrow A=(\sqrt{a^2+b}-a)^2<\frac{1}{4}

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 05, 2011 2:42 am
από kwstas12345
17.
Κάθε αριθμός μπορέι να γραφεί στην μορφή \displaystyle 10k+r, r \in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}, k \in \mathbb {N}. Επειδή \displaystyle \left(n,10 \right)=1 ο n δεν έχει την μορφή \displaystyle 10k+r,r \in \left\{0,2,4,6,8 \right\}.

Oι αριθμοί \displaystyle 10a+9,10b+9 a, b \in \mathbb{N} λήγουν σε 9 άρα \displaystyle a_{10a+9}=a_{10b+9}=0. Το γινομενό τους είναι αριθμός της μορφής \displaystyle 10c+1 , c \in \mathbb{N^{*}}. Άρα: \displaystyle a_{\left(10a+9 \right)\left(10b+9 \right)}=a_{\left(10c+1 \right)}=0+0=0\Rightarrow a_{10c+1}=0, c \in \mathbb{N^*}.

Eπίσης ,οι αριθμοί \displaystyle 10a+7,10b+7 a, b \in \mathbb{N} λήγουν σε 7 άρα ,το γινομενό τους είναι αριθμός της μορφής \displaystyle 10c+9 , c \in \mathbb{N^{*}} άρα \displaystyle a_{\left(10a+7 \right)\left(10b+7 \right)}=a_{\left(10a+7 \right)}+a_{\left(10b+7 \right)}=a_{\left(10c+9 \right)}=0\Leftrightarrow \displaystyle a_{\left(10a+7 \right)}=a_{\left(10b+7 \right)}=0,a_{n}\geqslant 0.

Άρα γενικότερα \displaystyle a_{\left(10d+1 \right)}=0,d \in \mathbb{N^*}. Ακόμη το γινόμενο των αριθμών \displaystyle 10p+3,10q+9,p,q \in \mathbb{N} λήγει σε 7 άρα \displaystyle a_{\left(10p+3 \right)\left(10q+9 \right)}=a_{\left(10p+3 \right)}+a_{\left(10q+9 \right)}=a_{\left(10l+7 \right)}\Rightarrow a_{\left(10p+3 \right)}= \displaystyle 0, p\in \mathbb{N^*}

Τελικά \displaystyle a_{n}=0,n=10t+r,r \in \left\{1,3,7,9 \right\},t \in \mathbb{N^*}.

Re: Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 05, 2011 12:57 pm
από slash
Και ενα προβλημα....

23η)
O Τάσος τελειώνει μια εργασία σε συγκεκριμένες, ακέραιου αριθμού, ώρες. Ο Χρήστος τελειώνει την ίδια εργασία σε ένα ορισμένο αριθμό ωρών ο οποίος είναι επίσης ένας ακέραιος. Ο Χρήστος απαιτεί λιγότερο χρόνο από τον Τάσο, και ένας
από αυτούς τους δύο ακέραιους είναι πρώτος. Τι κλάσμα του έργου έχει κάνει σε μία ώρα ο Τάσος, εάν, όταν εργάζονται μαζί στην ίδια εγασία , η ολοκλήρωση της λαμβάνει 4 ώρες;

(A Primer for Mathematics Competitions,με μεταφραση φυσικά)
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+03:00
Σελίδα 3 από 5

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com