mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 12, 2012 10:23 pm**

η άσκηση 16 άλλαξε γιατί ήταν το ΘΕΜΑ ΟΕΦΕ 2003 και η νέα βρίσκεται εδώ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 12, 2012 10:54 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 17

α) Αν $\displaystyle{{\vec{e}}_{1}},{{\vec{e}}_{2}},{{\vec{e}}_{3}}$ είναι μοναδιαία διανύσματα του ιδίου διανυσματικού επιπέδου και
$\displaystyle{{\vec{e}}_{1}}\cdot {{\vec{e}}_{2}}+{{\vec{e}}_{2}}\cdot {{\vec{e}}_{3}}+{{\vec{e}}_{3}}\cdot {{\vec{e}}_{1}}=-1$ , τότε δύο από αυτά είναι αντίθετα.

β) Δείξτε (κάνοντας χρήση των διανυσμάτων) ότι σε κάθε τρίγωνο ABC

ισχύει:
$\sigma \upsilon \nu A+\sigma \upsilon \nu B+\sigma \upsilon \nu C\le \frac{3}{2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 12, 2012 11:15 pm**

ghan έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17

Αν $\displaystyle{{\vec{e}}_{1}},{{\vec{e}}_{2}},{{\vec{e}}_{3}}$ είναι μοναδιαία διανύσματα του ιδίου διανυσματικού επιπέδου και
$\displaystyle{{\vec{e}}_{1}}\cdot {{\vec{e}}_{2}}+{{\vec{e}}_{2}}\cdot {{\vec{e}}_{3}}+{{\vec{e}}_{3}}\cdot {{\vec{e}}_{1}}=-1$ , τότε δύο από αυτά είναι αντίθετα.

Έστω ότι μεταξύ των $\displaystyle{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}}$ δεν υπάρχουν αντίθετα. Τότε, θα ισχύει: $\displaystyle{\vec{e_1}+\vec{e_2}\ne \vec{0},\vec{e_2}+\vec{e_3}\ne \vec{0},\vec{e_3}+\vec{e_1}\ne \vec{0}}$ .

Από τη σχέση $\displaystyle{\vec{e_1}\cdot \vec{e_2}+\vec{e_2}\cdot \vec{e_3}+\vec{e_3}\cdot \vec{e_1}=-1}$ , και επειδή τα μέτρα τους είναι ίσα με

προκύπτουν (*) οι ισότητες:

$\displaystyle{(\vec{e_1}+\vec{e_2})(\vec{e_1}+\vec{e_3})=(\vec{e_2}+\vec{e_1})(\vec{e_2}+\vec{e_3})=(\vec{e_3}+\vec{e_1})(\vec{e_3}+\vec{e_2})=0}$ , άρα έχουμε ότι :

$\displaystyle{(\vec{e_1}+\vec{e_2})\perp (\vec{e_1}+\vec{e_3})}$ (1), $\displaystyle{(\vec{e_2}+\vec{e_1})\perp (\vec{e_2}+\vec{e_3})}$ (2) και $\displaystyle{(\vec{e_3}+\vec{e_1})\perp (\vec{e_3}+\vec{e_2})}$ (3).

Από τις (1), (2) προκύπτει ότι $\displaystyle{(\vec{e_3}+\vec{e_2}) // (\vec{e_1}+\vec{e_3})}$ που, σε συνδυασμό με την (3) δίνουν ότι κάποια από τα αθροίσματα είναι μηδενικό, άτοπο.

(*) Έχουμε π.χ. $\displaystyle{\vec{e_1}\cdot \vec{e_2}+\vec{e_2}\cdot \vec{e_3}+\vec{e_3}\cdot \vec{e_1}+1=0\Rightarrow \vec{e_1}\cdot \vec{e_2}+\vec{e_2}\cdot \vec{e_3}+\vec{e_3}\cdot \vec{e_1}+\vec{e_1}^2=0\Rightarrow (\vec{e_1}+\vec{e_2})(\vec{e_1}+\vec{e_3})=0 }$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 12:41 am**

ghan έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17

β) Δείξτε (κάνοντας χρήση των διανυσμάτων) ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει:
$\sigma \upsilon \nu A+\sigma \upsilon \nu B+\sigma \upsilon \nu C\le \frac{3}{2}$ .

Θεωρώ τα διανύσματα $\displaystyle{\vec a=\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|},~\vec b=\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|},~\vec c=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}}$ . Αυτά είναι μοναδιαία, έχει το καθένα τη διεύθυνση μιας πλευράς και ισχύουν :

$(\widehat{\vec a,\vec b})=180^{o}-\hat{C},(\widehat{\vec b,\vec c})=180^{o}-\hat{A},(\widehat{\vec c,\vec a})=180^{o}-\hat{B}$ . Έχουμε $(\vec a+\vec b+\vec c)^2\geq 0\Rightarrow \vec a^2+\vec b^2+\vec c^2+2\vec a \cdot \vec b+2\vec b\cdot \vec c+2\vec c\cdot \vec a\geq 0\Rightarrow$

$\displaystyle{\Rightarrow 1+1+1+2(\vec a \cdot \vec b+\vec b\cdot \vec c+\vec c\cdot \vec a)\geq 0\Rightarrow \vec a \cdot \vec b+\vec b\cdot \vec c+\vec c\cdot \vec a\geq -\frac{3}{2}\Rightarrow$

$\displaystyle{\Rightarrow|\vec a|| \vec b|\sigma \upsilon \nu (180^{o}-C)+|\vec b|| \vec c|\sigma \upsilon \nu (180^{o}-A)+|\vec c|| \vec a|\sigma \upsilon \nu (180^{o}-B)\geq -\frac{3}{2}\Rightarrow -|\vec a|| \vec b|\sigma \upsilon \nu C-|\vec b|| \vec c|\sigma \upsilon \nu A-|\vec c|| \vec a|\sigma \upsilon \nu B\geq -\frac{3}{2}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\Rightarrow -\sigma \upsilon \nu C-\sigma \upsilon \nu A-\sigma \upsilon \nu B\geq -\frac{3}{2}\Rightarrow \sigma \upsilon \nu A+\sigma \upsilon \nu B+\sigma \upsilon \nu C\leq \frac{3}{2} }$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 7:11 am**

Καλημέρα σε όλους.....μια απλή ιδέα.....

Άσκηση 18

Έστω τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta }, \vec{\gamma }$ , με $\left|\vec{\alpha } \right|=\left|\vec{\beta } \right|=\left|\vec{\gamma } \right|\neq 0$ και $\vec{\beta } \cdot\left(\vec{\alpha } +\vec{\gamma }\right)+2\left\vec{\alpha }^{2} \right=0$

α) Να αποδειχθεί ότι $\vec{\alpha }+\vec{\beta }=\vec{0}$

β) Να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha }\cdot \left(\vec{\beta }-\vec{\gamma } \right)+\vec{\beta }\cdot \left(\vec{\alpha }-\vec{\gamma } \right)+\vec{\gamma }\cdot \left(\vec{\alpha }-\vec{\beta } \right)=0$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 9:30 am**

pana1333 έγραψε:Καλημέρα σε όλους.....μια απλή ιδέα.....

Άσκηση 18

Έστω τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta }, \vec{\gamma }$ , με $\left|\vec{\alpha } \right|=\left|\vec{\beta } \right|=\left|\vec{\gamma } \right|\neq 0$ και $\vec{\beta } \cdot\left(\vec{\alpha } +\vec{\gamma }\right)+2\left\vec{\alpha }^{2} \right=0$

α) Να αποδειχθεί ότι $\vec{\alpha }+\vec{\beta }=\vec{0}$

β) Να αποδείξετε ότι $\vec{\alpha }\cdot \left(\vec{\beta }-\vec{\gamma } \right)+\vec{\beta }\cdot \left(\vec{\alpha }-\vec{\gamma } \right)+\vec{\gamma }\cdot \left(\vec{\alpha }-\vec{\beta } \right)=0$

α) Έχουμε

$\displaystyle{\vec \beta \left( {\vec \alpha + \vec \gamma } \right) + 2{{\vec \alpha }^2} = 0 \Rightarrow \vec \beta \vec \alpha + \vec \beta \vec \gamma + 2{{\vec \alpha }^2} = 0 \Rightarrow \left| {\vec \beta } \right|\left| {\vec \alpha } \right|\sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\vec \alpha ,\vec \beta }} \right) + \left| {\vec \beta } \right|\left| {\vec \gamma } \right|\sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\vec \beta ,\vec \gamma }} \right) + 2{\left| {\vec \alpha } \right|^2} = 0}$

Αλλά $\displaystyle{\left| {\vec \alpha } \right| = \left| {\vec \beta } \right| = \left| {\vec \gamma } \right|}$

Οπότε έχουμε

$\displaystyle{{\left| {\vec \alpha } \right|^2}\left[ {\sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\vec \alpha ,\vec \beta }} \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\vec \beta ,\vec \gamma }} \right) + 2} \right] = 0 \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\vec \alpha ,\vec \beta }} \right) + \sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\vec \beta ,\vec \gamma }} \right) + 2 = 0 \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\vec \alpha ,\vec \beta }} \right) = - 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\vec \beta ,\vec \gamma }} \right) = - 1}$

Άρα $\displaystyle{\left( {\widehat {\vec \alpha ,\vec \beta }} \right) = \left( {\widehat {\vec \beta ,\vec \gamma }} \right) = \pi \Rightarrow \vec \alpha \uparrow \downarrow \vec \beta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vec \beta \uparrow \downarrow \vec \gamma }$

και αφού $\displaystyle{\left| {\vec \alpha } \right| = \left| {\vec \beta } \right| = \left| {\vec \gamma } \right|}$ προκύπτει $\displaystyle{\vec \alpha = - \vec \beta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vec \beta = - \vec \gamma \Rightarrow \vec \alpha + \vec \beta = \vec 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vec \alpha = \vec \gamma }$ (*)

β) Έχουμε

$\displaystyle{\vec \alpha \left( {\vec \beta - \vec \gamma } \right) + \vec \beta \left( {\vec \alpha - \vec \gamma } \right) + \vec \gamma \left( {\vec \alpha - \vec \beta } \right)\mathop = \limits^{(*)} - \vec \beta \left( {\vec \beta + \vec \beta } \right) + 0 - \vec \beta \left( { - \vec \beta - \vec \beta } \right) = - 2{{\vec \beta }^2} + 2{{\vec \beta }^2} = 0}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 10:25 am**

ΑΣΚΗΣΗ 19

Για τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec a, \vec b, \vec c$ ισχύουν οι σχέσεις : $\vec a=|\vec b|\vec c+|\vec c|\vec b$ και $|\vec a|=|\vec b|^2+|\vec c|^2$ .

Να αποδείξετε ότι :

$\color{blue}a)\color{black}|\vec b|=|\vec c|.~~~~~\color{blue}\beta )\color{black}|\vec a|=2|\vec b|^2.~~~~~\color{blue}\gamma )\color{black}\vec b=\vec c$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 12:28 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 20

Για τα διανύσματα $\vec a, \vec b, \vec c$ ισχύουν οι σχέσεις : $|\vec a|=2,~|\vec b|=1,~\vec a\cdot \vec b=-1$ και $\vec a\cdot \vec c+\vec a^2 \vec b^2=0$ .

α) Να αποδείξετε ότι το $\vec b$ είναι κάθετο στο $\vec w=(\vec a \cdot \vec c)\vec a-4\vec b$

β) Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών x,y

για τις οποίες τα μέτρα των διανυσμάτων $\vec u=\vec a+x \vec b,~\vec v=y\vec a+ \vec b$ γίνονται ελάχιστα.

γ) Για $\displaystyle{x=1,y=\frac{1}{4}}$ , να βρείτε τη γωνία $(\widehat{\vec u,\vec v})$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 12:59 pm**

Ας συμμετάσχω και εγώ στη συλλογή για τη β:

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 20

Α) Είναι $\displaystyle \vec{w}\vec{b}=(\vec{a}\vec{c})\vec{b}\vec{a}-4\vec{b}^{2}=-\vec{a}\vec{c}+\vec{a}\vec{c}=0$ , συνεπώς το $\vec{w}$ είναι κάθετο στο $\vec{b}$ .

β) Είναι $\displaystyle|\vec{u}|^{2}=|\vec{a}+x\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+2x\vec{a}\vec{b}+x^{2}|\vec{b}|}^{2}=4-2x+x^{2}=(x-1)^{2}+3\geq 3$
με $|\vec{u}|_{min}=\sqrt{3}$ , όταν x=1

.

Ακόμη $\displaystyle|\vec{v}|^{2}=|y\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{b}|^{2}+2y\vec{a}\vec{b}+y^{2}|\vec{a}|^{2}=4y^{2}-2y+1=4(y^{2}-\frac{y}{2}+\frac{1}{4})$
$\displaystyle=4[(y-\frac{1}{4})^{2}+\frac{3}{16}]\geq \frac{3}{4}$

με $|\vec{v}|_{min}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ όταν $y-\frac{1}{4}=0\Rightarrow y=\frac{1}{4}$

γ) Από το (β) ερώτημα αν $x=1,y=\frac{1}{4}\Rightarrow |\vec{u}|=\sqrt{3}, |\vec{v}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$

άρα και αν $\theta$ είναι η γωνία των διανυσμάτων $\vec{u}, \vec{v}$
$\displaystyle\sigma \upsilon \nu \theta =\frac{\vec{u}\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$
$\displaystyle=\frac{\frac{1}{4}|\vec{a}|^{2}+\frac{5}{4}\vec{a}\vec{b}+|\vec{b}|^{2}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=...=\frac{1}{2}$

συνεπώς $\displaystyle\theta =\frac{\pi }{3}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 1:01 pm**

Έχουν μείνει χωρίς λύση,η νεα άσκηση 16 καθώς και η 19.
Μιας και φτάσαμε τον αριθμό 20, ας περιμένουμε να λύθουν πρωτα αυτές και μετά βλέπουμε τι θα κάνουμε. Αν θα συνεχίσουμε σε διανύσματα ή θα πάμε σε ευθεία.
Για το λόγο αυτό, ας μην προτείνουμε νέα άσκηση αν δεν δωθούν οι παραπάνω λύσεις και αν δεν αποφασίσουμε τι θα κάνουμε.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 2:14 pm**

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 19

Για τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec a, \vec b, \vec c$ ισχύουν οι σχέσεις : $\vec a=|\vec b|\vec c+|\vec c|\vec b$ και $|\vec a|=|\vec b|^2+|\vec c|^2$ .

Να αποδείξετε ότι :

$\color{blue}a)\color{black}|\vec b|=|\vec c|.~~~~~\color{blue}\beta )\color{black}|\vec a|=2|\vec b|^2.~~~~~\color{blue}\gamma )\color{black}\vec b=\vec c$

Λύνω το πρώτο ερώτημα που παρουσιάζει ενδιαφέρον,

α) Θέτουμε για ευκολία $\left| {\vec b} \right| = k,\,\,\left| {\vec c} \right| = m$

Έχουμε από την πρώτη δεδομένη σχέση,

$\vec \alpha = k\vec c + m\vec b \Rightarrow \left| {\vec \alpha } \right| = \left| {k\vec c + m\vec b} \right| \le k\left| {\vec c} \right| + m\left| {\vec b} \right| = 2\left| {\vec b} \right|\left| {\vec c} \right|$

άρα

$\begin{array}{l} \left| {\vec \alpha } \right| \le 2\left| {\vec b} \right|\left| {\vec c} \right| \Rightarrow {\left| {\vec b} \right|^2} + {\left| {\vec c} \right|^2} \le 2\left| {\vec b} \right|\left| {\vec c} \right| \\ \Rightarrow {\left( {\left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right|} \right)^2} \le 0 \\ \Rightarrow \left| {\vec b} \right| - \left| {\vec c} \right| = 0 \\ \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = \left| {\vec c} \right| \\ \end{array}$

β) Με αντικατάσταση στην δεύτερη δεδομένη σχέση παίρνουμε,

$|\vec a| = |\vec b{|^2} + |\vec c{|^2} \Rightarrow |\vec a| = 2|\vec b{|^2}$

γ) Έχουμε διαδοχικά,

$\begin{array}{l} \vec a = |\vec b|\vec c + |\vec c|\vec b \Rightarrow \vec a = |\vec b|\left( {\vec c + \vec b} \right) \\ \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = \,\left| {\vec b} \right|\left| {\vec c + \vec b} \right| \\ \Rightarrow 2{\left| {\vec b} \right|^2} = \left| {\vec b} \right|\left| {\vec c + \vec b} \right| \\ \Rightarrow 2\left| {\vec b} \right| = \left| {\vec c + \vec b} \right| \\ \Rightarrow 4{\left| {\vec b} \right|^2} = {\left| {\vec c + \vec b} \right|^2} \\ \Rightarrow 4{{\vec b}^2} = {{\vec c}^2} + {{\vec b}^2} + 2\vec c \cdot \vec b \\ \Rightarrow {{\vec b}^2} = \vec c \cdot \vec b \\ \Rightarrow {{\vec b}^2} = \left| {\vec c} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \sigma \upsilon \nu \mathop {\left( {\vec c,\vec b} \right)}\limits^ \wedge \\ \Rightarrow {{\vec b}^2} = {\left| {\vec b} \right|^2} \cdot \sigma \upsilon \nu \mathop {\left( {\vec c,\vec b} \right)}\limits^ \wedge \\ \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \mathop {\left( {\vec c,\vec b} \right)}\limits^ \wedge = 1 \\ \Rightarrow \mathop {\left( {\vec c,\vec b} \right)}\limits^ \wedge = 0 \\ \Rightarrow \vec c \uparrow \uparrow \vec b \\ \end{array}$

οπότε $\vec c = p \cdot \vec b,\,\,\,\,p > 0$ άρα $\left| {\vec c} \right| = \left| p \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \Rightarrow \left| p \right| = 1\mathop \Rightarrow \limits^{p > 0} p = 1$

δηλαδή έπεται το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 2:34 pm**

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha }, \vec{\beta }$ . να δείξετε ότι:
i) Για όλους τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ ισχύει :
$\lambda ^2-(\left|\vec{\alpha + \vec{\beta }} \right|+ \left|\vec{\alpha - \vec{\beta }} \right|)\lambda \mu +(\left|\vec{\alpha } \right|^2+\left|\vec{\beta } \right|^2)\mu ^2 \geq 0$ .
ii) Αν στην προηγούμενη σχέση του i) ερωτήματος ισχύει η ισότητα για κάποιο $\mu \neq 0$ τότε δείξτε ότι
τα διανύσματα $\vec{\alpha }, \vec{\beta }$ είναι κάθετα.

Χρήστος

Αφού έγραψα 2 φορές την 6 αλλά δεν ανέβαινε με τίποτα. Αφού δεν κατάφερα να ανοίξω το Editor για ώρες πολλές, επιχειρώ τη 16

1. Τα διανύσματα είναι μη μηδενικά οπότε $\left|\vec a \right|^2+\left|\vec b \right|^2\neq 0$ .Επομένως, πρόκειται για τριώνυμο ως προς $\mu$ . Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι
$\Delta =\left(\left|\vec a+\vec b \right|+\left|\vec a-\vec b \right| \right)^2{\lambda }^2-4\left(\left|\vec a \right|^2+\left|\vec b \right|^2 \right){\lambda }^2= \left( \left|\vec a+\vec b \right|^2+\left|\vec a-\vec b \right|^2+2\left|\vec a +\vec b\right| \left|\vec a-\vec b \right|-2\left(2\left(\left|\vec a \right|+\left|\vec b \right| \right) \right)\lambda ^2$
Με χρήση του κανόνα παραλληλογράμμου η διακρίνουσα γράφεται
$\Delta = \left( \left|\vec a+\vec b \right|^2+\left|\vec a-\vec b \right|^2+2\left|\vec a +\vec b\right| \left|\vec a-\vec b \right|-2\left|\vec a+ \vec b \right|^2+\left|\vec a-\vec b \right|)\lambda ^2=-\left(\left|\vec a+\vec b \right|-\left|\vec a-\vec b \right| \right)^2\lambda ^2$ για κάθε $\lambda \epsilon R$ . Είναι $\Delta \leq 0$ , και ο συντελεστής του τετραγώνου θετικόσ, οπότε $\lambda ^2-(\left|\vec{\alpha + \vec{\beta }} \right|+ \left|\vec{\alpha - \vec{\beta }} \right|)\lambda \mu +(\left|\vec{\alpha } \right|^2+\left|\vec{\beta } \right|^2)\mu ^2 \geq 0$ .
2. Όταν ισχύει η ισότητα για κάποιο $\mu \neq 0$ τότε $\Delta =0$ οπότε προκύπτει $\left|\vec a+\vec b \right|=\left|\vec a-\vec b \right|$ . Το παραλληλόγραμμο που προκύπτει από το άθροισμα των διανυσμάτων $\vec a, \vec b$ έχει ίσες διαγωνίους συνεπώς είναι ορθογώνιο. ΄Αρα, τα διανύσματα $\vec a, \vec b$ είναι κάθετα.

Αν κάποιος ανάβαζε ένα σχηματάκι θα το εκτιμούσα ιδιαίτερα

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 3:07 pm**

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 19

Για τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec a, \vec b, \vec c$ ισχύουν οι σχέσεις : $\vec a=|\vec b|\vec c+|\vec c|\vec b$ και $|\vec a|=|\vec b|^2+|\vec c|^2$ .

Να αποδείξετε ότι :

$\color{blue}a)\color{black}|\vec b|=|\vec c|.~~~~~\color{blue}\beta )\color{black}|\vec a|=2|\vec b|^2.~~~~~\color{blue}\gamma )\color{black}\vec b=\vec c$

Για το γ) - χωρίς εσωτερικό γινόμενο:

$\displaystyle{\vec a = |\vec b|\vec c + |\vec c|\vec b \implies \vec a = |\vec b|\left( {\vec c + \vec b} \right) \implies \left| {\vec a} \right| = \,\left| {\vec b} \right|\left| {\vec c + \vec b} \right|}$

$\displaystyle{\implies 2{\left| {\vec b} \right|^2} = \left| {\vec b} \right|\left| {\vec c + \vec b} \right| \implies 2\left| {\vec b} \right| = \left| {\vec c + \vec b} \right|}$

$\displaystyle{\implies |\vec b| + |\vec c|= \left| {\vec c + \vec b} \right| \implies \vec b \uparrow \uparrow \vec c \overset {\left|\vec b \right| = \left|\vec c \right|}{\implies} \vec b=\vec c.}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 4:13 pm**

Ζωή πολύ ωραία λύση, αλλά το τελευταίο βήμα δεν χρειάζεται απόδειξη; Εγώ το απέδειξα για να είμαστε καλυμμένοι, τι λες;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 4:37 pm**

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Ζωή πολύ ωραία λύση, αλλά το τελευταίο βήμα δεν χρειάζεται απόδειξη; Εγώ το απέδειξα για να είμαστε καλυμμένοι, τι λες;

Συμφωνώ απόλυτα. Ο λόγος που δεν το απέδειξα είναι επειδή το είχες γράψει αναλυτικά.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 4:56 pm**

Για τον λόγο ότι υπάρχουν κι άλλα είδη αξιόλογων ασκήσεων, που δεν αναφέρθηκαν παρόμοιες, στα διανύσματα, ας προσθέσουμε άλλες 5.
Κάνω την αρχή:

ΑΣΚΗΣΗ 21

Θεωρούμε τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c}$ με μέτρα ανάλογα των αριθμών $\displaystyle{3,4,7}$ αντίστοιχα καθώς και το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b +2\overrightarrow c }$ .

α. Αν ένα από τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c}$ δεν είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow u }$ έχει θετικό μέτρο.

β. Αν ισχύει πως $\displaystyle{\overrightarrow u =-3\overrightarrow b+\overrightarrow c}$ να αποδείξετε ότι:

i. $\displaystyle{\overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow b }$ και $\displaystyle{\overrightarrow b \uparrow \downarrow \overrightarrow c }$

ii. $\displaystyle{\overrightarrow b = - \frac{4}{7}\overrightarrow c}$ και $\displaystyle{\overrightarrow a = - \frac{3}{7}\overrightarrow c }$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 14, 2012 11:51 am**

ΑΣΚΗΣΗ 22

(Μια μικρή συλλογή από ασκήσεις παρόμοιας λογικής)

Ι) Nα αναλύσετε το διάνυσμα $\vec u=(16,12)$ σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη στο $\vec a=(-4,6)$ και μία παράλληλη στο $\vec b=(6,3)$ .

ΙΙ) Nα αναλύσετε το διάνυσμα $\vec u=(4,7)$ σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη και μία κάθετη στο $\vec a=(-1,2)$ .

IΙΙ) Nα αναλύσετε το διάνυσμα $\vec u=(4,3)$ σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη στο $\vec a=(5,-2)$ και μία κάθετη στο $\vec b=(4,-1)$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 14, 2012 1:56 pm**

parmenides51 έγραψε:Για τον λόγο ότι υπάρχουν κι άλλα είδη αξιόλογων ασκήσεων, που δεν αναφέρθηκαν παρόμοιες, στα διανύσματα, ας προσθέσουμε άλλες 5.
Κάνω την αρχή:

ΑΣΚΗΣΗ 21

Θεωρούμε τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c}$ με μέτρα ανάλογα των αριθμών $\displaystyle{3,4,7}$ αντίστοιχα καθώς και το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b +2\overrightarrow c }$ .

α. Αν ένα από τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c}$ δεν είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε το διάνυσμα $\displaystyle{\overrightarrow u }$ έχει θετικό μέτρο.

β. Αν ισχύει πως $\displaystyle{\overrightarrow u =-3\overrightarrow b+\overrightarrow c}$ να αποδείξετε ότι:

i. $\displaystyle{\overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow b }$ και $\displaystyle{\overrightarrow b \uparrow \downarrow \overrightarrow c }$

ii. $\displaystyle{\overrightarrow b = - \frac{4}{7}\overrightarrow c}$ και $\displaystyle{\overrightarrow a = - \frac{3}{7}\overrightarrow c }$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 14, 2012 2:40 pm**

Νομίζω πως οτιδήποτε μη αρνητικά ορισμένο δεν είναι απαραίτητα θετικό.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 14, 2012 3:10 pm**

Άρα $\overrightarrow w = \left( { - 2,4} \right)$ και $\overrightarrow c = \left( {6,3} \right)$

Γιώργος Απόκης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 22

(Μια μικρή συλλογή από ασκήσεις παρόμοιας λογικής)

Ι) Nα αναλύσετε το διάνυσμα $\vec u=(16,12)$ σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη στο $\vec a=(-4,6)$ και μία παράλληλη στο $\vec b=(6,3)$ .

ΙΙ) Nα αναλύσετε το διάνυσμα $\vec u=(4,7)$ σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη και μία κάθετη στο $\vec a=(-1,2)$ .

IΙΙ) Nα αναλύσετε το διάνυσμα $\vec u=(4,3)$ σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη στο $\vec a=(5,-2)$ και μία κάθετη στο $\vec b=(4,-1)$ .

I. Έστω $\displaystyle{\overrightarrow u = \overrightarrow w + \overrightarrow c }$ (1) Με $\overrightarrow w //\overrightarrow a$ και $\overrightarrow c //\overrightarrow b$ ,

έτσι υπάρχουν $\kappa ,\lambda \in {R^*}$ με $\overrightarrow w = \kappa \overrightarrow a \Leftrightarrow \overrightarrow w = \left( { - 4\kappa ,6\kappa } \right)$ (2) και

$\overrightarrow c = \lambda \overrightarrow a \Leftrightarrow \overrightarrow c = \left( {6\lambda ,3\lambda } \right)$ (3)

Η (1) λόγω των (2) και (3) γίνεται:

$\left( {16,12} \right) = \left( { - 4\kappa ,6\kappa } \right) + \left( {6\lambda ,3\lambda } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6\lambda - 4\kappa = 16 \\ 3\lambda + 6\kappa = 12 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3\lambda - 2\kappa = 8 \\ \lambda + 2\kappa = 4 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lambda = 3 \\ \kappa = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right.$

Άρα $\overrightarrow w = \left( { -2,3} \right)$ και $\overrightarrow c = \left( {18,9} \right)$

II. Ομοίως, έστω $\displaystyle{\overrightarrow u = \overrightarrow w + \overrightarrow c }$ (1) Με $\overrightarrow w //\overrightarrow a$ και $\overrightarrow c \bot \overrightarrow a$ ,

έτσι υπάρχει $\kappa \in {R^*}$ με $\overrightarrow w = \kappa \overrightarrow a \Leftrightarrow \overrightarrow w = \left( { - \kappa ,2\kappa } \right)$ (2)

Η (1) λόγω της (2) γίνεται:

$\overrightarrow c = \overrightarrow u - \overrightarrow w \Leftrightarrow \overrightarrow c = \left( {4,7} \right) - \left( { - \kappa ,2\kappa } \right) \Rightarrow \overrightarrow c = \left( {4 + \kappa ,7 - 2\kappa } \right)$

$\overrightarrow c \bot \overrightarrow a \Leftrightarrow \overrightarrow c \cdot \overrightarrow a = 0 \Leftrightarrow - 4 - \kappa + 14 - 4\kappa = 0 \Leftrightarrow \kappa = 2$

Άρα $\overrightarrow w = \left( { - 2,4} \right)$ και $\overrightarrow c = \left( {6,3} \right)$

ΙΙΙ. Ομοίως, έστω $\displaystyle{\overrightarrow u = \overrightarrow w + \overrightarrow c }$ (1) Με $\overrightarrow w //\overrightarrow a$ και $\overrightarrow c \bot \overrightarrow b$ ,

έτσι υπάρχει $\kappa \in {R^*}$ με $\overrightarrow w = \kappa \overrightarrow a \Leftrightarrow \overrightarrow w = \left( {5\kappa , - 2\kappa } \right)$ (2)

Η (1) λόγω της (2) γίνεται:

$\overrightarrow c = \overrightarrow u - \overrightarrow w \Leftrightarrow \overrightarrow c = \left( {4,3} \right) - \left( {5\kappa , - 2\kappa } \right) \Rightarrow \overrightarrow c = \left( {4 - 5\kappa ,3 + 2\kappa } \right)$

$\overrightarrow c \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow c \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 16 - 20\kappa - 3 - 2\kappa = 0 \Leftrightarrow \kappa = \frac{{13}}{{22}}$

Άρα $\overrightarrow w = \left( {\frac{{65}}{{22}}, - \frac{{26}}{{22}}} \right)$ και $\overrightarrow c = \left( {\frac{{23}}{{22}},\frac{{92}}{{22}}} \right)$

Edit: Έγινε διόρθωση σε λάθος του κώδικα.

mathematica.gr

συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)