mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 12, 2012 12:55 pm**

Άσκηση 17

$\displaystyle{ KL // BC \Rightarrow KL// DM }$ άρα τραπέζιο .

$\displaystyle{ DK=\frac{AB}{2} }$ (διαμεσος στην υποτεινουσα)

$\displaystyle{ ML=\frac{AB}{2} }$ (μεσο $\displaystyle{ AC }$ και $\displaystyle{ BC }$ )
άρα $\displaystyle{ DK=ML }$

άρα το τραπέζιο ειναι ισοσκελές .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 12, 2012 5:17 pm**

Άσκηση 18

Δίνεται τρίγωνο $\overset{\bigtriangleup }{ABC}$ με AB<AC

και η διχοτόμος του

. Προεκτείνουμε την

κατά τμήμα DK=AD

και στην πλευρά

θεωρούμε σημείο

τέτοιο ώστε DE=DB

.
α) Να αποδείξετε ότι AB=KE

.
β) Αν η

τέμνει την

στο

, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\overset{\bigtriangleup }{LAK}$ είναι ισοσκελές.
γ) Αν οι ευθείες

και

τέμνονται στο

, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AMKL

είναι ρόμβος.
δ) Θεωρούμε σημείο

της πλευράς

ώστε

. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BNLM

είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Για «ζέσταμα»

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 12, 2012 5:45 pm**

JimVerman έγραψε:Άσκηση 18

Δίνεται τρίγωνο $\overset{\bigtriangleup }{ABC}$ με και η διχοτόμος του . Προεκτείνουμε την κατά τμήμα και στην πλευρά θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε .
α) Να αποδείξετε ότι .
β) Αν η τέμνει την στο , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $\overset{\bigtriangleup }{LAK}$ είναι ισοσκελές.
γ) Αν οι ευθείες και τέμνονται στο , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
δ) Θεωρούμε σημείο της πλευράς ώστε . Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Για «ζέσταμα»

α) τα τριγωνα $\displaystyle{ ABD and DCK }$ ισα αφου $\displaystyle{ D_{1}=D_{2} , \quad AD=DK \quad DE=BD }$ λογω Π-Γ-Π .

β) $\displaystyle{ A_{2}=K_{2}=A_{1} }$ αρα ισοσκελες .

γ) Οι διαγωνιοι διχοτομουνται $\displaystyle{ AD=DK, MD=DL }$ οπως επίσης $\displaystyle{ MDK And AND }$ ισα αρα απο εδω παιρνω το προηγουμενο ( παρμο ) και και η μια διαγωνιος διχοτομει μια γωνια . αρα ρομβος .

δ) To $\displaystyle{ ABN }$ ισοσκελες αρα οι $\displaystyle{ ML and BN }$ καθετες στην ιδια ευθεια αρα και παραλληλες αρα δειχθηκε το τραπεζιο επισης ειναι $\displaystyle{ BM=AM-AB \wedge NL=AL-AN }$ ομως απο τον ρομβο και το ισοσκελες $\displaystyle{ AM=AL \wedge AN=AB }$ άρα $\displaystyle{ NL=MB }$ αρα ειναι ισοσκελες τραπεζιο .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 12, 2012 8:12 pm**

Άσκηση 19

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\overset{\bigtriangleup}{ABC}$ με AB<AC

και τα μέσα

και

των

και

αντίστοιχα. Από το

φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο

της γωνίας $\hat{A}_{\varepsilon \xi .}$ , η οποία τέμνει την

στο

και την προέκταση της

στο

.

α) Να αποδείξετε ότι: $DL=\frac{AB+AC}{2}$ .

β) Να αποδείξετε ότι: $B\hat{A}C=2 \cdot B\hat{D}L$ .

γ) Αν η

τέμνει την

στο

, να αποδείξετε ότι DK=LM

.

δ) Θεωρούμε σημείο

της πλευράς

, ώστε

και έστω

το σημείο τομής των

και

. Να αποδείξετε ότι:

i) η

είναι διχοτόμος της γωνίας $B\hat{A}C$ ,
ii) το τρίγωνο $\overset{\bigtriangleup}{EBN}$ είναι ορθογώνιο.

Για εξάσκηση και αυτή

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 16, 2012 2:45 pm**

JimVerman έγραψε:Άσκηση 19

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\overset{\bigtriangleup}{ABC}$ με και τα μέσα και των και αντίστοιχα. Από το φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}_{\varepsilon \xi .}$ , η οποία τέμνει την στο και την προέκταση της στο .

α) Να αποδείξετε ότι: $DL=\frac{AB+AC}{2}$ .

β) Να αποδείξετε ότι: $B\hat{A}C=2 \cdot B\hat{D}L$ .

γ) Αν η τέμνει την στο , να αποδείξετε ότι .

δ) Θεωρούμε σημείο της πλευράς , ώστε και έστω το σημείο τομής των και . Να αποδείξετε ότι:

i) η είναι διχοτόμος της γωνίας $B\hat{A}C$ ,
ii) το τρίγωνο $\overset{\bigtriangleup}{EBN}$ είναι ορθογώνιο.

Για εξάσκηση και αυτή

α) $\displaystyle{ DL=\frac{EC}{2}=\frac{AC+AE}{2}=\frac{AB+AC}{2} }$ το τελευταιο βήμα αιτιολογείται ως εξής στο $\displaystyle{ ABE }$ η $\displaystyle{ AD }$ είναι διχοτομος και ύψος .

β) Ειναι $\displaystyle{ BAC=2ABE }$ αρκεί δηλαδη το $\displaystyle{ BDK }$ ισοσκελές όμως $\displaystyle{ DL// EC }$ άρα $\displaystyle{ DK// AE }$ άρα $\displaystyle{ K }$ μέσο άρα αφου ειναι το $\displaystyle{ ADB }$ ορθογώνιο $\displaystyle{ KB=DK=\frac{AB}{2} }$

c) $\displaystyle{ LM=\frac{AB}{2}=AK }$

d) ii) Το $\displaystyle{ EBN }$ ορθογωνιο αφου $\displaystyle{ AB=AN=EA }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 18, 2012 11:17 am**

Άσκηση 20
Σε κύκλο με κέντρο

, είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ με AB<AC

. Στην πλευρά

βρίσκεται

σημείο

, ώστε : $\widehat{SBC} = \widehat{SCB}$ . Η

τέμνει τον κύκλο στο

, ενώ η διχοτόμος της $\widehat{A}$ , στο

.

1) Δείξτε ότι : AQ //BC

2) Δείξτε ότι τα σημεία : S , O , T

, είναι συνευθειακά

3) Δείξτε ότι τα σημεία : B , O , S , A

, είναι ομοκυκλικά

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 19, 2012 3:13 am**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 25, 2012 6:55 pm**

Άσκηση 21
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με $\angle B=\angle C$ και σημεία D,E

στην πλευρά

και στην προέκταση της AC,

προς το

αντίστοιχα,
τέτοια ώστε το

να είναι το συμμετρικό του

ως προς το

όπου $F=BC\cap DE.$
Να δείξετε ότι BD=CE.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 25, 2012 7:07 pm**

Άσκηση 21:
Έστω DK//BC

επί της

Από Θαλή ισχύει CE=CK.

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο $(\widehat{B}=\widehat{C})$ και άρα DB=CE.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 30, 2012 1:06 am**

Άσκηση 22
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με

Η εξωτερική διχοτόμος

της γωνίας

τέμνει την προέκταση της

στο

Στην προέκταση της

θεωρούμε σημείο

τέτοιο ώστε AM=AN.

Η εσωτερική διχοτόμος της

τέμνει την

στο

Αν $ND\cap AC=\{ E \},$ να δείξετε ότι $AD \perp BE.$

Άσκηση 23
Έστω

σημείο εσωτερικό του τριγώνου ABC

τέτοιο ώστε $\angle ABM=\angle ACM.$
Αν P,Q

οι προβολές του

στις πλευρές

και

αντίστοιχα και

το μέσο της BC,

να δείξετε ότι EP=EQ.

Άσκηση 24
Έστω τρίγωνο ABC

με $\angle ABC=\angle ACB.$
Αν υπάρχουν σημεία $M \in (AB), N \in (AC), P \in (BC)$ τέτοια ώστε BM + NC = BC

και το τρίγωνο MNP

να είναι ισόπλευρο,
να δείξετε ότι το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο.

Άσκηση 25
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με $\angle A=90^\circ$ και $\angle B=30^\circ.$ Έστω M,N

τα μέσα των

και

αντίστοιχα.
Αν P,Q

σημεία στα τμήματα

και

αντίστοιχα τέτοια ώστε

$\displaystyle{\frac{PB}{PC}=4\cdot \frac{QM}{QN}+3,}$

να δείξετε ότι το τρίγωνο APQ

είναι ισόπλευρο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 30, 2012 3:19 am**

socrates έγραψε:Άσκηση 22
Θεωρούμε τρίγωνο με Η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας τέμνει την προέκταση της στο
Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε Η εσωτερική διχοτόμος της τέμνει την στο
Αν $ND\cap AC=\{ E \},$ να δείξετε ότι $AD \perp BE.$

Αρκεί ισοδυναμα να δείξω το $\displaystyle{ ABE }$ ισοσκελες δηλαδη $\displaystyle{ AB=AE }$

Συγκρίνω τα $\displaystyle{ MAD \quad NAD }$ που ειναι ισα αφου
$\displaystyle{ AM=AN }$ , $\displaystyle{ AD=AD }$ , $\displaystyle{ \angle{MAD}=\angle{DAN} }$ ως αθροισμα ισων γωνιων αφου $\displaystyle{ \angle{MAD}=\frac{A}{2}+\frac{180-A}{2} }$ λογω κατακορυφην κτλ .

άρα αφου τα τριγωνα ειναι ισα θα παρω $\displaystyle{ \angle{M}=\angle{N} }$

Συγκρινοντας τα $\displaystyle{ MAB \quad ANE }$ βγαινουν ισα και παίρνω ευκολα $\displaystyle{ AB=AE }$ άρα αφου η $\displaystyle{ AD }$ διχοτομος στο ισοσκελες $\displaystyle{ ABE }$ θα ειναι και υψος κτλ.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 30, 2012 12:59 pm**

socrates έγραψε: Άσκηση 23
Έστω σημείο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε $\angle ABM=\angle ACM.$
Αν οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα και το μέσο της να δείξετε ότι

δεν χρησιμοποιησα το γεγονος οτι $\angle ABM=\angle ACM.$ , : αλλα ας κανω μια προσπαθεια και αν μπαζει καπου ας μου επισημανθει .

Λοιπον, στο ορθογωνιο BPC

η

διαμεσος στην υποτεινουσα αρα $PE=\frac{BC}{2}$
Στο ορθογωνιο BQC

η

διαμεσος στην υποτεινουσα αρα $QE=\frac{BC}{2}$ συνεπως PE=QE

και το ζητουμενο εχει αποδειχτει.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 30, 2012 1:18 pm**

dr.tasos έγραψε:
socrates έγραψε: Άσκηση 23
Έστω σημείο εσωτερικό του τριγώνου τέτοιο ώστε $\angle ABM=\angle ACM.$
Αν οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα και το μέσο της να δείξετε ότι

δεν χρησιμοποιησα το γεγονος οτι $\angle ABM=\angle ACM.$ , : αλλα ας κανω μια προσπαθεια και αν μπαζει καπου ας μου επισημανθει .

Λοιπον, στο ορθογωνιο η διαμεσος στην υποτεινουσα αρα $PE=\frac{BC}{2}$
Στο ορθογωνιο η διαμεσος στην υποτεινουσα αρα $QE=\frac{BC}{2}$ συνεπως και το ζητουμενο εχει αποδειχτει.

Δεν γνωρίζεις αν τα P,M,C

και

είναι συνευθειακά οπότε δεν μπορείς να ισχυριστείς ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 31, 2012 8:16 am**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 01, 2012 2:01 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 03, 2012 9:41 am**

ΑΣΚΗΣΗ 23

'Εστω K,L

τα μέσα των BM,MC

.

$[KP=KM=EL]\wedge [KE=ML=QL] \wedge [\widehat{EKM}=\widehat{ELM} \wedge \widehat{PKM}=\widehat{MLQ} ]$ (1)

$(1) \Rightarrow \Delta PKE=\Delta QLE$

Οι ισότητες απο προκύπτουν το θεώρημα για τη διάμεσο ορθογωνίου τριγώνου προς υποτείνουσα,και το σχηματιζόμενο παρ/γραμμο KMLE.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 03, 2012 9:22 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

mathematica.gr

Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου

Re: Ασκήσεις Γεωμετρίας Α' Λυκειου