mathematica.gr

Λύση άσκησης 12β

Χρωματίζουμε το σημείο με το "χρώμα" . (Για παράδειγμα στο σημείο δίνουμε το χρώμα .) Χρησιμοποιήσαμε 9 χρώματα και δυο σημεία με το ίδιο χρώμα, είτε έχουν απόσταση το πολύ είτε έχουν απόσταση τουλάχιστον 3/2.

Στην πιο πάνω απόδειξη χωρίσαμε το επίπεδο σε τετράγωνα. Χωρίζοντας το σε εξάγωνα (με κατάλληλο μήκος πλευράς) μπορεί να δειχθεί ότι υπάρχει τέτοιος χρωματισμός και με 7 χρώματα. Είναι ανοικτό πρόβλημα να αποφασιστεί ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός χρωμάτων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Λύση Άσκησης 13α

Χωρίζουμε το επίπεδο σε λωρίδες μήκους και τις χρωματίζουμε εναλλάξ: Το σημείο χρωματίζεται μπλε αν αλλιώς το χρωματίζουμε κόκκινο.

Επειδή το ύψος του τριγώνου ισούται με θα υπάρχουν πάντα δυο κορυφές του τριγώνου που οι -συντεταγμένες τους θα διαφέρουν τουλάχιστον κατά . Άρα δεν μπορούν όλες οι κορυφές να βρίσκονται μέσα στην ίδια λωρίδα. Επίσης, (πάλι κοιτάζοντας το ύψος) από κάθε κορυφή θα υπάρχει μια άλλη κορυφή που οι -συντεταγμένες τους θα διαφέρουν το πολύ κατά . Άρα αν δυο κορυφές βρίσκονται σε δυο διαφορετικές λωρίδες ιδίου χρώματος τότε η τρίτη κορυφή θα βρίσκεται στην ενδιάμεση λωρίδα που είναι διαφορετικού χρώματος.

Λύση άσκησης 13β

Αν δεν υπάρχει μονοχρωματικό ισόπλευρο τρίγωνο μήκους 1 τότε θα υπάρχουν δύο σημεία απόστασης 1 με διαφορετικό χρώμα. Έστω σημείο που να απέχει απόσταση 2 από τα . Χωρίς βλάβη της γενικότητας τα έχουν διαφορετικό χρώμα. Έστω το μέσο της . Χωρίς βλάβη της γενικότητας τα έχουν το ίδιο χρώμα (και έχουν απόσταση 1). Έστω τα σημεία με απόσταση 1 από τα . Τότε πρέπει να έχουν διαφορετικό χρώμα από τα και άρα το ίδιο χρώμα με το . Αλλά το είναι ισόπλευρο τρίγωνο μήκους , άτοπο.

Επαναφορά για το πρόβλημα 14