mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:01 pm**

Καλησπέρα. Στο πρώτο θέμα των πανελληνίων αν δε γράψεις ολογράφως ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ και απαντήσεις με Σ - Λ , το δέχονται;
Ευχαριστώ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:10 pm**

επιτέλους οι μαθητές αντιμετώπισαν πολύ καλά συνδυαστικά θέματα που θα αναδείξουν όλα τα επίπεδα γνώσεων.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:13 pm**

πολυ ομορφα θεματα για μαθητες!!!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:17 pm**

Αλέξανδρε και Θόδωρε στο τέλος έδινε χ(t) >0.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:18 pm**

Καλησπέρα, έγραφα και εγώ σήμερα.Θα έλεγα υπό άλλες συνθήκες ότι τα θέματα ήταν μια χαρά. Οι μαθητές όμως όλοι προετοιμαζόμαστε με βάση τα θέματα των παλαιότερων χρόνων οπότε και με βάση τα περσινά , προπέρσινα. Κατά τη γνώμη μου ένας μαθητής που πέρσι θα έγραφε 18 η 18,5 και ένας μαθητής που πέρσι θα έγραφε 20 ή 19,5 φέτος θα πάρουν τον ίδιο βαθμό. Πέρσι ακούσαμε πολλές φωνές κλπ.Φέτος ; Η μοναδική έγνοια είναι να μην αδικείται ο μέτριος μαθητής ;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:19 pm**

Για το Γ4:

Είναι $\phi(x)=e^x\ln \left(\dfrac{2e^x}{e^x+1}\right)$ , οπότε $\phi(0)=0$ . Επίσης, παρατηρούμε ότι $\dfrac{2e^x}{e^x+1}>1$ για x>0

, κι άρα $\phi(x)>0=\phi(0)$ για x>0

.

Με αλλαγή μεταβλητής t=e^x

έχουμε $dt=e^x\,dx$ , και

$\begin{aligned} E:&=\int_0^1 |\phi(x)|\, dx\\ &=\int_0^1\phi(x)\, dx\\ &=\int_1^e \ln \left(\dfrac{2t}{t+1}\right)\,dt\\ &=\int_1^e\ln 2\,dt+\int_1^e\ln t\,dt-\int_1^e\ln(t+1)\,dt\\ &=(e-1)\ln 2+I(0)+I(1)\\ \end{aligned}$

όπου $\displaystyle{I(a):=\int_1^e \ln(t+a)\, dt}$ για $a\geq 0$ . Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες για $a\geq 0$ έχουμε

$\begin{aligned} I(a):=\int_1^e \ln(t+a)\, dt&=\int_1^e (t+a)'\ln(t+a)\, dt\\ &=[(t+a)\ln(t+a)]_{t=1}^{t=e}-\int_1^e 1\,dt\\ &=(e+a)\ln(e+a)-(1+a)\ln(1+a)-(e-1)\\ \end{aligned}$

Συνεπώς, I(0)=1

και $I(1)=(e+1)\ln(e+1)-2\ln 2- e+1$ , οπότε το ζητούμενο εμβαδό είναι

$E=(e-1)\ln 2+1-(e+1)\ln(e+1)+e+2\ln 2-1=\boxed{(e+1)\ln \dfrac{2}{e+1}+e}$ τ.μ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Edit: Προσθήκη αναλυτικού υπολογισμού βοηθητικού ολοκληρώματος.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:22 pm**

Καλό μεσημέρι και καλή συνέχεια σε όλα τα παιδιά
Τα σημερινά θέματα σε Word

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:23 pm**

Μία λύση για το Δ2α
Έστω F(x)

μία αρχική της $f(x) , x \epsilon R$ . Τότε, F'(x)=f(x)>0

(Είναι

απλό μέσω μονοτονίας ή σύνολο τιμών). Τότε, F(x)

γνησίως αύξουσα στο

.
Και
$\int_{1}^{2f'(x)}{f(u)du}=0\Leftrightarrow \left[ F(u)\right]_1^{2f'(x)}=0\Leftrightarrow F(2f'(x))-F(1)=0$

$\Leftrightarrow F(2f'(x))=F(1)\Leftrightarrow 2f'(x)=1\Leftrightarrow x=0$

Edit: Το ξαναδημοσιεύω, αυτή τη φορά με κώδικα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:55 pm**

Καλησπέρα,
εγώ το Δ2 β. το έλυσα έτσι σήμερα:

$x'(t) = 2 y'(t) \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Leftrightarrow \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=0$
από το προηγούμενο ερώτημα..
Είναι σωστό;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:58 pm**

anastasispk έγραψε:Καλησπέρα,
εγώ το Δ2 β. το έλυσα έτσι σήμερα:

$x'(t) = 2 y'(t) \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Leftrightarrow \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=0$
από το προηγούμενο ερώτημα..
Είναι σωστό;

Η τελευταία ισοδυναμία θέλει αιτιολόγηση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 2:59 pm**

abgd έγραψε:
anastasispk έγραψε:Καλησπέρα,
εγώ το Δ2 β. το έλυσα έτσι σήμερα:

$x'(t) = 2 y'(t) \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Leftrightarrow \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=0$
από το προηγούμενο ερώτημα..
Είναι σωστό;
Η τελευταία ισοδυναμία θέλει αιτιολόγηση.

Ναι δεν το άφησα έτσι, απλά αυτή ήταν η γενική ιδέα..

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 3:07 pm**

Μια προσέγγιση για το Δ3:

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{g\left( x \right) \ge g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right),}$ οπότε η

έχει ολικό (άρα και τοπικό) ελάχιστο στα σημεία x_1 = 1

και

.

Από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής για τη συνάρτηση

στο $\displaystyle{[1,2]}$ υπάρχει $\displaystyle{{x_3} \in \left[ {1,2} \right]}$ τέτοιο, ώστε να ισχύει $\displaystyle{g\left( x \right) \le g\left( {{x_3}} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right].}$
Αν ήταν $\displaystyle{{x_3} \in \left\{ {1,2} \right\},}$ τότε θα ήταν $\displaystyle{g\left( x \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right],}$ πράγμα άτοπο. Άρα, είναι $\displaystyle{{x_3} \in \left( {1,2} \right),}$ οπότε η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x_3

.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 3:12 pm**

emouroukos έγραψε:Μια προσέγγιση για το Δ3:

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{g\left( x \right) \ge g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right),}$ οπότε η έχει ολικό (άρα και τοπικό) ελάχιστο στα σημεία και .

Από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής για τη συνάρτηση στο $\displaystyle{[1,2]}$ υπάρχει $\displaystyle{{x_3} \in \left[ {1,2} \right]}$ τέτοιο, ώστε να ισχύει $\displaystyle{g\left( x \right) \le g\left( {{x_3}} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right].}$
Αν ήταν $\displaystyle{{x_3} \in \left\{ {1,2} \right\},}$ τότε θα ήταν $\displaystyle{g\left( x \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right],}$ πράγμα άτοπο. Άρα, είναι $\displaystyle{{x_3} \in \left( {1,2} \right),}$ οπότε η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο .

Πολύ ωραία λύση Βαγγέλη!

Δε ζητάει να αποδειχθεί ότι οι μόνες θέσεις ακροτάτων είναι αυτές οι τρεις αλλά απλά ότι υπάρχουν 2 θέσεις τοπικών ελαχίστων και 1 θέση τοπικού μεγίστου.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 3:40 pm**

Κατά τη γνώμη μου τα θέματα ήταν πολύ καλά για όσους ήθελαν να γράψουν ένα μέτριο βαθμό αλλά δύσκολα (κυρίως από άποψη χρόνου) για τους μαθητές που κυνηγούν το άριστα. Θέλω την γνώμη σας για το πόσες μονάδες μπορούν να στοιχίσουν τα εξής:
--Στο Γ4 έκανα ένα ανόητο λάθος σε ένα πρόσημο. Συγκεκριμένα μετά την παραγοντική ενώ έγραψα σωστά ότι $= ... - \left( ln(e+1) + ln2 \right)$ μετά μου ξέφυγε και έβαλα ανάποδα τα πρόσημα καταλήγοντας στο (λανθασμένο) αποτέλεσμα $= e-(e-1)ln\dfrac{e+1}{2}$
--Στο Δ3 δεν πρόλαβα να ολοκληρώσω την απάντησή μου. Αυτό που πρόλαβα είναι να δείξω ότι στα σημεία 1, 2, x_0

μηδενίζεται η παράγωγος καθώς και να βρω τα πρόσημα των $\varphi (x)=(e^x-e)(x-2), \varphi '(x)= xe^x-e^x-e$ στα διαστήματα $(0,1), (1,x_0), (x_0,2), (2,+\infty)$ και δεν πρόλαβα να κάνω το πινακάκι για να δείξω ότι τα σημεία αυτά αποτελούν τοπικά ακρότατα της $g(x)=[\varphi (x)]^2$ αφού $g'(x)=2\varphi (x) \varphi '(x)$

ΥΓ: Φαντάζομαι ότι στους περισσότερους φαίνεται θέμα μικρής σημασίας, αλλά ΠΑΡΑΚΑΛΩ να μου πείτε τις γνώμες σας γιατί για ως μαθητής έχω μεγάλη αγωνία για το βαθμό! Ευχαριστώ προκαταβολικά

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 3:40 pm**

thanasis kopadis έγραψε:Για το Δ2)α) απάντηση μαθητή, που τη θέτω για τη γνώμη σας:
Απέδειξε ότι η είναι διάφορη του μηδενός και συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο, οπότε εν συντομία, θα πρέπει τα άκρα του ολοκληρώματος να είναι ίσα, άρα έλυσε την εξίσωση .

Θανάση δε βλέπω κάποιο πρόβλημα στη λύση του μαθητή αν έχει δικαιολογήσει σωστά το πρόσημο της

και το πως καταλήγει στην εξίσωση 2f'(x)=1

.

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 3:52 pm**

Δεν καταλαβαίνω που τα είδατε τα ωραία θέματα. Αν το προσέξατε, δεν υπήρχε ερώτημα που να αφορούσε κάποιο από τα θεωρήματα, αν εξαιρέσουμε το Δ4. Συνεπώς δεν κάλυπταν όλη την ύλη. Επίσης, ήταν το δυσκολότερο 4ο θέμα για εμένα μέχρι στιγμής. Ερωτήματα σαν το Δ2 και το Δ4 δεν υπήρχαν άλλες χρονιές. Το θέμα των μιγαδικών όμως, ήταν αστείο. Τέλος, θεωρώ ότι ήταν πολύ κακά θέματα, αφού μπορούσαν να γράψουν οι μέτρια διαβασμένοι το 10άρι, ενώ απαιτούσαν και πολλές πράξεις ( βλ. Γ4 )

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 3:55 pm**

Καλό μεσημέρι.

Δεν μου άρεσαν
1) η απουσία της αντιπαραγώγισης (ο πόλεμος κατά των διαφορικών ως τετριμμένο θέμα, επιτέλους δικαιώνεται)
2) η ανεπαρκής εξέταση του κεφαλαίου των ολοκληρωμάτων(κεφάλαιο που καθόριζε το 4ο θέμα...), με ανάδειξη πρωταγωνιστή του διαφορικού.

Μου άρεσαν
1) η μοριοδότηση
2) η μελέτη του διαθέσιμου χρόνου για επίλυση - χρονικά προσεγμένα θέματα
3) τα εύκολα θέματα Α,Β
4) η κλιμάκωση δυσκολίας

Σχόλιο: Μου άρεσαν σαν θέματα εξετάσεων αλλά δεν μου άρεσαν σαν μαθηματικό. Επίσης το κυρτή στο θέμα Δ δεν είναι αναγκαίο να δίνεται αλλά έτσι όπως δόθηκε συντομεύει η λύση (χρονικά).

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 3:58 pm**

Για το Δ2 και στην ίδια λογική με τον karas51

Έστω $F(x)=\int_{1}^{x}{f(t)dt}$ , $x \epsilon R$ . Τότε, F'(x)=f(x)>0

άρα η

είναι

Επίσης

άρα η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται $F(2f'(x)) = F(1) \Leftrightarrow 2f'(x) = 1 \Leftrightarrow ...$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 4:01 pm**

Από ότι έχω διαβάσει στο διαδύκτιο οι περισσότεροι χαρακτηρίζουν τα θέματα βατά. Μάλιστα αναφέρθηκε προηγουμένως, ότι είναι απο τα ευκολότερα θέματα που έχουνε μπει. Ας αφήσουμε τα αστεία. Τα θέματα έχουν την απαιτούμενη κλιμάκωση ( σε αντίθεση με πέρυσι), όμως το θεμα Δ δεν παύει να έχει δυσκολίες και λεπτά σημεία. Ας περιμένουμε λοιπόν τα αποτελέσματα για να κρίνουμε.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 02, 2014 4:03 pm**

fourdio έγραψε:Δεν καταλαβαίνω που τα είδατε τα ωραία θέματα. Αν το προσέξατε, δεν υπήρχε ερώτημα που να αφορούσε κάποιο από τα θεωρήματα, αν εξαιρέσουμε το Δ4. Συνεπώς δεν κάλυπταν όλη την ύλη. Επίσης, ήταν το δυσκολότερο 4ο θέμα για εμένα μέχρι στιγμής. Ερωτήματα σαν το Δ2 και το Δ4 δεν υπήρχαν άλλες χρονιές. Το θέμα των μιγαδικών όμως, ήταν αστείο. Τέλος, θεωρώ ότι ήταν πολύ κακά θέματα, αφού μπορούσαν να γράψουν οι μέτρια διαβασμένοι το 10άρι, ενώ απαιτούσαν και πολλές πράξεις ( βλ. Γ4 )

Οι μετρια διαβασμένοι εγραφαν το δεκαρι. Σωστο δεν είναι αυτό; Μηπως θα επρεπε να γραψουν 3 όπως άλλες χρονιες και να τιμωρηθουν επειδή δεν διαβασαν αριστα;
Ένα συστημα ετσι δεν πρεπει να είναι; Ο μετριος να γραφει περιπου δεκα. Αυτό εγινε λοιπον.

mathematica.gr

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Ερώτηση για πανελλήνιες εξετάσεις

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014