mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 3:46 pm**

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:
tdiam έγραψε:Καλησπέρα, είμαι μαθητής της Γ' και έγραφα σήμερα Μαθηματικά.
Να κάνω δύο ερωτήσεις:

....

2. Δεν θα έπρεπε ο μαθητής στο Γ4 να αποδείξει ότι $s_a \neq 0$ , κατ' επέκτασιν ώστε να ορίζεται το νέο δείγμα;
Καλώς όρισες στο και καλή επιτυχία στις εξετάσεις.
Στην εκφώνιση έχει δοθεί οτι οι παρατηρήσεις είναι διαφορετικές μεταξύ τους οπότε θα είναι διαφορετικές
με την μέση τιμή τους $\bar{\alpha}$ άρα η διασπορά θα είναι διάφορη του μηδέν

Ακριβώς. Ρωτάω αν θα έπρεπε να αποδειχθεί από το μαθητή, καθώς δεν ανήκει στη θεωρία του σχολικού. Καλώς σας βρήκα!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 3:52 pm**

giannis453 έγραψε:Καλησπέρα είμαι υποψήφιος και παρακολουθώ τακτικά το φόρουμ.Η δικιά μου προσέγγιση για το ερώτημα Δ2 ήταν η εξής:

Oταν τότε στο τρίγωνο ΑΟΒ ισχύει ότι

δηλαδη το πυθαγορειο θεωρημα αρα το ορθογωνιο στο αρα οι διαγωνιοι του ορθογωνιου διχοτομουνται αρα τετραγωνο
Κώδικας: Επιλογή όλων

ξαναδιάβασε τι έγραψες

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 3:55 pm**

Μία διαφορετική προσέγγιση στο Δ4 για να γλιτώσουμε τελείως τις πράξεις.
Η προς απόδειξη γράφεται:

$\displaystyle{f\left(\frac{P(A-B)P(A)}{f(P(A))}\right)\leq f\left(\frac{P(A-B)P(A)}{f(P(A-B))}\right)}$

Από τη μονοτονία όμως της

έχουμε $f(P(A))\geq f(P(A-B))$ οπότε
$\frac{P(A-B)P(A)}{f(P(A))}\leq \frac{P(A-B)P(A)}{f(P(A-B))}.$

Επιπλέον καθένας από τους παραπάνω αριθμούς είναι μικρότερος ή ίσος από $\frac{1}{\sqrt{99}}$ άρα από τη μονοτονία της

έπεται το ζητούμενο.

Για το τελευταίο: πχ: $\frac{P(A-B)P(A)}{f(P(A))}\leq\frac{P(A)}{f(P(A))}=\frac{1}{\sqrt{100-P^2(A)}}\leq\frac{1}{\sqrt{99}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 4:09 pm**

Καλησπέρα!
Ενας μαθητής για το Δ3 έγραψε:

$\frac{f(1+x)-\sqrt{99}}{98x}=$ $\frac{1}{98} \frac{f(1+x)-f(1)}{x}$ .

Άρα: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(1+x)-\sqrt{99}}{x}$ $= \lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{98}\frac{f(1+x)-f(1)}{x})$ $= \lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{98}f'(1)$ ) $=\frac{1}{98} \frac{2\cdot 49}{\sqrt{99}}$ $=\frac{\sqrt{99}}{99}$

Τι λέτε "περνάει" ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 4:11 pm**

Προφανως και περναει

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 4:38 pm**

tdiam έγραψε:
ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:
tdiam έγραψε:Καλησπέρα, είμαι μαθητής της Γ' και έγραφα σήμερα Μαθηματικά.
Να κάνω δύο ερωτήσεις:

....

2. Δεν θα έπρεπε ο μαθητής στο Γ4 να αποδείξει ότι $s_a \neq 0$ , κατ' επέκτασιν ώστε να ορίζεται το νέο δείγμα;
Καλώς όρισες στο και καλή επιτυχία στις εξετάσεις.
Στην εκφώνιση έχει δοθεί οτι οι παρατηρήσεις είναι διαφορετικές μεταξύ τους οπότε θα είναι διαφορετικές
με την μέση τιμή τους $\bar{\alpha}$ άρα η διασπορά θα είναι διάφορη του μηδέν
Ακριβώς. Ρωτάω αν θα έπρεπε να αποδειχθεί από το μαθητή, καθώς δεν ανήκει στη θεωρία του σχολικού. Καλώς σας βρήκα!

Κατα την άποψή μου δέν είναι απαραίτητη αυτή η απόδειξη εφόσον στην υπόθεση της εκφώνισης εχει δωθεί
" ...Εάν $\displaystyle{\beta _i = \frac{a_i-a\bar{}}{S\alpha } }$ , οπότε ορίζονται οι τιμές της μεταβλητής β και ζητάμε να βρούμε μέση τιμή της και την τυπική της απόκλιση.

Με αφορμή αυτό ένας μαθητής μου σκεπτόμενος οτι θα πρέπει να κάνει την απόδειξη , τελικά επέλεξε τον εξής τρόπο λύσης :
Θεωρώ a_1 = x_1= 9

,

κ.ο.κ. και εν συνεχεία ολοκλήρωσε την απόδειξη αλλά με τις συγκεκριμένες τιμές.
Αραγε ποια θα είναι η διόρθωση σαυτήν την περίπτωση ;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 4:46 pm**

Καλησπερα.Ειμαι μαθητης 3ης λυκειου και ενα παιδι μου ειπε οτι βρηκε το οριο στο Δ3 με de l' hospital.Δεδομενου οτι καθε απαντηση επιστημονικα ορθη θεωρειται δεκτη,δεν ειναι λαθος η εφαρμογη γνωσεων κατευθηνσης,ετσι?

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 5:10 pm**

zoumero_mpifteki έγραψε:Καλησπερα.Ειμαι μαθητης 3ης λυκειου και ενα παιδι μου ειπε οτι βρηκε το οριο στο Δ3 με de l' hospital.Δεδομενου οτι καθε απαντηση επιστημονικα ορθη θεωρειται δεκτη,δεν ειναι λαθος η εφαρμογη γνωσεων κατευθηνσης,ετσι?

Τυπικά είναι λάθος, με την ίδια ερμηνεία ο καθένας θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει οποιοδήποτε θεώρημα έχει διδαχθεί από βιβλία μαθηματικών, ενδοσχολικά ή εξωσχολικά, αρκεί να ήταν επιστημονικώς ορθά. Άρα όχι, για να χρησιμοποιήσει De L'Hopital θα έπρεπε πρώτα να τον αποδείξει (

) αφού δεν υπάρχει ως θεώρημα της εξεταστέας ύλης.

Ουσιαστικά όμως, όλοι νομίζω διαφωνούμε με αυτόν τον αντιπαιδαγωγικό/αντιμαθηματικό περιορισμό που υφίστανται οι μαθητές τεχνολογικής-θετικής, δηλαδή ότι πρέπει να προσαρμόζουν τις γνώσεις τους ώστε να είναι "εντός ύλης".

Όπως και να 'χει, το θέμα έχει ήδη συζητηθεί αν ψάξεις σε παλιότερες αναρτήσεις του φόρουμ και κατέληγε στο ότι εξαρτάται από την επιείκεια του βαθμολογητή (edit) και πολλές φορές λαμβάνεται σωστή η απάντηση, παρόλο που τυπικά δεν είναι δεκτό.

Btw, καλή επιτυχία σειρά!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 5:30 pm**

Πάντως στο βαθμολογικό που εξετάζαμε φυσικώς αδυνάτους , η οδηγία είναι ότι χρησιμοποιούμε κανονικά de L Hospital χωρίς πρόβλημα

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 5:39 pm**

Για εμένα πρέπει να θεωρηθεί σωστο δεν ειναι δυνατον κάτι που το έχει διδαχθει στο σχολείο να του πούμε αυτό δεν το ξέρεις εκεί...δεν είναι διχασμενές προσωπικότητες...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 6:14 pm**

Τα θέματα κατά τη γνωμη μου ήταν σαφέστατα δυσκολότερα από τα περσινά. Θα έλεγα ότι είναι πιο κόντα στα θέματα του 2013 αν και λίγο πιο εύκολα. Οι θεωρητικοί βέβαια ,πλην εξαιρέσεων ,σίγουρα θα συνάντησαν δυσκολίες.

Πάντως σύμφωνώ με τη χρήση γνώσεων από προηγούμενες τάξεις. Δε μπορεί να βλέπει κανείς τα μαθηματικά περιορισμένα στην ύλη της γ λυκείου. Κι
ίσως αυτό να είναι προάγγελος μιας συνολικότερης αλλαγής στη φιλοσοφία των θεμάτων.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 6:16 pm**

tdiam έγραψε:
zoumero_mpifteki έγραψε:Καλησπερα.Ειμαι μαθητης 3ης λυκειου και ενα παιδι μου ειπε οτι βρηκε το οριο στο Δ3 με de l' hospital.Δεδομενου οτι καθε απαντηση επιστημονικα ορθη θεωρειται δεκτη,δεν ειναι λαθος η εφαρμογη γνωσεων κατευθηνσης,ετσι?
Τυπικά είναι λάθος, με την ίδια ερμηνεία ο καθένας θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει οποιοδήποτε θεώρημα έχει διδαχθεί από βιβλία μαθηματικών, ενδοσχολικά ή εξωσχολικά, αρκεί να ήταν επιστημονικώς ορθά. Άρα όχι, για να χρησιμοποιήσει De L'Hopital θα έπρεπε πρώτα να τον αποδείξει ( ) αφού δεν υπάρχει ως θεώρημα της εξεταστέας ύλης.

Ουσιαστικά όμως, όλοι νομίζω διαφωνούμε με αυτόν τον αντιπαιδαγωγικό/αντιμαθηματικό περιορισμό που υφίστανται οι μαθητές τεχνολογικής-θετικής, δηλαδή ότι πρέπει να προσαρμόζουν τις γνώσεις τους ώστε να είναι "εντός ύλης".

Όπως και να 'χει, το θέμα έχει ήδη συζητηθεί αν ψάξεις σε παλιότερες αναρτήσεις του φόρουμ και κατέληγε στο ότι εξαρτάται από την επιείκεια του βαθμολογητή (edit) και πολλές φορές λαμβάνεται σωστή η απάντηση, παρόλο που τυπικά δεν είναι δεκτό.

Btw, καλή επιτυχία σειρά!

Αυτά τα θέματα είναι λυμένα εδώ και χρόνια στα Βαθμολογικά Κέντρα: Οποιαδήποτε γνώση χρησιμοποιεί ο μαθητής και περιέχεται στα επίσημα εν χρήσει διδακτικά βιβλία είναι αποδεκτή. Και δεν εξαρτάται από την επιείκεια ή μη του βαθμολογητή.
Καλή επιτυχία στους διαγωγνιζόμενους. Καλή δύναμη στους δασκάλους τους.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 7:07 pm**

Αρκετά απαιτητικά τα θέματα!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 7:42 pm**

Όπως τόνισε ο Νίκος Μαυρογιάννης για τη χρήση του κανόνα de L' Hospital στον υπολογισμό ορίων,
ο προβληματισμός έχει εξαντληθεί στα Βαθμολογικά Κέντρα εδώ και αρκετά χρόνια.
Είναι δυνατή η χρήση του κανόνα και στο μάθημα των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας,
όπως και η χρήση του τύπου εξίσωσης εφαπτομένης καμπύλης (άλλο "αγαπημένο" θέμα συζήτησης).
Το ζήτημα γιατί η Επιτροπή έβαλε τέτοιο υπολογισμό ορίου είναι άλλου είδους ερώτημα.

Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 7:52 pm**

Τι θα λέγατε γι' αυτή τη λύση στο $\displaystyle{{\Gamma _3}}$ ;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω $\displaystyle{\nu}$ το πλήθος και $\displaystyle{{\nu_1},\;{\nu_2},\;{\nu_3},\;{\nu_4},\;{\nu_5}}$ οι συχνότητες
Τότε:

$\displaystyle{{f_2}\% = {f_1}\% \Rightarrow {\nu_2} = {\nu_1}}$
$\displaystyle{{f_3}\% = 3{f_1}\% \Rightarrow {\nu_3} = 3{\nu_1}}$
$\displaystyle{{f_4}\% = 2{f_1}\% \Rightarrow {\nu_4} = 2{\nu_1}}$
$\displaystyle{{f_5}\% = 3{f_1}\% \Rightarrow {\nu_5} = 3{\nu_1}}$

Οπότε:
$\displaystyle{\nu = {\nu_1} + {\nu_2} + {\nu_3} + {\nu_4} + {\nu_5} = 10{\nu_1} \Rightarrow {\nu_1} = \frac{1}{{10}}\nu}$
Τότε:
$\displaystyle{\bar x = \frac{1}{\nu}\sum\limits_{i = 1}^5 {{x_i}{\nu_i}} \Rightarrow 14\nu = \sum\limits_{i = 1}^4 {{x_i}{\nu_i}} + {x_5}{\nu_5} \Rightarrow 14\nu = 1780 + 17 \cdot 3{\nu_1} \Rightarrow 14\nu = 1780 + 5,1\nu \Rightarrow \nu = 200}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 8:01 pm**

Καλησπέρα στο mathematica.

Έχω ακούσει πολλά παιδιά στο όριο του Δ θέματος να λένε ότι είναι ίσο με $\frac{f'(1)}{98}$ το οποίο μαθηματικώς στέκει αλλά χρειάζεται εξήγηση καθώς δεν είναι και τόσο προφανές. Για να εξηγηθεί όμως πρέπει να γίνει η αντικατάσταση u=x+1

το οποίο μας πάει σε άλλο πρόβλημα, διδάσκεται η μέθοδος της αντικατάστασης στη γενική παιδεία;

Όσο για το de l' hospital πιστεύω ότι η χρήση του θα "κάψει" μερικά (αλλά όχι όλα) μόρια καθώς δεν διδάσκεται στη γενική παιδεία.
Όποιος έχει την όρεξη και τη γνώση ας με διαφωτίσει γιατί είμαι περίεργος να δω τι ισχύει.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Για να μην με μπερδεύετε, φοιτητής είμαι όχι υποψήφιος.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 8:26 pm**

B.Wolf έγραψε:Καλησπέρα στο mathematica.

Έχω ακούσει πολλά παιδιά στο όριο του Δ θέματος να λένε ότι είναι ίσο με $\frac{f'(1)}{98}$ το οποίο μαθηματικώς στέκει αλλά χρειάζεται εξήγηση καθώς δεν είναι και τόσο προφανές. Για να εξηγηθεί όμως πρέπει να γίνει η αντικατάσταση το οποίο μας πάει σε άλλο πρόβλημα, διδάσκεται η μέθοδος της αντικατάστασης στη γενική παιδεία;

Όσο για το de l' hospital πιστεύω ότι η χρήση του θα "κάψει" μερικά (αλλά όχι όλα) μόρια καθώς δεν διδάσκεται στη γενική παιδεία.
Όποιος έχει την όρεξη και τη γνώση ας με διαφωτίσει γιατί είμαι περίεργος να δω τι ισχύει.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Για να μην με μπερδεύετε, φοιτητής είμαι όχι υποψήφιος.

Καλησπέρα. Ίσως να μην έχετε δει το σχολικό βιβλίο της γενικής παιδείας στο οποίο ο ορισμός της παραγώγου γίνεται με το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}}$
Σήμερα το $\displaystyle{{x_0}}$ ήταν το ένα και το

ήταν το

.

Για τον κανόνα Del' Hospital καθώς και τον τύπο της εφαπτομένης το συζητάμε ακόμα; Παραπάνω πολύ πιό έμπειροι συνάδελφοι από εμένα εκφράστηκαν (για μία ακόμη φορά).

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 8:32 pm**

B.Wolf έγραψε:Καλησπέρα στο mathematica.

Έχω ακούσει πολλά παιδιά στο όριο του Δ θέματος να λένε ότι είναι ίσο με $\frac{f'(1)}{98}$ το οποίο μαθηματικώς στέκει αλλά χρειάζεται εξήγηση καθώς δεν είναι και τόσο προφανές. Για να εξηγηθεί όμως πρέπει να γίνει η αντικατάσταση το οποίο μας πάει σε άλλο πρόβλημα, διδάσκεται η μέθοδος της αντικατάστασης στη γενική παιδεία;

Καλησπέρα.

Δεν χρειάζεται καμία εξήγηση ούτε πρέπει να γίνει αντικατάσταση γιατί το βιβλίο των μαθηματικών της γενικής παιδείας δίνει τον τύπο $\displaystyle{f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}}$

B.Wolf έγραψε: Όσο για το de l' hospital πιστεύω ότι η χρήση του θα "κάψει" μερικά (αλλά όχι όλα) μόρια καθώς δεν διδάσκεται στη γενική παιδεία.
Όποιος έχει την όρεξη και τη γνώση ας με διαφωτίσει γιατί είμαι περίεργος να δω τι ισχύει.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων

.
Αυτός ο προβληματισμός συζητήθηκε πιο πάνω. Οτιδήποτε περιέχεται στα επίσημα σχολικά βιβλία μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Αυτό βέβαια, αδικεί τους μαθητές της Θεωρητικής Κατεύθυνσης.

Βλέπω ότι ήδη απαντήθηκε από τον Χρήστο. Γεια σου Χρήστο!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 8:35 pm**

chris_gatos έγραψε: Καλησπέρα. Ίσως να μην έχετε δει το σχολικό βιβλίο της γενικής παιδείας στο οποίο ο ορισμός της παραγώγου γίνεται με το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}}$
Σήμερα το $\displaystyle{{x_0}}$ ήταν το ένα και το ήταν το .

Για τον κανόνα Del' Hospital καθώς και τον τύπο της εφαπτομένης το συζητάμε ακόμα; Παραπάνω πολύ πιό έμπειροι συνάδελφοι από εμένα εκφράστηκαν (για μία ακόμη φορά).

Μου ξέφυγε ο εναλλακτικός ορισμός της παραγώγου.
Για τον κανόνα De l' Hospital είχα ακούσει άλλα πράγματα όταν ήμουν μαθητής, πιστεύω ότι θα είναι στην κρίση του εκάστοτε διορθωτή.
Σας ευχαριστώ κύριε Χρήστο.

Καλή επιτυχία σε όσους δίνουν.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 20, 2015 8:55 pm**

Δ3. Με συζυγή παράσταση

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(1+x)-\sqrt{99}}{98x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{(1+x)\sqrt{100-(1+x)^2}-\sqrt{99}}{98x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\bigg((1+x)\sqrt{100-(1+x)^2}-\sqrt{99}\bigg) \bigg((1+x)\sqrt{100-(1+x)^2}+\sqrt{99}\bigg)}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-(1+x)^2}+\sqrt{99}\bigg]}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\bigg((1+x)\sqrt{100-(1+x)^2}\bigg)^2-\bigg(\sqrt{99}\bigg)^2}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-(1+x)^2}+\sqrt{99}\bigg]} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{(1+x)^2 \big(100-(1+x)^2\big)-99}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{100(1+x)^2 -(1+x)^4-99}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{100(1+2x+x^2 )-(1+2x+x^2)(1+2x+x^2)-99}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{100(1+2x+x^2 )-(1+2x+x^2 +2x+4x^2+2x^3+x^2+2x^3+x^4)-99}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{100(1+2x+x^2 )-(1+4x+ 6x^2+4x^3+x^4)-99}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{100+200x+100x^2 -1-4x-6x^2-4x^3-x^4-99}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{196x+94x^2 -4x^3-x^4}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x\big(196+94x -4x^2-x^3\big)}{98x \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]}$

$= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\big(196+94x -4x^2-x^3\big)}{98 \bigg[(1+x)\sqrt{100-x^2}+\sqrt{99}\bigg]} = \dfrac{196}{98(2\sqrt{99})} = \dfrac{1}{\sqrt{99}}$

mathematica.gr

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2015