mathematica.gr

Το δικό μου (λάθος) πρώτο θέμα μικρων:
(a+b+c) ²=0 και (a+b) ²+c(c+2a+2b) άρα (a+b) ²=0
a+b=0 αλλά a+b=-c άρα ceR=0
Απο την δεύτερη εξίσωση ακυρώνονται οι 2 τελευταίοι οροι:
Και μένει ab³=0 άρα aeR=0 και b³=0 άρα beR=0
Άρα από τις σχεσεις:
(a,b,c)=(0,0,0)
Και το ζητούμενο επεται

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Σάβ Φεβ 18, 2023 4:53 pm Καλησπέρα.
Γεωμετρία Μεγάλων.
Έστω το σημείο τομής της με την παράλληλη από το προς την η οποία τέμνει την προέκταση της στο . Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ,το είναι μέσον της και η είναι κάθετη στην . Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. Το τελευταίο ισχύει καθώς .

Πολύ καλό Ανδρέα

S.E.Louridas έγραψε: Σάβ Φεβ 18, 2023 11:02 pm Γεωμετρία των μεγάλων.
Και μόνο για χάρη πλουραλισμού.

Έστω το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου που καταλήγει η και που είναι το κέντρο το κύκλου και το μέσο της
Αν είναι η τομή της με τον περιγεγραμμένο κύκλο στο δοθέν τρίγωνο, τότε και επειδή τα τρίγωνα είναι όμοια και η τέμνει τo στο μέσο τoυ επομένως και τον κύκλο στο
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι τα τρίγωνα είναι ισοσκελή οπότε η είναι μεσοκάθετη του και έτσι προκύπτει η καθετότητα.ar.png

Εξίσου πολύ καλό Σωτήρη

Πως βρήκατε τα θέματα μικρών?
Στο πρώτο βρήκα το σωστό αποτέλεσμα με λάθος όμως μέθοδο οπότε δεν θα πάρω όλους τους πόντους γιατί έκανα πράξεις μέχρι σε ένα σημείο και τα παράτησα οπότε έγραψα κατευθείαν την σωστή λύση χωρίς επεξήγηση. Το 2ο και το 3ο ούτε που τα άγγιξα. Στο τέταρτο έδωσα επεξηγήσεις αλλά δυστυχώς έγραψα μια μόνο λύση (α, β) = (3,2)
Γενικότερα τα θέματα τα βρήκα πολύ πιο δύσκολα σε σχέση με τα περσινα και γενικά παλαιότερων ετών όπου λυνανε για πλάκα τα 2 θέματα. Εσείς τι πιστεύετε?

Mathmaster2009 έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 9:19 am Πως βρήκατε τα θέματα μικρών?
Στο πρώτο βρήκα το σωστό αποτέλεσμα με λάθος όμως μέθοδο οπότε δεν θα πάρω όλους τους πόντους γιατί έκανα πράξεις μέχρι σε ένα σημείο και τα παράτησα οπότε έγραψα κατευθείαν την σωστή λύση χωρίς επεξήγηση. Το 2ο και το 3ο ούτε που τα άγγιξα. Στο τέταρτο έδωσα επεξηγήσεις αλλά δυστυχώς έγραψα μια μόνο λύση (α, β) = (3,2)
Γενικότερα τα θέματα τα βρήκα πολύ πιο δύσκολα σε σχέση με τα περσινα και γενικά παλαιότερων ετών όπου λυνανε για πλάκα τα 2 θέματα. Εσείς τι πιστεύετε?

Καλημέρα και σε σένα και σε όλα τα παιδιά. Τα θέματα του Γυμνασίου κατά προσωπική μου άποψη ήταν πιο δύσκολα για να γράψεις χαμηλά πιο εύκολα για να γράψεις ψηλότερα. Τα αποτελέσματα πιθανόν και να αργήσουν γιατί είναι πάρα πολλά τα γραπτά και πρέπει να μαζευτούν όλα στην Αθήνα. Όπως και να έχει οι μέρες πλησιάζουν και όλα τα παιδιά θα είστε σε "αναμμένα κάρβουνα"!

Καλημέρα Νικόλα. Δεκτή η άποψη σου για τη δυσκολία των θεμάτων. Όντως όλα τα παιδιά είναι σε αναμμένα κάρβουνα για τα αποτελέσματα. Οι απόψεις διαφέρουν από μαθητή σε μαθητή και θέματα που κάποιος βρίσκει πολύ εύκολα είναι για κάποιον άλλον πολύ δύσκολα και το αντίστροφο. Αυτή είναι η αγωνία στον Αρχιμηδη: Δεν μετράει τόσο το τι έγραψες εσύ αλλά μετράει το τι έγραψαν συνολικά. Προσωπικά πάντως δεν πιστεύω να έχουν καταφέρει πολλοι μαθητές σωστά την επίλυση του περίπλοκο 2ου θέματος (που σε σχέση με περισυ η μεθοδολογία με τα βαρύ κέντρα είναι πιστεύω κατά πολύ δυσκολότερη) και το 3ο θέμα. Όσους ρώτησα στο εξεταστικό δεν άγγιξαν το 2ο και 3ο θέμα. Ξαναλέω ότι αυτό διαφέρει μαθητή σε μαθητή αλλά πιστεύω πως οι μικρές τάξεις θα κριθούν στο 1ο και 4ο θέμα, που είναι πιο βάτα. Όσο αφορά για τις βάσεις, πέρυσι το χάλκινο ήταν στα 4,5. Όπως έχω καταλάβει πιστεύεις πως η βάση για το χάλκινο θα είναι αρκετά αυξημένη (όπως πχ του 2020- 8 το χάλκινο). Αλλά το 2020,επι παραδείγματα, τα θέματα συγκριτικά ήταν πολύ πιο εύκολα και τα 3 από τα 4 λυνοντουσαν εύκολα. Πιστεύω πως επιπλέον η βάση θα είναι χαμηλή επειδή δεν υπάρχει Ευκλείδης, και τα παιδιά β και γ γυμνασίου δεν έχουν κάνει πολύ καλή προετοιμασία και έχουν γράψει χαμηλά αφού δεν είχαν ιδέα την διαφορά δυσκολίας των 2 διαγωνισμών. Ας ελπίσουμε να είναι χαμηλές οι βάσεις για να ευνοηθουν και τα παιδιά της Β γυμνασίου
Φιλικα

Και οι δύο λύσεις στη Γεωμετρία των μεγάλων που έδωσαν οι Ανδρέας και Σωτήρης είναι πολύ όμορφες .

Με τα σχήματά τους , με τη λιτότητα στο γράψιμο, με τα όλα τους!

Βλέπω τον ενθουσιασμό σου και καταλαβαίνω και την αγωνία και των άλλων παιδιών μιας και τυγχάνει να έχω φέτος κοντά 30 παιδιά που έδωσαν στον Αρχιμήδη (είμαι καθηγητής και όχι μαθητής όπως πιστεύω υπέθεσες ). Απαντώ λοιπόν στις σκέψεις σου γιατί διαβάζουν πολλά παιδιά και ίσως θα ήταν καλό να ξέρετε κάποια πράγματα για την συνέχεια. Καταρχάς τα παιδιά που έχουν στόχους για μετάλλια και βλέψεις για εθνικές κτλπ προετοιμάζονται όλη την χρονιά και σε πολλές των περιπτώσεων το διάβασμα τους είναι "εξοντωτικό". Στο αναφέρω αυτό γιατί αν έχεις σκοπό εσύ ή κάποιο άλλο παιδί να ασχοληθεί με αυτό το κομμάτι θα πρέπει να ξεκινήσετε από τώρα να διαβάζετε για του χρόνου! Ως εκ τούτου ένα παιδί που θα διαβάσει αφού βγουν τα αποτελέσματα του Θαλή, είναι εξαιρετικά δύσκολο έως αδύνατο να πάρει έστω και ένα χαμηλό μετάλλιο. Συμψηφίζοντας αυτά λοιπόν μην περιμένεις ένα παιδί Β' Γυμνασίου να κάνει κάτι αν δεν έχει βγάλει στο τέλος της Α' όλη την ύλη του Γυμνασίου!!! Για την ιστορία και μόνο χτες παιδί της Β' Γυμνασίου έγραψε σχεδόν 20 ( αν όχι 20 ). Τέλος στο 1ο θέμα πολλά παιδιά θα νομίζουν ότι πήραν μονάδες γιατί βρήκαν την λύση αλλά στην πράξη θα έχουν πάρει μηδέν. Εύχομαι λοιπόν καλά αποτελέσματα να έχεις και εσυ αλλά και όλα τα παιδιά! Εύχομαι επίσης αφού κάνατε το κόπο να γραφτείτε στο φόρουμ, να μείνετε και να εκμεταλλευτείτε τα τόσα πολλά θέματα που προσφέρουν απλόχερα οι συνάδελφοι!

Mathmaster2009 έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 9:19 am Πως βρήκατε τα θέματα μικρών?
Στο πρώτο βρήκα το σωστό αποτέλεσμα με λάθος όμως μέθοδο οπότε δεν θα πάρω όλους τους πόντους γιατί έκανα πράξεις μέχρι σε ένα σημείο και τα παράτησα οπότε έγραψα κατευθείαν την σωστή λύση χωρίς επεξήγηση. Το 2ο και το 3ο ούτε που τα άγγιξα. Στο τέταρτο έδωσα επεξηγήσεις αλλά δυστυχώς έγραψα μια μόνο λύση (α, β) = (3,2)
Γενικότερα τα θέματα τα βρήκα πολύ πιο δύσκολα σε σχέση με τα περσινα και γενικά παλαιότερων ετών όπου λυνανε για πλάκα τα 2 θέματα. Εσείς τι πιστεύετε?

Προσωπικά πιστεύω πως το θέμα 1 και 4 ήταν καλά. Το θέμα 2 εγώ το έλυσα με το βαρυκεντρο στην ουσία είπα την θεωρία τώρα δεν ξέρω εάν είναι σωστό το θέμα 3 ήταν δύσκολο

Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ?
Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ?

fogsteel έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:38 am Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ?
Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ?

Των λυκείων ήταν πιο εύκολα για κάποιον που είχε κάνει καλή προετοιμασία

Απλά επανέρχομαι, επειδή παρακολουθούν και μαθητές που ενδιαφέρονται για τους διαγωνισμούς, για να εξηγήσω την αρχική μου
σκέψη - λύση για την επίλυση του προβλήματος της Γεωμετρίας των Μεγάλων.

Άρα η άλλη άποψη είναι:

Αν θεωρήσουμε το σημείο τομής του κύκλου με τον κύκλο τα τρίγωνα είναι ίσα, άρα
Επειδή λοιπόν τα τρίγωνα είναι όμοια η θα περνά από το μέσο του
Προφανώς λόγω του μονοσήμαντου

fogsteel έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:38 am Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ?
Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ?

Πάλι θα εκφράσω την προσωπική μου άποψη σε συνδυασμό με το ότι τυγχάνει να γνωρίζω τα περισσότερα παιδιά που ήταν ήδη από πέρσυ στα μετάλλια. Θεωρώ ότι η φετινή χρονιά είναι η πιο δύσκολη να πάρει κάποιος μετάλλιο στο λύκειο. Υπάρχουν πάρα πολλά παιδιά με τεράστιες δυνατότητες. Γενικά υπάρχει μια "συσσώρευση" μαθητών που έχουν γράψει(θεωρητικά) μεταξύ 2 και 3 θεμάτων. Φυσικά δεν λείπουν και αυτοί που έχουν γράψει κοντά στο 20 και φυσικά και 20!

Κύριε Νικόλα συγνώμη που σας αποκάλεσα Νικολα(υπέθεσα πως ήσασταν μαθητης . Μου φαίνεται δύσκολο να πιστέψω πως μαθητής της Β γυμνασίου όπως λέτε έγραψε τόσο καλά? Συμφωνώ με το ότι πρέπει να κάνουμε μεγάλη προετοιμασία για να αποκτήσουμε κάποιο ΜΕΤΑΛΛΙΟ. Στο θέμα 1 είπατε ότι οι περισσότεροι βρήκαν τη λύση χωρίς να την αιτιολογισουν?Οπω;ς και εγώ. Αυτό δεν μετράει ως προς έναν βαθμό? Εννοώ πως ο μαθητής δεν θα πάρει όλους τους πόντους αλλά μπορεί να του δοθούν πχ 2/5!

fogsteel έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:38 am Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ?
Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ?

Καλημέρα!
Δεν ξέρω πως γράψανε τα παιδιά διότι δεν έχω επαφές. Γενικά κατά τη γνώμη μου τα θέματα είναι καλά. Πιο συγκεκριμένα για τη δυσκολια των θεμάτων, κατά την ταπεινή μου άποψη, τα θέματα 1 και 3 είναι καλά για τις θέσεις τους. Το θέμα 2 θεωρώ ότι ειναι αρκετά κλασικό για κάποιον που έχει κάνει καλή προετοιμασία. Για το 4ο θέμα, αν ο μαθητής γνώριζε θεωρία γραφημάτων δεν θα χε κανένα πρόβλημα, χωρίς αυτή δεν ξέρω πώς λύνεται. Οπότε θα έλεγα ότι από αυτή την άποψη ειναι σχετικά δύσκολο καθώς στους μαθητές λυκείου νομίζω η θεωρία γραφημάτων δεν είναι και πολύ οικεία (μιλάω για τους καλά προετοιμασμένους).

Mathmaster2009 έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:53 am Κύριε Νικόλα συγνώμη που σας αποκάλεσα Νικολα(υπέθεσα πως ήσασταν μαθητης . Μου φαίνεται δύσκολο να πιστέψω πως μαθητής της Β γυμνασίου όπως λέτε έγραψε τόσο καλά? Συμφωνώ με το ότι πρέπει να κάνουμε μεγάλη προετοιμασία για να αποκτήσουμε κάποιο ΜΕΤΑΛΛΙΟ. Στο θέμα 1 είπατε ότι οι περισσότεροι βρήκαν τη λύση χωρίς να την αιτιολογισουν?Οπω;ς και εγώ. Αυτό δεν μετράει ως προς έναν βαθμό? Εννοώ πως ο μαθητής δεν θα πάρει όλους τους πόντους αλλά μπορεί να του δοθούν πχ 2/5!

Δυστυχώς αν δεν συνοδεύεται με πράγματα που συσχετίζονται άμεσα με μια λύση, πιθανότατα δεν θα δώσει πόντους!

miltosk έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:59 am

fogsteel έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:38 am Για το Λύκειο ξέρει κανείς πως γράψαν οι διαγωνιζόμενοι σε γενικές γραμμές ?
Θεωρούνται εύκολα τα θέματα ?

Καλημέρα!
Δεν ξέρω πως γράψανε τα παιδιά διότι δεν έχω επαφές. Γενικά κατά τη γνώμη μου τα θέματα είναι καλά. Πιο συγκεκριμένα για τη δυσκολια των θεμάτων, κατά την ταπεινή μου άποψη, τα θέματα 1 και 3 είναι καλά για τις θέσεις τους. Το θέμα 2 θεωρώ ότι ειναι αρκετά κλασικό για κάποιον που έχει κάνει καλή προετοιμασία. Για το 4ο θέμα, αν ο μαθητής γνώριζε θεωρία γραφημάτων δεν θα χε κανένα πρόβλημα, χωρίς αυτή δεν ξέρω πώς λύνεται. Οπότε θα έλεγα ότι από αυτή την άποψη ειναι σχετικά δύσκολο καθώς στους μαθητές λυκείου νομίζω η θεωρία γραφημάτων δεν είναι και πολύ οικεία (μιλάω για τους καλά προετοιμασμένους).

Συμφωνώ πως το 2 είναι κλασικό , και πιστεύω θα επρεπε να είναι 1ο πρόβλημα και όχι 2ο.
Το 4ο αρκετοί το λύσανε είτε λάθος είτε με ελλιπή αιτιολόγηση (τουλάχιστον με όσους μίλησα μετά τις εξετάσεις).
Το πρώτο δεν ξέρω αν το λύσανε πολλοί (δεν νομίζω βέβαια)

Δεν πιστεύω πως ο μέσος μαθητής έλυσε 2 - 3 θέματα όπως ειπώθηκε παραπάνω. Εδω κάποιοι αρκετά καλοί απο το σχολείο μου (διακριθέντες αρχιμήδη προηγούμενων ετών) λύσανε 2 θέματα , αμφιβάλλω πως αρκετοί λύσανε παραπάνω.

Αν μου επιτραπεί στον απόηχο...
Ο διαγωνισμός αυτός τελείωσε διεγείροντας υπέρ-θετικά αποτελέσματα ουσίας, όπως η συμμετοχή σε επιστημονικό διαγωνισμό κύρους (ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ) με την αθέατη ουσιαστική πλευρά του εκείνη της προπονητικής διαδικασίας, με πανέμορφη αγωνία της προσμονής του θετικού αποτελέσματος, με την χαρά αυτού καθαυτού του αποτελέσματος για κάποιους, με το μεγαλείο της διαχείρισης υπέρ ενός αρνητικού αποτελέσματος. Άρα ... προχωράμε. Ως εκ τούτου τέτοιοι διαγωνισμοί αποτελούν μία ηχηρή απάντηση στη πρόκληση της εποχής.
Τα θέματα από τους θεματοδότες δεν κατασκευάζονται κάτω από το πρίσμα ενός σκληρού απρόσωπου υπερρεαλιστικού περιβάλλοντος.
Οι θεματοδότες επωμίζονται το δύσκολο έργο του συνδυασμού, τα θέματα να είναι μαθηματικά άρτια, σε επίπεδο που να κινεί ακόμα περισσότερο την προπονητική διαδικασία για παραπάνω επιδόσεις και βέβαια κάτω από τα δεδομένα των καιρών που ζούμε.
Έτσι και όσο με αφορά θεωρώ ότι τα θέματα ήταν πάρα πολύ καλά θέματα.
Συγχαρητήρια πολλά και από τη πλευρά μου στους συμμετέχοντες στους διαγωνισμούς αυτούς (και όμως είναι τεράστιο το γεγονός αυτό), στους επιτυχόντες (με ευχές για άριστες επιπλέον επιδόσεις) και βέβαια καλή συνέχεια σε όλους.

Καταπληκτικά τα θέματα των μεγάλων!
Μια μικρή αμφίβολια για το πρόβλημα 2 αν και δεν χαλάει την ομορφιά του το έχουμε δει και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 75&t=69997 (τελευταίο ποστ υπάρχει ο ακόλουθος σύνδεσμος)
https://www.researchgate.net/publicatio ... 's_Problem

2nisic έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 12:47 pm Καταπληκτικά τα θέματα των μεγάλων!
Μια μικρή αμφίβολια για το πρόβλημα 2 αν και δεν χαλάει την ομορφιά του το έχουμε δει και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 75&t=69997 (τελευταίο ποστ υπάρχει ο ακόλουθος σύνδεσμος)
https://www.researchgate.net/publicatio ... 's_Problem

Αν και το είχα δει τότε που το ανεβασες, Διονύση, ούτε καν το θυμόμουν.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Mathmaster2009 έγραψε: Κυρ Φεβ 19, 2023 9:19 am Πως βρήκατε τα θέματα μικρών?
Στο πρώτο βρήκα το σωστό αποτέλεσμα με λάθος όμως μέθοδο οπότε δεν θα πάρω όλους τους πόντους γιατί έκανα πράξεις μέχρι σε ένα σημείο και τα παράτησα οπότε έγραψα κατευθείαν την σωστή λύση χωρίς επεξήγηση. Το 2ο και το 3ο ούτε που τα άγγιξα. Στο τέταρτο έδωσα επεξηγήσεις αλλά δυστυχώς έγραψα μια μόνο λύση (α, β) = (3,2)
Γενικότερα τα θέματα τα βρήκα πολύ πιο δύσκολα σε σχέση με τα περσινα και γενικά παλαιότερων ετών όπου λυνανε για πλάκα τα 2 θέματα. Εσείς τι πιστεύετε?

Καλημέρα! Εγώ αντίθετα με εσένα βρήκα το 2 αρκετά εύκολο, το οποίο έλυσα με όμοια τρίγωνα αλλά και το 3-θεωρώ- που χρειαζόταν όμως αρκετή δουλειά..Το 1, κι εγώ παρόλο που βρήκα το σωστό αποτέλεσμα, το έκανα σίγορα με λάθος τρόπο, ενώ το 4 δεν το άγγιξα καν, καθώς μπορώ να πω ότι δεν είμαι τόσο εξοικειωμένος με αυτού του τύπου τα προβλήματα. Θα ήθελα όμως να ρωτήσω αν κανείς έχει λύσει το 3 των μικρών, γιατί δεν είμαι τόσο σίγουρος για τη λύση μου.