mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 28, 2025 12:24 pm**

Ξεχάστηκε η 146. Καλό αλλά όχι για σχολείο.

Θα δείξω επαγωγικά ως προς τα περιττά θετικά ακέραια

ότι
$\displaystyle \frac{1}{x^{n}\left ( x+1 \right )}=A_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k+1}}{x^{k}}+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{x+1}$
που θα είναι η επαγωγική υπόθεση γιατί τσεκάρωντας με το χέρι για n=1

ισχύει
Τότε
$\displaystyle A_{n+2}=\frac{1}{x^{2}}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k+1}}{x^{k}}+\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{x+1} \right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k+1}}{x^{k+2}}+\left ( -1 \right )^{n}\left ( \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1} \right )=$
$\displaystyle \sum_{m=3}^{n+2}\frac{\left ( -1 \right )^{m-1}}{x^{m}}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+\frac{\left ( -1 \right )^{n+2}}{x+1}=\sum_{m=1}^{n+2}\frac{\left ( -1 \right )^{m+1}}{x^{m}}+\frac{\left ( -1 \right )^{n+2}}{x+1}$
όπως θέλαμε. $\blacksquare$
Οπότε για περιττά θετικά ακέραια

έχουμε
$\displaystyle I_{n}=\int \left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k+1}}{x^{k}}-\frac{1}{x+1} \right )dx=\sum_{k=2}^{n}\left ( -1 \right )^{k+1}\cdot \frac{x^{1-k}}{1-k}+\ln \left |x \right|-\ln \left | x+1\right |+C$
Με παρόμοιο τρόπο για άρτια

έχουμε
$\displaystyle I_{n}=\int \left ( \sum_{k=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{k}}{x^{k}}+\frac{1}{x+1} \right )dx=\sum_{k=2}^{n}\left ( -1 \right )^{k}\cdot \frac{x^{1-k}}{1-k}-\ln \left |x \right|+\ln \left | x+1\right |+C$
Για ακέραια $n\leqslant 0$ είναι ομορφότερο ολοκλήρωμα και δίνει $\displaystyle -\mathrm{L_{i}}_{1-n}\left ( -x \right )+C$

mathematica.gr

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων