mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 12:28 am**

Μία άποψη για το θέμα της Γεωμετρίας των Μεγάλων.
Θα ήθελα να αναφερθώ σε μία βασική πρόταση που η γνώση της οδηγεί αυτόματα στην λύση.

« Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R). Θεωρούμε τα ύψη του AD, BF και έστω Η το ορθόκεντρο του. Έστω
$E \equiv AD \cap (O,R),\;K \equiv BF \cap (O,R).$
Τότε υπάρχει σημείο $N \ne K$ του μικρού τόξου AC ώστε,
$LM = MN,\mu \varepsilon \,L \equiv BN \cap AE\;\kappa \alpha \iota \;M \equiv BN \cap AC,$ αν και μόνο αν $\angle EAN = 90^ \circ$ ».

Λύση:
Έστω S σημείο της χορδής ΑΝ, ώστε
$HS\parallel BN\;\kappa \alpha \iota \;P \equiv HS \cap AM.$ Προφανώς HP=PS και επειδή HF=FK (γνωστή πρόταση) προκύπτει
$FP\parallel KS \Rightarrow \angle HKS = 90^ \circ .\,\angle ASH = \angle ANB = \angle AKB \Rightarrow AHSK\varepsilon \gamma \gamma \rho . \Rightarrow \angle HAS = 90^ \circ .$
Αν τώρα θεωρήσουμε Ν το αντιδιαμετρικό του Ε έχουμε:
$\angle HAN = 90^ \circ .$
Η παράλληλη από το Κ προς την AC τέμνει την ΑΝ στο S. Τότε έχουμε
$\angle HKS = 90^ \circ .$ Άρα το τετράπλευρο HSKA είναι εγγράψιμμο οπότε $\angle ASH = \angle AKH = \angle ANB \Rightarrow HS\parallel LN \Rightarrow LM = MN.$

S.E.Louridas

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 12:41 am**

Πολλά συγχαρητήρια σε ΟΛΑ τα παιδιά για τη συμμετοχή τους και ιδιαίτερα σ' εκείνους που πήραν μετάλλιο! Τους εύχομαι να συνεχίσουν την καλή πρόοδο με ο,τιδήποτε κι αν ασχοληθούν! Ό,τι αγαπήσεις το κάνεις καλά...

Χάρηκα πολύ που γνώρισα έστω και για λίγο κάποια από τα παιδιά του forum! Εύχομαι σύντομα να πιούμε όλοι μαζί ένα κρασάκι! Θα το κανονίσουμε με την πρώτη ευκαιρία...

Να δώσω επίσης συγχαρητήρια και στον Κώστα Σφακιανάκη από το Ηράκλειο και μέλος του forum μας (ksofsa) που κατέλαβε την πρώτη θέση στους μικρούς καθώς επίσης και σε όλους εκείνουν που μπορεί να μας παρακολουθούν αλλά που μπορεί να μην έτυχε να μας γράψουν!

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 11:26 am**

παιδιά,μήπως έχει κανείς λύση για το θέμα 3 των μεγάλων? βρισκω ενα άνω φραγμα (με holder αλλά και με ΑΜ-ΓΜ) το 3*(36)^(1/3) αλλά αυτό δεν είναι η μέγιστη τιμη διότι δεν ισχύει σε αυτή τν περίπτωση η ισότητα...

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 11:59 am**

Συγχαρητήρια σε όλους! Καλή συνέχεια!

Υ.Γ:Επί της ευκαιρίας μάθαμε και τα ονόματα παιδιών που αγνοούσαμε, όπως πχ. του Kosta12345, επίσης κάτι καλό γίνεται στα Τρίκαλα αφού έχει πολύ καλές συμμετοχές τα τελευταία χρόνια στους διαγωνισμούς. Την ανάγω ως μαθητικούπολη της Ελλάδος!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 1:06 pm**

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Έρχομαι με καλά νέα...

το φόρουμ μας έχει πολύ καλή εκπροσώπηση στα μετάλλια (στους μεγάλους):

Λώλας Παναγιώτης Χρυσό (Παναγιώτης 1729)
Κυριάκος Αξιώτης Ασημένιο (userresu)
Νίκος Αθανασίου Ασημένιο (nickthegreek)
Στέλιος Κωνσταντινίδης Χάλκινο (Dreamkiller)
Τσουβαλάς Κώστας Χάλκινο (kwstas12345)
Nασιούλας Αντώνης Χάλκινο

Ίσως ξεχνάω κάποιους μιας και μου τα είπανε τηλεφωνικώς.
Ας με συγχωρέσουν και ας μου το πούνε να συμπληρώσω τη λίστα...
Για τους μικρούς δεν ξέρω...

Πόλλα συγχαρητήρια και από μένα σε όλους -επιτυχόντες και μη-...καλή συνέχεια

Παιδιά, συγχαρητήρια για την συμμετοχή, την επιτυχία και την διάκριση! Σας εύχομαι τα καλύτερα για το μέλλον!

Ρεκούμης Κωνσταντίνος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 4:45 pm**

Συγχαρητήρια και από μένα σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν στο διαγωνισμό και ιδιαίτερα σε αυτούς που διακρίθηκαν.
Θα ήθελα να συγχαρώ πιο θερμά τους δύο Κορίνθιους μαθητές που κατέκτησαν μετάλλια και ιδιαίτερα το μέλος μας Στέλιο Κωνσταντινίδη (Dreamkiller).

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 5:55 pm**

qwerty έγραψε:παιδιά,μήπως έχει κανείς λύση για το θέμα 3 των μεγάλων? βρισκω ενα άνω φραγμα (με holder αλλά και με ΑΜ-ΓΜ) το 3*(36)^(1/3) αλλά αυτό δεν είναι η μέγιστη τιμη διότι δεν ισχύει σε αυτή τν περίπτωση η ισότητα...

Αφού η συνάρτηση $f(x)=\sqrt[3]{x}$ είναι κοίλη στο $[0,+\infty)$ άρα από την ανισότητα Jensen έχουμε:

$\begin{aligned}f(a^2+2bc)+f(b^2+2ca)+f(c^2+2ab) &\leq 3 f\left(\displaystyle\frac{(a^2+2bc)+(b^2+2ca)+(c^2+2ab)}{3}\right) \\ &=3\sqrt[3]{\left\frac{(a+b+c)^2}{3}}=3\sqrt[3]{12}\end{aligned}$

Η ισότητα ισχύει για a=b=c=2.

Ουσιαστικά η παραπάνω ανισότητα είναι η $\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}\geq \displaystyle\frac{x+y+z}{3}$ .

Άλλες λύσεις μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια της ανισότητας Holder,της ανισότητας Tchebychev, κτλ

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 7:17 pm**

Ας δούμε κάτι για το 4ο θέμα των μεγάλων. (δεν ξέρω κατά πόσο μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση του ζητουμένου βέβαια)

Θα αποδείξουμε, με δεδομένο ότι $MZ\perp BC$ , ότι το

είναι το μέσον του

.
Αφού το

είναι στη μεσοκάθετο του

,

, δηλαδή $\hat{LAB}=\hat{LBA}$ . Όμως $\hat{LBA}=\hat{LAB}=\hat{EAB}=\hat{BNE}=\hat{LNE}$ , επειδή βαίνουν στο ίδιο τόξο, και για τον ίδιο λόγο $\hat{LBA}=\hat{NBA}=\hat{AEN}=\hat{LEN}$ . Συνεπώς AB//NE

, και, επειδή $\mu \perp AB$ , $\mu \perp NE$ . Άρα η

είναι ύψος, όμως επειδή $\hat{LEN}=\hat{LNE}$ ,

είναι το μέσον του

(1). Επίσης, από υπόθεση, $AD\perp BC$ και $MZ\perp BC$ , δηλαδή LE//AD//MZ

(2).
Από τα (1),(2) συνεπάγεται άμεσα το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 7:22 pm**

cretanman έγραψε:
qwerty έγραψε:παιδιά,μήπως έχει κανείς λύση για το θέμα 3 των μεγάλων? βρισκω ενα άνω φραγμα (με holder αλλά και με ΑΜ-ΓΜ) το 3*(36)^(1/3) αλλά αυτό δεν είναι η μέγιστη τιμη διότι δεν ισχύει σε αυτή τν περίπτωση η ισότητα...
Αφού η συνάρτηση $f(x)=\sqrt[3]{x}$ είναι κοίλη στο $[0,+\infty)$ άρα από την ανισότητα Jensen έχουμε:

$\begin{aligned}f(a^2+2bc)+f(b^2+2ca)+f(c^2+2ab) &\leq 3 f\left(\displaystyle\frac{(a^2+2bc)+(b^2+2ca)+(c^2+2ab)}{3}\right) \\ &=3\sqrt[3]{\left\frac{(a+b+c)^2}{3}}=3\sqrt[3]{12}\end{aligned}$

Η ισότητα ισχύει για

Ουσιαστικά η παραπάνω ανισότητα είναι η $\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}\geq \displaystyle\frac{x+y+z}{3}$ .

Άλλες λύσεις μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια της ανισότητας Holder,της ανισότητας Tchebychev, κτλ

Αλέξανδρος

Πράγματι η Jensen έλυνε την άσκηση σε δυο γραμμές. Προσωπικά στον διαγωνισμό ύψωσα στην τρίτη και έφραξα την παράσταση με ΑΜ-ΓΜ και Schur, η λύση όμως δεν είναι τόσο κομψή όσο η παραπάνω.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 7:48 pm**

Αρχικά να συγχαρώ κι εγώ όλα τα παιδιά που έδωσαν στον Αρχιμήδη και κυρίως αυτά που διακρίθηκαν. Συγχαρητήρια και στα παιδιά του forum που ήταν στα μετάλλια, αλλά και στον Σκιαδόπουλο Αθηναγόρα που είναι στο σχολείο μου και κατέκτησε χρυσό στους μικρούς.

Έχω μία απορία σχετικά με το Πρόβλημα 3 των μεγάλων. Μπορείτε να μου πείτε αν χάνει κάπου η παρακάτω λύση:

Από τη γνωστή $\displaystyle{x^2+y^2\geq 2xy}$ έχουμε:

$\displaystyle{b^2+c^2\geq 2bc\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq a^2+2bc\Leftrightarrow \sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{a^2+2bc}}$ με την ισότητα να ισχύει για $\displaystyle{b=c}$

Ομοίως:
$\displaystyle{\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{b^2+2ca}}$

$\displaystyle{\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{c^2+2ab}}$

Από πρόσθεση κατά μέλη των 3 έχουμε:
$\displaystyle{S \leq 3\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}}$ με την ισότητα να ισχύει για $\displaystyle{a=b=c}$

Άρα το μέγιστο του $\displaystyle{S}$ λαμβάνεται όταν η παράσταση πάρει τη μορφή $\displaystyle{3\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}}$ , κάτι που γίνεται όταν $\displaystyle{a=b=c}$ . Όμως όταν ισχύει αυτό, από τη σχέση $\displaystyle{a+b+c=6}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{a=b=c=2}$ .

Άρα αντικαθιστώντας, το μέγιστο του $\displaystyle{S}$ είναι $\displaystyle{3\sqrt[3]{12}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 8:02 pm**

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που συμμετείχαν και σε αυτά που διακρίθηκαν και κυρίως στα μέλη του

για τα πολλά χρώματα στα μετάλλια

Ιδιαίτερα να συγχαρώ τους συμπολίτες Παναγιώτη Λώλα ,Αναγνώστου Θοδωρή και Αναγνώστου Νικολέτα για τα χρυσά

Αναμένουμε ποικιλία στα χρώματα των μεταλλιών και στους διεθνείς διαγωνισμούς!!!

ΥΓ:Δυστυχώς δεν κατάφερα να παρεβρεθώ στη σύναξη της Ροζαλίας αλλά συνάντησα αρκετά μέλη απο κοντά καθώς και τον κ.Αλέξανδρο!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 8:11 pm**

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Έρχομαι με καλά νέα...

το φόρουμ μας έχει πολύ καλή εκπροσώπηση στα μετάλλια (στους μεγάλους):

Λώλας Παναγιώτης Χρυσό (Παναγιώτης 1729)
Κυριάκος Αξιώτης Ασημένιο (userresu)
Νίκος Αθανασίου Ασημένιο (nickthegreek)
Στέλιος Κωνσταντινίδης Χάλκινο (Dreamkiller)
Τσουβαλάς Κώστας Χάλκινο (kwstas12345)
Nασιούλας Αντώνης Χάλκινο

και ο Κώστας Σφακιανάκης Χρυσό (ksofsa) στους μικρούς...

Ίσως ξεχνάω κάποιους μιας και μου τα είπανε τηλεφωνικώς.
Ας με συγχωρέσουν και ας μου το πούνε να συμπληρώσω τη λίστα...
Για τους μικρούς δεν ξέρω...

Πόλλα συγχαρητήρια και από μένα σε όλους -επιτυχόντες και μη-...καλή συνέχεια

Επεξεργασία: Πρόσθεσα τον Κώστα στους μικρούς...

Αντώνη, μπράβο!

Συγχαρητήρια και σε σένα και στα υπόλοιπα παιδιά για την συμμετοχή τους.

Κάθε προσπάθειά μας να πετύχουμε πράγματα, ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα, μας κάνει δυνατότερους.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 11:06 pm**

Πολλά συγχαρητήρια στα παιδιά που συμμετείχαν, στα παιδιά που διακρίθηκαν και ιδιαίτερα στα παιδιά του mathematica. Μπράβο σας !!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 11:28 pm**

πολλα συγχαρητηρια σε ολα τα παιδια που συμμετειχαν και διακριθηκαν στον αρχιμηδη και ακομα περισσοτερα στον παναγιωτη λωλα για το χρυσο απο την α λυκειου!!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 27, 2011 11:49 pm**

userresu, (Κυριάκο συγχαρητήρια κιόλας) δες τη λύση μου στην πρώτη σελίδα.

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!

stavro ακριβώς το ίδιο προσπαθούσα να εξηγήσω στον αδερφό μου. Είναι εύκολο να ελέγξεις ότι το φράγμα που βρήκες εσύ ξεπερνάει την τιμή που προσπαθούμε να αποδείξουμε ότι είναι μέγιστη (από την ανισότητα $3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2$ )

Όταν είναι ίσοι όλοι, γίνεται και αυτό το φράγμα ίσο με αυτή την τιμή αλλά και με την αρχική παράσταση. Αυτό όμως δε μας λέει αν αυτή η τιμή υπό άλλες συνθήκες είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από την παράσταση... Μπορεί για κάποιο συνδυασμό των α,β,γ η τιμή αυτή να είναι μικρότερη, δεν το έχεις αποκλείσει.

Αν πάλι δεν πείθεσαι αντικατέστησε την τιμή αυτή συναρτήσει του a+b+c

χρησιμοποιώντας τη συνθήκη. Πες S την αρχική παράσταση, Τ αυτό που βρήκες μετά την αντικατάσταση, και R το άνω φράγμα που βρήκες εσύ. Ξέχνα τα α,β,γ. Σου ζητάει να αποδείξεις ότι S<=T. Εσύ δείχνεις S<=R και μετά λες ότι όταν Τ=R τότε S<=R. Αυτό ισχύει προφανώς όμως αφού όταν Τ=R τότε και S=T... Άρα δεν μας λες κάτι που δεν ξέραμε. Το θέμα είναι να δούμε τι συμβαίνει όταν Τ<R δηλαδή 'σχεδόν πάντα'...

Παράδειγμα: πάρε χ>=0. Πες πως θες να δείξεις ότι 3χ<=2χ (που δεν ισχύει προφανώς). Εσύ λες ότι 3χ<=10χ και όταν χ=0 τότε 10χ=3χ=2χ... Άρα 3χ<=2χ... Βλέπεις το αντιπαράδειγμα?

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 28, 2011 12:31 am**

Κώστας Παππέλης έγραψε:userresu, (Κυριάκο συγχαρητήρια κιόλας) δες τη λύση μου στην πρώτη σελίδα.

Ωχ ναι συγγνώμη, τώρα το είδα!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 28, 2011 9:44 am**

Πριν προχωρήσω να το κανω ο ίδιος , θέλω να ρωτήσω :
Έχει βάλει μέχρι τώρα κανείς σας άσκηση στο διεθνές forum ;
Να ξέρετε ότι υπάρχουν πάρα πολλοί σε όλες τις χώρες που ενδιαφέρονται και για την Ελληνική Ολυμπιάδα. Αν μάλιστα κάποιος έχει μεταφράσει τα θέματα στην αγγλική, ας μου τα στείλει με ένα προσωπικό μήνυμα.

Σας ευχαριστώ - Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 28, 2011 3:03 pm**

Αντικαθιστώ το προηγούμενο μήνυμα με μια φωτογραφία από τη βράβευση...-η ποιότητα δεν είναι πολύ καλή με συγχωρείτε.

Χάρηκα πολύ που γνώρισα από κοντά άτομα που μιλούσαμε από καιρό μέσω διαδικτύου.
Δυστυχώς δεν καταφέραμε να βρεθούμε όλοι μαζί -το τιμ του φόρουμ- να βγάλουμε μια φωτογραφία.
Να μαστε καλά και θα συναντηθούμε κι άλλες φορές.

Από αριστερά προς τα δεξιά (όπως βλέπετε στην οθόνη):

Κυριάκος Αξιώτης (userresu)
Τσουβαλάς Κώστας (kwstas12345)
Nασιούλας Αντώνης
Στέλιος Κωνσταντινίδης(Dreamkiller)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 28, 2011 4:48 pm**

stavros11 έγραψε:Αρχικά να συγχαρώ κι εγώ όλα τα παιδιά που έδωσαν στον Αρχιμήδη και κυρίως αυτά που διακρίθηκαν. Συγχαρητήρια και στα παιδιά του forum που ήταν στα μετάλλια, αλλά και στον Σκιαδόπουλο Αθηναγόρα που είναι στο σχολείο μου και κατέκτησε χρυσό στους μικρούς.

Έχω μία απορία σχετικά με το Πρόβλημα 3 των μεγάλων. Μπορείτε να μου πείτε αν χάνει κάπου η παρακάτω λύση:

Από τη γνωστή $\displaystyle{x^2+y^2\geq 2xy}$ έχουμε:

$\displaystyle{b^2+c^2\geq 2bc\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq a^2+2bc\Leftrightarrow \sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{a^2+2bc}}$ με την ισότητα να ισχύει για $\displaystyle{b=c}$

Ομοίως:
$\displaystyle{\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{b^2+2ca}}$

$\displaystyle{\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{c^2+2ab}}$

Από πρόσθεση κατά μέλη των 3 έχουμε:
$\displaystyle{S \leq 3\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}}$ με την ισότητα να ισχύει για $\displaystyle{a=b=c}$

Άρα το μέγιστο του $\displaystyle{S}$ λαμβάνεται όταν η παράσταση πάρει τη μορφή $\displaystyle{3\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}}$ , κάτι που γίνεται όταν $\displaystyle{a=b=c}$ . Όμως όταν ισχύει αυτό, από τη σχέση $\displaystyle{a+b+c=6}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{a=b=c=2}$ .

Άρα αντικαθιστώντας, το μέγιστο του $\displaystyle{S}$ είναι $\displaystyle{3\sqrt[3]{12}}$ .

ωραία!την ίδιο τρόπο λύσης βρήκα κ εγώ,αλλά καθώς την ελυνα πρέπει να εκανα κάπου λάθος...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 28, 2011 5:03 pm**

qwerty παραπάνω εξήγησα γιατί αυτός ο τρόπος είναι λάθος.

Τώρα όσον αφορά το άλλο θέμα ντάξει όπως είπε κι ο Αινστάιν 2 πράγματα είναι άπειρα... Το σύμπαν και κάτι άλλο (να μην το πω)... Και για το σύμπαν δεν είμαι και σίγουρος... Τα είδα όλα τώρα...

mathematica.gr

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2011