mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 5:51 pm**

air έγραψε: Όσον αφορά το σχόλιο του Μάνου για "mathxl productions", μάλλον αυτή που μας δόθηκε σήμερα ήταν από το stock...

!!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 5:59 pm**

Όσον αφορά τα θέματα πιστεύω ότι μέχρι 16 έγραφε ο μάθητης εύκολα....... Γενικά θα τα χαρακτήριζα πολλά και δύσκολα όσον αφορά το άριστα.

Μια λύση για το Δ4 είναι και η εξής:
Αλλαγή μεταβλητής για το πρώτο αλοκλήρωμα. Θέτουμε u=t+1 οπότε προκύπτει μια ανισωτική σχέση όπου τα ολοκληρώματα έχουν τα ίδια άκρα (από χ+1 έως χ+2) και λόγω της μονοτονίας της f (που αποδεικνύεται μέσω του ορισμού) προκύπτει το ζητούμενο αφού u-1<u.

Μια λύση για το Γ4 είναι και η εξής:

$\int_{-1}^{1}{xf(x)dx}=\int_{-1}^{1}{2x^{2}}+\int_{-1}^{1}{xln(x^{2}+1)dx}=\int_{-1}^{1}{2x^{2}}+\int_{-1}^{1}{(x^{2}+1)'ln(x^{2}+1)dx}=\int_{-1}^{1}{(x^{2}+1)'ln(x^{2}+1)dx}=\left[\frac{ln^{2}({x^{2}+1)}}{2}\right]^{1}_{-1}=4/3+\frac{ln^{2}(1^{2}+1)}{2}-\frac{ln^{2}((-1)^{2}+1)}{2}=4/3+\frac{ln^{2}(2)}{2}-\frac{ln^{2}(2)}{2}=4/3$ .

Καλή τύχη και καλή συνέχεια σε όλους τους εξεταζόμενους

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 6:15 pm**

ΠΙΣΤΕΥΩ ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΑ ΓΡΑΨΑΝ ΠΑΝΩ ΑΠΟ 15 ΜΕ ΑΥΤΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ ΚΑΙ ΚΑΛΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 6:33 pm**

Καλησπέρα..

"Οι προφητείες κρίνονται εκ του αποτελέσματος".

Θα ρισκάρω λοιπόν την άποψη ότι τα θέματα ήταν δυσκολότερα από τα περσινά.

Δεν θα λογομαχήσω σ' αυτό με κανέναν.

Θα πρότεινα όμως να περιμένουμε τα αποτελέσματα, που θα δικαιώσουν ή όχι, τις
προβλέψεις μας.

Πάνω από όλα, Καλή συνέχεια στα παιδιά...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 6:47 pm**

Math Rider έγραψε:....................................................

Ο κύριος Μ. Στεργίου είχε γράψει κάπου ότι «Αν όλοι οι μαθηματικοί στην Ελλάδα
πούμε από ένα θέμα, σίγουρα τα θέματα των εξετάσεων θα μοιάζουν με κάποιο από αυτά».
..............................

που το θυμήθηκες αυτό !

Τώρα που αξιολογώ ξανά αυτή τη σκέψη, μου φαίνεται ότι έτσι είναι.
Σε ευχαριστώ πολύ και κάθε επιτυχία !

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 7:04 pm**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Math Rider έγραψε:....................................................

Τώρα που αξιολογώ ξανά αυτή τη σκέψη, μου φαίνεται ότι έτσι είναι.
Σε ευχαριστώ πολύ και κάθε επιτυχία !

Μπάμπης

Μπάμπη δεν μας είπες πως τα είδες τα φετινα θέματα....και συγκεκριμένα θεωρείς ήταν ευκολότερο να γράψει κάποιος πάνω από 19 σε σχέση με πέρυσι?

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 7:18 pm**

Μου είχε μείνει λίγος χρόνος για το Δ4 και δεν πρόλαβα να κάνω δοκιμές...
Εκανα 2 Θ.Μ.Τ στην f(x) στο [χ,χ+1] και στο [χ+1,χ+2]
Θα πάρω λέτε τίποτα από τα 7 μόρια????

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 7:28 pm**

Τα σημερινά θέματα ήταν πολλά και πιο δύσκολα από τα περσινά.
Θέμα Α
• Το Α3 θα κόψει μονάδες ειδικά αν γίνει αναφορά f ΄΄(χ)>0 .
Αλλά σημειώνω :
Παρ. 2.8 Κυρτότητα - Σημεία καμπής συνάρτησης. (Θα μελετηθούν μόνο οι συναρτήσεις που είναι δύο, τουλάχιστον, φορές παραγωγίσιμες στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού )
• Το Α4 το β η λέξη ≪δεν≫ θα κόψει μονάδες.
Σύνολο πιθανών χαμένων μονάδων 6
Θέμα Β
• Β1 ευκολο
• Β2 ,,πολλά παιδιά θα πήραν μέτρα άρα……
• Β3 εύκολο
• Β4 κλασικο.
Σύνολο πιθανών χαμένων μονάδων 6
Θέμα Γ
• Γ1 πολλοί δεν θα το δικαιολόγησαν όπως πρέπει.
• Γ2 το δύσκολο ερώτημα .
• Γ3 πολλές πράξεις λίγες μονάδες.
• Γ4 πολλές πράξεις λίγες μονάδες.
Σύνολο πιθανών χαμένων μονάδων 14
Θέμα Δ
• Δ1 πολλοί δεν θα το δικαιολόγησαν όπως πρέπει.
• Δ2 το δώρο.
• Δ3 το τίμημα του δώρου πάλι δεν θα το δικαιολόγησαν όπως πρέπει.
• Δ4 το άλλο δύσκολο.

Σύνολο πιθανών χαμένων μονάδων 13

Θα έχουμε αρκετούς βαθμούς κοντά στο 10 αλλά μέχρι εκεί…

Από την άλλη οι υψηλοί βαθμοί δεν θα ξεπεράσουν το 17 (λογω Γ2 ,Δ3 ,Δ4)

Πολύ λίγα άριστα …

Συμπέρασμα όλοι συσσωρεύονται γύρω από το 15

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 7:46 pm**

Οσον αφορα την εύρεση συνάρτησης στο Δ3 αν κάποιος μαθητής θεώρησε τριώνυμο και εβγαζε τις δύο λύσεις χωρίς στην συνέχεια να δικαιολογήσει ποια κρατάει τι απώλειες μορίων θα έχει??

Οσον αφορά τα σημεία καμπής αν βρηκε τις ρίζες της 2ης παραγώγου χωρίς να κάνει πίνακα μεταβολών τι απωλειες μορίων θα έχει??(αν είναι δυνατόν να βγάζει το Γ2 και να κάνει τέτοια τραγική παράλειψη.)

Είναι άδικο να λείπουν τα βασικά θεωρήμα του διαφορικού λογισμού(ούτε καν στη θεωρία) και τα όρια.
Θα συμφωνήσω με τον συνάδελφο ότι πρεπει να φύγει από την ύλη η συνάρτηση ολοκλήρωμα και ο ολοκληρωτικός λογισμός να περιοριστεί απλά σε υπολογιστικά και ευρεση εμβαδου.Είναι πολύ πιο χρήσιμα αυτά για υποψηφιους φοιτητές σε όλα τα ΤΕΙ με μαθηματικά στο πρόγραμμα σπουδών και σε όλες τις πολυτεχνικές σχολές.Αυτήν ας την αφήσουν για τους μαθηματικούς.Συμφωνείτε??

Ευχαριστώ...

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 7:53 pm**

Καλησπέρα σε όλη την υπέροχη παρέα !

Άργησα να επιστρέψω σπίτι . Το πρωί ήμουνα στο βαθμολογικό με τους φυσικώς αδυνάτους.Εκεί λύσαμε τα θέματα με τους συναδέλφους, πριν έρθουν οι λύσεις από την επιτροπή. Οι λύσεις μας ήταν όπως αυτές που ήδη γράψατε.
Πριν λίγο μπήκα και διάβασα όλα τα μηνύματα, μηδενός εξαιρουμένου. Χαίρομαι που στο mathematica γίνεται τόση ωραία και χρήσιμη επικοινωνία. Θυμάμαι τη δεκαετία του 80 και του 90 , όταν λύναμε τα θέματα των δεσμών, δεν είχαμε ένα άνθρωπο να ανταλλάξουμε μια κουβέντα. Τώρα τα μαθηματικά και η διδασκαλία είναι όνειρο !

Λοιπόν, τα σημερινά θέματα είναι φτιαγμένα από ανθρώπους που ξέρουν το αντικείμενο καλά.Γνώριζα από πριν μερικά από τα μέλη της επιτροπής και περίμενα ότι τα καλά ερωτήματα θα είναι όπως αυτά. Είναι οι καλές ιδέες , άλλες γνωστές από παλιά , μερικές πιο καινούριες, όλες όμως γνωστές στους έμπειρους συναδέλφους .Δεν χρειάζεται ωστόσο σε αυτήν τη φάση και σε αυτό το χώρο να κάνουμε μεγαλύτερες αναλύσεις , μια και οι εξετάσεις συνεχίζονται. Τα σημερινά θέματα θα αξιολογήσουν δίκαια τους μαθητές,έστω και με λίγο πιο σκληρό τρόπο από ότι ίσως χρειάζονταν, αλλά το γενικό κλίμα είναι καλό.Αν μπούμε τώρα σε ερωτήματα όπως ποιος μαθητής θα τα έγραφε αν δεν έκανε φροντιτήριο ή διάβαζε μόνο το σχολικό βιβλίο ή τι έγραψε σήμερα ένας μέσος μαθητής που έχει προφορικό βαθμό 15-16 και κάτω , τότε πάει αλλού η κουβέντα και δεν έχει νόημα, αφού όλοι ξέρουμε που ζούμε και πώς έχουν τα πράγματα.Αυτά θα τα λέμε όλη τη χρονιά Αν μάλιστα βρει χρόνο ο Ανδρέας Π. από τη Θεσσαλονίκη, ας ετοιμάσει για το Συνέδριο της ΕΜΕ που φιλοξενούμε το Νοέμβρη στη Χαλκίδα μια διάλεξη με συγκριτικά στοιχεία για να ενημεροθούμε πιο σωστά.

Το αν οι μαθητές έγραψαν καλύτερα σήμερα από πέρυσι, είναι άλλο ζήτημα που θα φανεί μόλις αρχίσει η διόρθωση, αν και αυτό είναι πάλι δύσκολο μια και τα γραπτά που έχουμε φέτος δεν είναι από αναβαθμισμένη περιοχή όπως πέρυσι.
Η εκτίμησή μου είναι μάλλον προς τα κάτω θα κινηθούν οι βάσεις και κυρίως αυτές των μέσων σε ζήτηση σχολών.
Δεν βλέπω όμως να έχουν κάποια αξία οι προβλέψεις, μια και πάλι οι καλύτεροι από τους υποψήφιους θ α επιλεγούν.

Θα σταματήσω εδώ , διότι έχω δυο μέρες μια καταροή και κλαίνε τα μάτια μου . Χαίρομαι που τα μάτια των μαθητών του mathematica μπορούν να κλαίνε αλλά από χαρά γιατί έγραψαν πολύ καλά !

- Καλή συνέχεια και Καλά αποτελέσματα στους μαθητές μας !

- Καλή δύναμη στους άξιους και αξιόλογους συναδέλφους, τους αφανείς ήρωες των εξετάσεων , που θα επωμισθούν αγόγγιστα την τεράστια ευθύνη της διόρθωσης των γραπτών.

- Καλή ξεκούραση από το ξενύχτι στα μέλη της ΚΕΓΕ που μόχθισαν για την επιλογή ή τη δημιουργία των θεμάτων .

- Νάστε όλοι καλά και του χρόνου με υγεία να συζητάμε τα θέματα του 2011 !!!

Μπάμπης Στεργίου

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 7:56 pm**

Tkostas έγραψε:Οσον αφορα την εύρεση συνάρτησης στο Δ3 αν κάποιος μαθητής θεώρησε τριώνυμο και εβγαζε τις δύο λύσεις χωρίς στην συνέχεια να δικαιολογήσει ποια κρατάει τι απώλειες μορίων θα έχει??

Οσον αφορά τα σημεία καμπής αν βρηκε τις ρίζες της 2ης παραγώγου χωρίς να κάνει πίνακα μεταβολών τι απωλειες μορίων θα έχει??(αν είναι δυνατόν να βγάζει το Γ2 και να κάνει τέτοια τραγική παράλειψη.)

Ευχαριστώ...

Στο πρώτο δεν παίρνει κανονικά καμία μονάδα
στο δεύτερο κάτι παίρνει για την παραγωγιση αλλά ας απαντήσουν οι βαθμολογητές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 7:59 pm**

Μια απλή απόδειξη στο Δ4:
Θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle{G(x) = \int_x^{x + 1} {f(t)dt} }$ και έχουμε:\
$\displaystyle{G'(x) = f(x + 1) - f(x) > 0}$ ,
αφού η f είναι γνησίως αύξουσα (...).
Επομένως η G είναι γνησίως αύξουσα , οπότε, επειδή: $\displaystyle{x < x + 1}$ ,
έχουμε: $\displaystyle{ G(x) < G(x + 1){\rm{ }},{\rm{ \rho \alpha : }}\int_{\rm{x}}^{{\rm{x + 1}}} {{\rm{f(t)dt}} < } \int_{{\rm{x + 1}}}^{{\rm{x + 2}}} {{\rm{f(t)dt}}} }$
$\displaystyle{ G(x) < G(x + 1){\rm{ }},{\rm{ \rho \alpha : }}\int_{\rm{x}}^{{\rm{x + 1}}} {{\rm{f(t)dt}} < } \int_{{\rm{x + 1}}}^{{\rm{x + 2}}} {{\rm{f(t)dt}}} }$

Eπίσης, η πιό απλή απόδειξη του Β4: $\displaystyle{ \begin{array}{l} 2 = \left| {w - 4 + 3i} \right| \ge \left| {\left| w \right| - \left| {4 - 3i} \right|} \right|{\rm{ }}{\rm{, o\pi \tau \varepsilon :}} \\ \left| {\left| w \right| - \left| {4 - 3i} \right|} \right| \le 2.{\rm{ }}\mu \omega \varsigma : \\ \left| {\left| w \right| - \left| {4 - 3i} \right|} \right| \le 2{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left| {\left| w \right| - 5} \right| \le 2{\rm{ }} \Leftrightarrow \\ {\rm{ }} - {\rm{2}} \le {\rm{ }}\left| w \right| - 5 \le 2{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ 3}} \le {\rm{ }}\left| w \right| \le 7{\rm{ }} \\ {\rm{ }} \\ \end{array} }$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 8:37 pm**

Παιδιά εγώ έκανα την εξής λύση στο Δ4, να μου πει κανείς αν είναι σωστή!

Απέδειξα ότι η f(x) είναι παντού γνησίως αύξουσα. Επίσης επειδή δεν έχει καμία ρίζα σημαίνει ότι διατηρεί σταθερό πρόσημο και επειδή είχαμε ότι f(0) = 3 άρα θα είναι f(x) > 0 για κάθε x

Έτσι έκανα μια γραφική παράσταση , σχεδίασα μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση, έφερa 3 γραμμές παράλληλες στον y'y , και σχεδίασα τα εμβαδά που βρίσκονται από χ έως χ+1 , και από χ+1 έως χ+2

Έπειτα είπα ότι αφού f γνησίως αύξουσα θα είναι x < x + 1 => f(x) < f(x+1) ΚΑΙ x+1<x+2 => f(x+1) < f(x+2)

Αφού f(x+1) κοινό και στα 2 εμβαδά ΚΑΙ f(x) < f(x+2) είπα ότι το εμβαδό από x+1 έως x+2 είναι μεγαλύτερο από το άλλο...

Φαίνεται και γραφικά χωρίς εξήγηση όλων αυτών...
Εδώ έχουμε ακριβώς την συνάρτηση f(x) = x + sqrt(x^2+9)

Εικόνα

(Το 20 σαν νούμερο εκεί είναι άσχετο)
Έκανα και αυτή τη γραφική παράσταση και εξήγησα όλα τα παραπάνω

Η λύση μου είναι σωστή? Παίρνει τίποτα?

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 9:00 pm**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Εκεί λύσαμε τα θέματα με τους συναδέλφους, πριν έρθουν οι λύσεις από την επιτροπή.

Θα ήμουν ευγνώμων αν μπορούσατε (εσείς ή κάποιος άλλος) να μοιραστείτε τις ενδεικτικές λύσεις της ΚΕΕ.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 9:04 pm**

Δίνω τον σχολιασμό μου για τα θέματα. Θέλω να τονίσω ότι δεν διδάσκω, οπότε με διακατέχει η αντικειμενικότητα ή η μεροληψία του εξωτερικού παρατηρητή.

Θέμα Α
Α1 : Απόδειξη θεωρήματος. Ένα από τα αναμενόμενα. Καμιά έκπληξη. (Ευτυχώς)
Α2, Α3, : Απλοί ορισμοί για την κατακόρυφη ασύμπτωτη και την κοιλότητα.
Α4 : Στοιχειώδη ερωτήματα Σ-Λ (Προσοχή στο β. το δεν, εγώ δεν το είδα και το έκανα λάθος!)

Θέμα Β
Όλα τα υπορωτήματα βγαίνουν αμέσως σε μια με δυο γραμμές. Ακόμα και το Β4 είτε αλγεβρικά, είτε γεωμετρικά δεν πρέπει να προβλημάτισε ακόμα και μέτριους μαθητές που σίγουρα κατά την προετοιμασία τους για τις εξετάσεις θα έχουν συναντήσει δυσκολότερές ασκήσεις με ανισότητες μέτρων στους μιγαδικούς. Θα μπορούσε εναλλακτικά, για να γίνει δυσκολότερο το Β4 (λέμε τώρα) να ζητηθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του . (Κλασσικό πλέον ερώτημα και αυτό).
Πραγματικά δεν πρέπει να απαιτούσε πάνω από 10-15 λεπτά το συγκεκριμένο θέμα.

Θέμα Γ
Γ1. Piece Of Cake που λένε και οι Άγγλοι. Απλή παραγώγιση, απλός έλεγχος προσήμου στο τριώνυμο του αριθμητή και να η f γνησίως αύξουσα.
Γ2. Ένα θεματάκι που μάλλον τίθεται στις εξετάσεις πολύ ετεροχρονισμένα. Υπάρχει χρόνια στην σχετική βιβλιογραφία μερικές φορές σε σαδιστικά μπλεγμένη μορφή. Το μονό που απαιτεί είναι παρατηρητικότητα. Από το δεξιό μέλος αμέσως κάποιος που έχει ξανασυναντήσει παρεμφερή τύπου άσκηση αντιλαμβάνεται ότι πρέπει να δείξει ότι η δοσμένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{ f(x^2 ) = f(3x - 2) }$ ή την $\displaystyle{ f(x^2 ) = f(2 - 3x) }$ Από εκεί και πέρα λόγω της μονοτονίας σε δυο γραμμές καταλήγεις στο ζητούμενο, αξιοποιώντας το 1-1.
Και εδώ θα μπορούσε (λέμε τώρα) να δυσκολέψει η κατάσταση αν καταλήγαμε σε εξίσωση που να απαιτούσε π.χ. χρήση μονοτονίας - συνόλου τιμών για να επιλυθεί.
Γ3. Το ερώτημα αυτό, απαιτούσε ουσιαστικά, την παραγώγιση μιας ρητής συνάρτησης.
Οι πράξεις διευκολύνονται αν αντί της $\displaystyle{ f'(x) = \frac{{2(x^2 + x + 1)}}{{x^2 + 1}} }$ παραγωγίσουμε την $\displaystyle{ f'(x) = 2 + \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} }$ Όπως και να έχει (με μια επαληθεύση για την αποφυγή λάθους) θα καταλήξουμε στην $\displaystyle{ f''(x) = \frac{{2(1 - x^2 )}}{{(x^2 + 1)^2 }} }$ , πινακάκι και το σχετικό μπλα μπλα.
Στην συνεχεία οι εξισώσεις των εφαπτομένων και το σημείο τομής τους προκύπτουν νομίζω απλά.
Γ4. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος δεν ήταν ιδιαίτερα δύσκολος αν μετά το σπάσιμο έβλεπε κάποιος ότι η συνάρτηση $\displaystyle{ x\ln (x^2 + 1) }$ είναι περιττή. Ακόμα και αν δεν συνεβαινε αυτό όμως, θα μπορούσε να δουλέψει με παραγοντική ολοκλήρωση [κλασική μεθοδολογία για τα ολοκληρώματα του τύπου $\displaystyle{ \int {f(x)\ln \left( {g(x)} \right)dx} }$ ] ή με τους άλλους τρόπους που προτάθηκαν παραπανω. Βέβαια η κούραση και το άγχος θα μπορούσαν να θολώσουν έναν καλό μαθητή με αποτέλεσμα είτε να κολλήσει είτε να το υπολογίσει λάθος. (Πράγμα που συμβαίνει συχνά σε όλους μας)
Γενικά με εξαιρεση το πρώτο ερωτημα ενα θέμα που απαιτούσε προσοχή στις πράξεις και ολίγον αγχωτικό.

Θέμα Δ
Δ1. Η αιτιολόγηση ότι f είναι παραγωγίσιμη είναι απλούστατη. Σε όλη την χρονιά προταθήκαν ασκήσεις παρόμοιου τύπου στο

με πιο αυξημένες απαιτήσεις. Χαρακτηριστικά δυο πρόσφατες
viewtopic.php?f=54&t=6839
viewtopic.php?f=56&t=7075
Αλλά ακόμα και αν το παραβλέψουμε αυτό, χαρακτηρίζοντας δύσκολες ή ακραίες τις παραπάνω περιπτώσεις, το ερώτημα ήταν με διαφορά (by far και ακόμα παρά πέρα!) πιο εύκολο από το περσυνό πρώτο ερώτημα του 4ου θέματος όπου η απόδειξη της συνεχείας της G στο [0, 2] απαιτούσε ένα σωρό δουλειά. Επιπλέον έδιναν και την $\displaystyle{ f'(x) }$ Και εδώ θα μπορούσε (λέμε τώρα) να δοθεί το ερώτημα ως εξής:
Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ \Re }$ και να βρεθεί η $\displaystyle{ f' }$
Δ2. Όχι μόνο το πιο εύκολο υποερώτημα του συγκεκριμένου θέματος αλλά κερνούσε και 7 μονάδες! Ακόμα και αν κάποιος δεν απαντούσε καθόλου το Δ1, απλά, έπαιρνε σερβιρισμένη την $\displaystyle{ f' }$ και αποδείκνυε το προφανές, ότι δηλαδή $\displaystyle{ g'(x) = 0 }$ .
Δ3. Το επόμενο πράγμα που κάνουμε όταν αποδεικνύουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή είναι να βρούμε την τιμή της. Ποια τιμή της f μπορούμε να υπολογίσουμε;
Τα υπόλοιπα κυλούσαν ομαλά με μόνη δυσκολία την δικαιολόγηση του προσήμου της $\displaystyle{ f(x) - x }$ . Φυσικά κάποιος πονηρός θα μπορούσε να δουλέψει ως εξής $\displaystyle{ f(x) = x + \sqrt {x^2 + 9} }$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{ f(x) - x = \sqrt {x^2 + 9} }$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \left( {f(x) - x} \right)^2 = x^2 + 9 }$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{ f^2 (x) - 2xf(x) + x^2 = x^2 + 9 }$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{ f^2 (x) - 2xf(x) = 9 }$ $\displaystyle{ \Rightarrow }$ $\displaystyle{ g(x) = 9 }$ Άρα η τιμή της g είναι 9, για πιο x; Και να αρχίσει από την αρχή …
Ω, με συγχωρείτε, ξέχασα: Και εδώ θα μπορούσε (λέμε τώρα) να δοθεί το ερώτημα ως εξής: Να βρείτε την συνάρτηση f.
(Ίσως βγαίνει και από τη Διαφορικούλα, αφήνω τον mathl ως σπεσιαλίστα του είδους να μας δώσει τα φώτα του.)
[Παρεμπιπτόντως εκτός από την παρατήρηση του air ότι το θέμα «είναι σχεδόν ίδιο με το θέμα 18 από τα φετινά προτεινόμενα της Ε.Μ.Ε.», σπάω το μυαλό μου από το πρωί να θυμηθώ που πρόσφατα συνάντησα παρόμοια άσκηση, ίσως και να είναι ιδέα μου. Πάντως το πλησιέστερο που βρήκα είναι μια γενικότερη αντιμετώπιση (σχετική, όχι ακριβώς ίδια) εδώ viewtopic.php?f=52&t=3314]
Προσέξτε την προτροπή του κυρίου Θώμα και την κατατοπιστικότατη εργασία του κυρίου Αντώνη.
Όπως και να έχει είμαι πάντα καλόπιστος.Η σπουδαιότητα του θέματος δεν μειώνεται αν προσομοιάζει με κάποιο αλλό.
Δ4. Το ερώτημα που σίγουρα δυσκόλεψε περισσότερο από όλα. Αν κάποιον δεν τον κατέτρωγε το άγχος θα μπορούσε τόσο από την μορφή της προς απόδειξη σχέσης είτε ανακαλώντας παρόμοιες ασκήσεις viewtopic.php?f=55&t=1427 ή θέματα εξετάσεων (π.χ. Θέμα 3δ 2008) να καταλήξει ότι πρέπει να εφαρμόσει δυο φορές το Θ.Μ.Τ στα διαστήματα [x, x +1] και [x + 1, x + 2] για κατάλληλη συνάρτηση. Το δύσκολο είναι η εύρεση της. (Δείτε την λύση του κυρίου Κ. Σερίφη).
Επιπλέον το θέμα μπορούσε να λυθεί και με μονοτονία (Λύση του Dimitris X). Σε κάθε περίπτωση αρκούσε η απόδειξη ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Μερικοί τρόποι εδώ (θεωρήστε όπου 1 το 9):
viewtopic.php?f=52&t=3607
(Θα ηθελα το Δ να έχει διαφορετική δομή ως προς την δυσκολία. Για να είμαι ειλικρινης θα προτιμούσα ενα διαφορετικό θέμα.)

Σαν γενικό προσωπικό συμπέρασμα θεωρώ ότι τα θέματα ήταν ευκολότερα τουλάχιστον από τα περσυνά για να μην πάω πιο πίσω. Αυτό όμως δεν σημαίνει και τίποτα. Ακριβώς επειδή ήταν μη αναμενόμενα, να υποτιμούμε την δυσκολία τους. Τα αποτελέσματα τελικά θα δείξουν. Οι όποιες προβλέψεις είναι απολύτως επισφαλεις.
Να ευχηθώ με τη σειρά μου καλή συνέχεια στα παιδιά για τα επόμενα μαθήματα και καλά αποτελέσματα.

Υ.Γ. Λόγω κούρασης και απο την πληκρολόγηση σας αποχαιρεώω για σήμερα. Να είστε όλοι καλά!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 9:50 pm**

lowbaper92 έγραψε:
cretanman έγραψε: Δ3) Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε για κάθε $x\in\mathbb{R}$ δηλαδή για κάθε $x\in\mathbb{R}$ . Θέτοντας και χρησιμοποιώντας ότι παίρνουμε άρα τελικά για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Θεωρώντας την τελευταία ως β-βάθμια συνάρτηση του , βρίσκουμε

$\Delta=4(x^2+9)$ άρα για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει

$f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$ ή $f(x)=x-\sqrt{x^2+9}$

Όμως αν για κάποιο ισχύει $f(x_0)=x_0-\sqrt{x_0^2+9}$ τότε επειδή $x_0-\sqrt{x_0^2+9}<x_0$ καταλήγουμε σε άτοπο διότι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει .

Άρα τελικά για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $f(x)=x+\sqrt{x^2+9}$ .

Είναι σωστή η εύρεση της συνάρτησης θεωρώντας την ως δευτεροβάθμια..Έχω διαβάσει ότι γενικά δεν γινεται..υπάρχει κάποια εξαίρεση εδώ?

ΕΠΕΙΔΗ ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΕΡΝΑΝΕ ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΑ ΜΗΝΥΜΑΤΑ

Στο θέμα Δ3, όταν φθάνουμε στη σχέση: $\displaystyle{{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$ είναι λάθος τη σχέση αυτή να την θεωρούμε σαν εξίσωση 2ου βαθμού με άγνωστο το f(x) και να εφαρμόζουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης για να βρούμε το f(x), ανεξάρτητα αν με τον λανθασμένο αυτό τρόπο φθάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα ( ο σκοπός δεν αγιάζει τα μέσα). Οι λόγοι είναι οι εξής:
1) Ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει αποδειχθεί και ισχύει μόνο όταν οι συντελεστές α, β και γ (α όχι 0) είναι δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί, ανεξάρτητοι του x . Για παράδειγμα, για να λύσουμε την εξίσωση: $\displaystyle{7{x^5} - 3{x^3} + 5x - 2 = 0}$ , μπορούμε να την γράψουμε: $\displaystyle{(7{x^3}){x^2} - (3{x^2})x + (5x - 2) = 0}$ και να εφαρμόσουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με: $\displaystyle{\alpha = 7{x^3},\beta = - (3{x^2})}$ και $\displaystyle{\gamma = 5x - 2}$ ;;;
2) Οι εξισώσεις δεν είναι προτάσεις και η σχέση: $\displaystyle{{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$ είναι μια (ποσοδεικτική) πρόταση, γιατί αφού θέλουμε να ισχύει για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ , εννοούμε ( είτε το καταλαβαίνουμε είτε όχι) ότι:
$\displaystyle{\forall x \in R,{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$ .
( Οι εξισώσεις δεν έχουν ποσοδείκτες). Έχω γράψει πολλές φορές ότι: Αν στις σχέσεις υπάρχουν ποσοδείκτες και δεν τους γράφουμε και ούτε τους υπονοούμε, τότε μόνο κατά σύμπτωση ( όπως εδώ) δεν θα φθάσουμε σε λανθασμένο συμπέρασμα.
• Για να γίνω περισσότερο κατανοητός, το αντίστοιχο σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση: $\displaystyle{\alpha {x^2} + \beta x + + \gamma = 0}$ με $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ και
$\displaystyle{\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma \ge 0}$ ( στο σύνολο των πραγματικών αριθμών), θα ήταν:
$\displaystyle{\left( {\forall x \in R,\alpha {x^2} + \beta x + + \gamma = 0 = 0} \right) \Leftrightarrow \left[ {\forall x \in R,\left( {x = \frac{{ - \beta + \sqrt \Delta }}{{2a}}{\rm{ }}\dot \eta {\rm{ }}x = \frac{{ - \beta - \sqrt \Delta }}{{2a}}} \right)} \right]}$ ,
που είναι άτοπο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 9:55 pm**

koutourou έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Εκεί λύσαμε τα θέματα με τους συναδέλφους, πριν έρθουν οι λύσεις από την επιτροπή.
Θα ήμουν ευγνώμων αν μπορούσατε (εσείς ή κάποιος άλλος) να μοιραστείτε τις ενδεικτικές λύσεις της ΚΕΕ.

Δυστυχώς δεν τις έχω σε ηλεκτρονική μορφή . Έρχοναι με FAX. Γράψε μου όμως ένα προσωπικό μήνυμα, αν θέλεις ίσως να με ρωτήσεις κάτι πιο συγκεκριμένο και ευχαρίστως θα σου πω.

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 9:57 pm**

Καλό βράδυ και καλά αποτελέσματα στους μαθητές!
Γράφω εξαιτίας του Math Rider για την διαφορικούλα

Πράγματι θα μπορούσε να ζητηθεί η f ακριβώς μετά το Δ1 αλλά το θέμα θα γινόταν αρκετά πιο δύσκολο (έτσι νομίζω).
Δίνω μία τέτοια αντιμετώπιση (αν και δεν αφορά τις εξετάσεις των μαθητών)
$\displaystyle{f'\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - x}} \Leftrightarrow f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - x} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\left( {f'\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - x} \right) = f\left( x \right) - \left( {f\left( x \right) - x} \right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{2\left( {f'\left( x \right) - 1} \right)\left( {f\left( x \right) - x} \right) = 2x \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{{\left[ {{{\left( {f\left( x \right) - x} \right)}^2}} \right]^\prime } = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right) - x} \right)^2} = {x^2} + c}$
Για τον προσδιορισμό του c έχουμε $\displaystyle{x = 0:9 = c}$
$\displaystyle{{\left( {f\left( x \right) - x} \right)^2} = {x^2} + 9,\forall x \in R}$
Από εδώ και μετά ορίζουμε την f(x)-x ως νέα συνάρτηση δείχνουμε ότι διατηρεί πρόσημο κτλ όπως αναφέρθηκε

ΥΓ: Κάπου έχει ο xgastone θέμα παρόμοιο με το Δ4 σε πιο δύσκολη μορφή ) όπου και΄είχα δώσει υπόδειξη
Για το σπύρος012 : σίγουρα θα πάρεις, γιατί ο τρόπος οδηγεί σε λύση

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 10:04 pm**

αν καποιος μαθητης στο Δ3, βρηκε το c = 9, και με συμπληρωση τετραγωνου, βρηκε δυο τυπους της f(απορριπτοντας την μια επειδη f(0) = 3, που ειναι λαθος φυσικα), τι χανει και τι μπορει να κερδισει?
αν εχει καποιος καποια εμπειρια, ας μου πει...ευχαριστω

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 19, 2010 10:19 pm**

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
ΕΠΕΙΔΗ ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΠΕΡΝΑΝΕ ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΑ ΜΗΝΥΜΑΤΑ

Στο θέμα Δ3, όταν φθάνουμε στη σχέση: $\displaystyle{{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$ είναι λάθος τη σχέση αυτή να την θεωρούμε σαν εξίσωση 2ου βαθμού με άγνωστο το f(x) και να εφαρμόζουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης για να βρούμε το f(x), ανεξάρτητα αν με τον λανθασμένο αυτό τρόπο φθάνουμε στο ίδιο αποτέλεσμα ( ο σκοπός δεν αγιάζει τα μέσα). Οι λόγοι είναι οι εξής:
1) Ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει αποδειχθεί και ισχύει μόνο όταν οι συντελεστές α, β και γ (α όχι 0) είναι δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί, ανεξάρτητοι του x . Για παράδειγμα, για να λύσουμε την εξίσωση: $\displaystyle{7{x^5} - 3{x^3} + 5x - 2 = 0}$ , μπορούμε να την γράψουμε: $\displaystyle{(7{x^3}){x^2} - (3{x^2})x + (5x - 2) = 0}$ και να εφαρμόσουμε τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με: $\displaystyle{\alpha = 7{x^3},\beta = - (3{x^2})}$ και $\displaystyle{\gamma = 5x - 2}$ ;;;
2) Οι εξισώσεις δεν είναι προτάσεις και η σχέση: $\displaystyle{{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$ είναι μια (ποσοδεικτική) πρόταση, γιατί αφού θέλουμε να ισχύει για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ , εννοούμε ( είτε το καταλαβαίνουμε είτε όχι) ότι:
$\displaystyle{\forall x \in R,{f^2}(x) - 2xf(x) - 9 = 0}$ .
( Οι εξισώσεις δεν έχουν ποσοδείκτες). Έχω γράψει πολλές φορές ότι: Αν στις σχέσεις υπάρχουν ποσοδείκτες και δεν τους γράφουμε και ούτε τους υπονοούμε, τότε μόνο κατά σύμπτωση ( όπως εδώ) δεν θα φθάσουμε σε λανθασμένο συμπέρασμα.
• Για να γίνω περισσότερο κατανοητός, το αντίστοιχο σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση: $\displaystyle{\alpha {x^2} + \beta x + + \gamma = 0}$ με $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ και
$\displaystyle{\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma \ge 0}$ ( στο σύνολο των πραγματικών αριθμών), θα ήταν:
$\displaystyle{\left( {\forall x \in R,\alpha {x^2} + \beta x + + \gamma = 0 = 0} \right) \Leftrightarrow \left[ {\forall x \in R,\left( {x = \frac{{ - \beta + \sqrt \Delta }}{{2a}}{\rm{ }}\dot \eta {\rm{ }}x = \frac{{ - \beta - \sqrt \Delta }}{{2a}}} \right)} \right]}$ ,
που είναι άτοπο.

K. Αντώνη, δεν καταλαβαίνω το συλλογισμό σας. Ακόμα και στο παράδειγμα που δίνετε, αν κάποιος προσπαθήσει να "λύσει" κανονικά τη δευτεροβάθμια (βρίσκοντας δλδ τον χ συναρτήσει του εαυτού του) , θα καταλήξει (με κάποιες πράξεις, ομολογουμένως) απλώς στην ΙΔΙΑ (αρχική) εξίσωση. Δεν θα έχει κάνει λοιπόν τίποτα παραπάνω από μια τρύπα στο νερό. Αυτό όμως σημαίνει ότι έκανε κάποιο λάθος? Εκτός τη λογική (που φυσικά δεν αμφισβητώ) και την εφαρμογή των ποσοδεικτών, και δεδομένου ότι ο τρόπος της διακρίνουσας είναι στην ουσία μια προσθαφαίρεση τετραγώνων, πότε ΔΕΝ θα "βγαίνει" -συμπτωματικά- το σωστό αποτέλεσμα?

mathematica.gr

ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010 ΣΧΟΛΙΑ

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

ΠΑΝΕΛΛ. ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010