mathematica.gr

Αν ένα τρίγωνο έχει δύο διχοτόμους ίσες, να δείξετε ότι είναι ισοσκελές.

Edit: μετέτρεψα τα κεφαλαία σε πεζά, για να είναι το κείμενο σύμφωνα με τον κανονισμό του mathematica
Γενικός Συντονιστής

Πρόκειται για το θεώρημα Steiner- Lehmus. Έχει ξανασυζητηθεί εδώ.

Εφαρμόζουμε την απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι
(1)
Τότε θα είναι: (2)
και επειδή τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΓΔ έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη άνιση τότε θα είναι:
(3)
Φέρουμε την ΕΖ ίση και παράλληλη με την ΒΔ. Τότε το τρίγωνο ΓΕΖ ισοσκελές και συνεπώς:
(4)
όμως από το παραλληλόγραμμο ΒΔΖΕ είναι ΒΕ=ΖΔ και συνεπώς η (3) γίνεται:
(5)
Άρα
(6)
Από τις (2) και (6) με πρόσθεση προκύπτει:

που είναι άτοπο λόγω της (4). Άρα η υπόθεση μας ψευδής.
Με τον ίδιο τρόπο απορρίπτουμε και την

Άρα

Σημείωση: Έντεκα άλλους τρόπους μπορεί κανείς να διαβάσει στο βιβλίο: "Το ισοσκελές τρίγωνο και αι ιδιότητες αυτού" του Ι.Φ. Πανάκη. Εκδοτικός Οίκος Ι. Σιδέρη.

Ναί, δεν είχα υπόψη μου πως έχει γραφεί το θέμα και μάλιστα και το βιβλίο του Ι.Φ.Πανάκη παλαιότερα από τον κ. Α. Κυριακόπουλο.
Ας είναι...