mathematica.gr

Το παιχνιδι "βγαλε το λαγο απο το καπελο" παιζεται απο δυο παικτες και εχει ως εξης.
Σε ενα καπελο τοποθετουμε 5 μαυρες μπιλιες και μια λευκη. Ο καθε παικτης, με τη σειρα, πρεπει να βγαλει μια μπιλια (χωρις να κρυφοκοιταζει βεβαια!) απο το καπελο: Αν η μπιλια ειναι μαυρη, ξαναμπαινει στο καπελο με τις υπολοιπες μπιλιες και το παιχνιδι συνεχιζεται. Νικητης του παιχνιδιου ειναι ο παικτης που θα βγαλει τη λευκη μπιλια (το "λαγο") απο το καπελο.
Σε αυτο το παιχνιδι, ποια ειναι η πιθανοτητα να νικησει ο πρωτος παικτης;

Αν είναι το ενδεχόμενο να κερδίσει ο πρώτος παίχτης το παιγνίδι και το ενδεχόμενο να κερδίσει ο πρώτος παίχτης στην προσπάθεια, τότε ,

με

Τότε

Διαφορετικά:

Έστω η πιθανότητα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης. Τότε (διότι είτε θα βγάλει λαγό απ' το καπέλο με την πρώτη, είτε πλέον θα παίζουν το ίδιο παιγνίδι αλλά θα παίζει δεύτερος) και άρα .

(Υπάρχει ένα μικρό πρόβλημα στην πιο πάνω λύση το οποίο όμως διορθώνεται.)

H πιθανότητα να επιλεγεί η άσπρη μπάλα είναι προφανώς η ίδια, ανεξάρτητα από το ποιός παίκτης την επιλέγει.
Προφανώς, ο πρώτος παίκτης έχει λίγες περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει επειδή παίζει πρώτος. Αλλά είναι λάθος η σκέψη ότι οι παραπανίσιες αυτές πιθανότητες τείνουν στο μηδέν, εάν ο πληθυσμός των δυνατών επιλογών τείνει στο άπειρο;

Εάν δύο άτομα ρίχνουν ένα ζάρι, και κερδίζει αυτός που θα φέρει πρώτος έξι, τότε ισχύει το ίδιο συμπέρασμα;

Δηλαδή πάντα ο πρώτος έχει αβαντάζ; Εννοείται σε παιχνίδια με ίσες πιθανότητες επιτυχίας.

Όμοιο

Σε αγώνα μονομαχίας ευγενών (εναλλάξ βολές με πιστόλι) μεταξύ των και , ο έχει πιθανότητα να πετύχει στόχο σε κάθε βολή, ενώ ο έχει πιθανότητα , με . Με επιτυχία σε κάποια βολή ο αγώνας τελειώνει. Πρώτος χτυπά ο . Να βρεθεί η σχέση των και , ώστε οι πιθανότητες νίκης στον αγώνα, να είναι μεταξύ των δυο αντιπάλων.