mathematica.gr

Αν είναι συνεχείς συναρτήσεις με
1) Οι εξισώσεις και έχουν μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα, όχι κατ'ανάγκην κοινή.
2) Η δεν έχει πραγματική ρίζα
Να αποδειχθεί ότι η έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα
Μέχρι 16/11
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου-Συναρτήσεις-Όρια -Συνέχεια.

Εστω χ1 τ.ω. και χ2 τ.ω. .
Αν x1=x2=x τοτε f(x)=g(x) αδυνατο αφου Η f(x)=g(x) δεν έχει πραγματική ρίζα.
Χωρις βλαβη της γενικοτητας εστω x1<x2, τοτε:
Θεωρω την h(x)= στο [x1,x2].
Η h συνεχης
h(x1)=-<0
h(x2)=>0
Αρα απο θ. Bolzano υπαρχει στο (x1,x2) τ.ω.
=0

Αλλα η f(x)=g(x) δεν έχει πραγματική ρίζα αρα
Αρα .
Ομοια για x1>x2.
Aρα η f(x)+g(x)=0 έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.
Ανδρεας

μια παρομοια λυση...
Εστω a ριζα της f και b ριζα της g
f(a)=0 g(b)=0
Αν a=b=c τοτε f(c)=g(c)=0
Ατοπο γιατι f(x)=g(x) δεν εχει ριζες
Αρα a διαφορο του b.
Χωρις βλαβη της γενικοτητας περνω a>b
Εστω οτι f(x)+g(x) δεν εχει ριζες στο R
γνωρίζω ηδη οτι f(x)-g(x) δεν εχει ριζες στο R
Αρα τοτε ουτε και η h(x)=(f(x)+g(x))(f(x)-g(x)) θα εχει ριζες στο R
Ομως h(x)=f^2(x)-g^2(x)
και h(x) πληρει τις προυποθεσεις του θεωρηματος Bolzano στο [b,a]
h(a)h(b)=(f^2(a)-g^2(a))(f^2(b)-g^2(b))=-g^2(a)f^2(b)<0
γιατι ειναι ο αντιθετος του γινομενου τετραγώνων και αν g(a)=0 ή f(b)=0 (ενω g(b)=0 και f(a)=0) τοτε η f(x)=g(x) θα έχει ρίζες είτε την a ειτε την b ειτε και τις δύο...
Αρα υπάρχει d ε (b,a) με h(d)=0
Ατοπο γιατι h(x) δεν εχει ριζες στο R
Αρα η f(x)+g(x) εχει τουλαχιστον μια ριζα στο R.....
Ειναι πολύ πιο περιπλοκη αλλα αυτη πρωτο σκεφτηκα στην ταξη....
andreas