mathematica.gr • βραδυνό ολοκλήρωμα 124

Σελίδα 1 από 1

βραδυνό ολοκλήρωμα 124

Δημοσιεύτηκε: Δευ Δεκ 20, 2010 7:51 pm

από mathxl

Από τον Stuart Clark
$\displaystyle{\int {\frac{{\cos(7x) - \cos(8x)}}{{1 + 2\cos^2x}}\,dx} }$

Re: βραδυνό ολοκλήρωμα 124

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 22, 2026 12:44 am

από neutonas

Έχουμε ότι

\mathcal I=\int\frac{\cos(7x)-\cos(8x)}{1+2\cos^2x}\,dx.

Ισχύει ότι

\frac{\cos(7x)-\cos(8x)}{1+2\cos^2x}=56+30\cos x-30\cos(2x)-8\cos(3x)+8\cos(4x)+2\cos(5x)-2\cos(6x)-\frac{97+71\cos x}{1+2\cos^2x}.

Επομένως

\mathcal I=56x+30\sin x-15\sin(2x)-\frac83\sin(3x)+2\sin(4x)+\frac25\sin(5x)-\frac13\sin(6x)-97I_1-71I_2,

όπου

I_1=\int\frac{dx}{1+2\cos^2x} \quad\,,\,\,I_2=\int\frac{\cos x\,dx}{1+2\cos^2x}.

Για το

I_1

θέτουμε

t=\tan x,\quad dx=\frac{dt}{1+t^2},\quad1+2\cos^2x=\frac{t^2+3}{1+t^2}

οπότε

I_1=\int\frac{dt}{t^2+3}=\frac1{\sqrt3}\tan^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt3}\right).

Για το

I_2

θέτουμε

u=\sin x,\quad du=\cos x\,dx,\quad1+2\cos^2x=3-2u^2

οπότε

I_2=\int\frac{du}{3-2u^2}=\frac1{\sqrt6}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{\frac23}\sin x\right)=\frac1{2\sqrt6}\ln\left|\frac{\sqrt6+2\sin x}{\sqrt6-2\sin x}\right|.

Συνεπώς

\mathcal I=56x+30\sin x-15\sin(2x)-\frac83\sin(3x)+2\sin(4x)+\frac25\sin(5x)-\frac13\sin(6x)-\frac{97}{\sqrt3}\tan^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt3}\right)-\frac{71}{\sqrt6}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{\frac23}\sin x\right).