mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2009 10:00 pm**

Να υπολογίστετ το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \theta } \right)d\theta }}$ (αν και ήθελα να το βάλω στο φάκελο-λύκειο)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2009 10:10 pm**

mathxl έγραψε:Να υπολογίστετ το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \theta } \right)d\theta } }$ (αν και ήθελα να το βάλω στο φάκελο-λύκειο)

Βασίλη, δες εδώ viewtopic.php?f=9&t=1184

Από σύμπτωση το έβαλα λίγο πριν το μήνυμά σου.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2009 10:19 pm**

Ενδιαφέρον Μιχάλη και συμπτωτικό, με ασυμπτωτική λύση θα έλεγα (διαφορετικό τρόπο υπολογισμού έχω κατα νου

)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2009 10:23 pm**

mathxl έγραψε:Ενδιαφέρον Μιχάλη και συμπτωτικό, με ασυμπτωτική λύση θα έλεγα (διαφορετικό τρόπο υπολογισμού έχω κατα νου )

Βασίλη,

Μία απευθείας λύση είναι ως εξής:

α) αλλαγή μεταβλητής από θ σε π/2 - θ, μας δίνει παρόμοιο ολοκλήρωμα αλλά
με lnσυν
β) προσθέτουμε τα δύο ίσα ολοκληρώματα που έχουμε. Αναγώμαστε στο
γ) ολοκλήρωμα του lnημ2θ
δ) αλλαγή μεταβλητής από 2θ σε θ.
ε) κόβουμε το ολοκλήρωμα που προκύπτει σε δύο, από 0 έως π/2 και από π/2 ως π.
στ) τα δύο τελευταία είναι ίσα γιατί το ημ(π-θ) = ημθ, και λοιπά.

Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 27, 2009 10:41 pm**

Σωστά αυτό είναι το σκεπτικό, αλλά δούλεψα με την μισή γωνία
$\displaystyle{\begin{array}{l} I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \theta } \right)d\theta } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln 2d\theta } + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \frac{\theta }{2}} \right)d\theta } + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2}} \right)d\theta } = \\ = \frac{\pi }{2}\ln 2 + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \frac{\theta }{2}} \right)d\theta } - \int\limits_\pi ^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu \frac{{\left( {\pi - t} \right)}}{2}} \right)dt} = \\ = \frac{\pi }{2}\ln 2 + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \frac{\theta }{2}} \right)d\theta } + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\ln \left( {\eta \mu \frac{t}{2}} \right)dt} = \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} = \frac{\pi }{2}\ln 2 + \int\limits_0^\pi {\ln \left( {\eta \mu \frac{t}{2}} \right)dt} \mathop = \limits^{t = 2\theta } \frac{\pi }{2}\ln 2 + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \theta } \right)d\theta } = \\ = \frac{\pi }{2}\ln 2 + 2I \\ I = - \frac{\pi }{2}\ln 2 \\ \end{array}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2009 12:15 am**

Συγνώμη αν μου διαφέυγει κάτι αλλά η ln(ημθ) στο 0 είναι συνεχής?

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2009 12:17 am**

Γιαυτό το έβαλα στο ΑΕΙ

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2009 2:48 am**

Βασίλη ο τρόπος σου είναι πάρα πολύ ωραίος!! Όμως :

mathxl έγραψε: $I =... = \frac{\pi }{2}\ln 2 + 2I \\I=-\frac{\pi}{2}\ln2$

. Εδω χρειάζεται λίγη προσοχή. Είναι το σημείο που φαίνεται ότι πρέπει να δείξει κανείς ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει. Προσθέτω λοιπόν :
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\ln(\sin x)|\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\frac{1}{\sin x}\,dx\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\frac{\pi}{2x}\,dx=\\ \frac{\pi}{2}\ln\frac{\pi}{2}-\Big(x\ln x -x\Big)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}+\displaystyle\lim_{x\to 0}x\ln x=\frac{\pi}{2}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 28, 2009 7:47 am**

MIA ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ ΤΟ ΙΔΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΕ ΤΗΝ ΜΟΝΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΟ ln(ημθ) ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΥΨΩΜΕΝΟ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΔΗΛΑΔΗ
(ln(ημθ))^2.ΠΟΛΥ ΘΑ ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΔΩ ΚΑΠΟΙΑ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 17, 2009 9:51 am**

Αυτό είναι το Α3 του Putnam 1953.

http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/ww ... utn53.html

Φυσικά, έχει εμφανισθεί σε πάμπολλα βιβλία από τότε (ίσως κι από πριν ...).

Φιλικά,

Αχιλλέας

mathematica.gr

Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα