mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 10:31 am**

Καλημέρα,
συνάδελφος μου έδωσε την εξής άσκηση που ήταν το 4ο θέμα σε κάποιο διαγώνισμα.

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση: $f:R \to R$ με f(0) = 3

και για την οποία ισχύει:
$f\left( {f(x)} \right) = 2x + {x^2} - 2f(x)$ για κάθε $x \in R$ .
i. Να βρεθεί το f(3).
ii. Να βρεθούν τα f(-3), f(1).
iii. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $\left( { - 3,1} \right)$ .
(ακολουθούν άλλα δυο ερωτήματα με όρια).

Τι λέτε; είναι σωστή;

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 10:47 am**

Θωμά μοιάζει με την πρώτη άσκηση που δόθηκε εδώ... viewtopic.php?f=52&t=11803 (δεν υπάρχουν λύσεις)

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 10:49 am**

Καλημέρα Θωμά ,

με αντικατάσταση στη δοσμένη σχέση x=0 προκύπτει f(3) = - 6 .
Στη συνέχεια όμως το f(-3) νομίζω οτι δεν υπολογίζεται άμεσα .
Μήπως θα έπρεπε το f(3) να είναι ίσο με -3 ???

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 10:56 am**

Έστω ότι υπάρχει x_0

τέτοιο ώστε: f(x_0)=0

τότε εύκολα βρίσκουμε x_0

=-3 ή 1 άρα f(-3)=f(1)=0

Φυσικά το θέμα είναι αν υπάρχει τέτοιο x_0

τα υπόλοιπα ερωτήματα μετά είναι απλά (δεν μπορώ να γράψω περισσότερα αφού μπαίνω από καφετέρια!!)

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:04 am**

Καλημερα Μάκη,

για τις παρόμοιες ασκήσεις που αναφέρεις , προκυπτουν οι τιμές άμεσα με αντικατάστη.

Σ' αυτή που έδωσε ο Θωμάς δεν συμβαίνει αυτό , θεωρώ οτί το λάθος είναι στην εκφώνηση κ το f(3) θα έπρεπε να είναι ίσο με -3

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:04 am**

Μάκη και Χάρη καλημέρα και χρόνια πολλά.

Μάκη, καφε(τεριο)νόβιε , ναι, αυτό είναι το θέμα, μπορεί να υπάρχει $\displaystyle{{x_0} \in R}$ ώστε $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) = - 3}$ ;

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:14 am**

Χάρη, για δες.

i. i. Για x=0 έχουμε: $f\left( {f(0)} \right) = - 2f(0)\mathop \Rightarrow \limits^{f(0) = 3} f(3) = - 6$ .
ii. Βρίσκω το f(-6).
Για x=3 έχουμε: $f\left( {f(3)} \right) = 6 + 9 - 2f(3)\mathop \Rightarrow \limits^{f(3) = - 6} f( - 6) = 27$ .
Στο διάστημα $\left[ { - 6,3} \right]$ η f συνεχής με

και $\displaystyle{{\rm{f}}\left( { - {\rm{6}}} \right) = {\rm{27}}}$ και επειδή $0 \in \left[ { - 6,27} \right]$ , υπάρχει από το Θ.Ε.Τ ${x_0} \in \left( { - 6,3} \right)$ ώστε $f({x_0}) = 0$ .
Για $\displaystyle{{\rm{x}} = {{\rm{x}}_0}}$ έχουμε:
$f\left( {f({x_0})} \right) = 2{x_0} + {x_0}^2 - 2f({x_0})\mathop \Rightarrow \limits^{f({x_0}) = 0} f(0) = 2{x_0} + {x_0}^2\mathop \Rightarrow \limits^{f(0) = 3}$
$\Rightarrow {x_0}^2 + 2{x_0} - 3 = 0 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = 1}&{or}&{{x_0} = - 3} \end{array}$ ,
επομένως: f(1) = 0

και

.

Και επειδή $- 3,1 \in \left( { - 6,3} \right)$ , όλα φαίνονται καλά.
Είναι όμως έτσι;
Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:27 am**

Θωμά , όπως λες όλα φένονται καλά ,

Θα την ξανακοιτάξω και το μεσημέρι γιατι πρέπει να βγω για κάποιες δουλειές λογώ ημέρων .
Εκτος φυσικά αν την έχετε λύσει ως τότε .

Καλη συνέχεια σε όλους σας .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:30 am**

Χάρη να είσαι καλά.
Αν το όνομά σου είναι Θεοχάρης θα έχεις το ίδιο όνομα με τον γυιό μου.
Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:37 am**

Και με τον αστυνόμο της Λάμψης!

Όσο για την λύση, όντως υπάρχει πρόβλημα με το x_0

τέτοιο ώστε: f(x_0)=0

αφού αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει!

Edit: Πρόσθεσα τα κόκκινα γράμματα

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 11:51 am**

Καλημέρα

Μια παρατήρηση

Συνήθως για την κατασκευή τέτοιων ασκήσεων χρησιμοποιούμε πολυωνυμικές συναρτήσεις.
Δεν υπάρχει όμως πολυωνυμική συνάρτηση που να ικανοποιεί την δοσμένη σχέση.

Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 12:06 pm**

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Και με τον αστυνόμο της Λάμψης!

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Χάρη να είσαι καλά.
Αν το όνομά σου είναι Θεοχάρης θα έχεις το ίδιο όνομα με τον γυιό μου.
Θωμάς

Μετά τις παρατηρήσεις των Θωμά,Μάκη έχω να σημειώσω:
Ο Μάκης έχει το ίδιο όνομα με τον Τριανταφυλλόπουλο
Ο Θωμάς με τον Ακινάτη
Ο Γιώργος με τον Νταλάρα

Φιλικά Χρήστος
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 1:48 pm**

Ας δώσω την απάντηση, βάζοντας και κάποια ερωτήματα.

i. Για x=0 έχουμε: $f\left( {f(0)} \right) = - 2f(0)\mathop \Rightarrow \limits^{f(0) = 3} f(3) = - 6$ .
ii. Βρίσκω το f(-6).
Για x=3 έχουμε: $f\left( {f(3)} \right) = 6 + 9 - 2f(3)\mathop \Rightarrow \limits^{f(3) = - 6} f( - 6) = 27$ .
Στο διάστημα $\left[ { - 6,3} \right]$ η f συνεχής με

και $\displaystyle{{\rm{f}}\left( { - {\rm{6}}} \right) = {\rm{27}}}$ και επειδή $0 \in \left[ { - 6,27} \right]$ , υπάρχει από το Θ.Ε.Τ ${x_0} \in \left( { - 6,3} \right)$ ώστε $f({x_0}) = 0$ .
Για $\displaystyle{{\rm{x}} = {{\rm{x}}_0}}$ έχουμε:
$f\left( {f({x_0})} \right) = 2{x_0} + {x_0}^2 - 2f({x_0})\mathop \Rightarrow \limits^{f({x_0}) = 0} f(0) = 2{x_0} + {x_0}^2\mathop \Rightarrow \limits^{f(0) = 3}$
$\Rightarrow {x_0}^2 + 2{x_0} - 3 = 0 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = 1}&{or}&{{x_0} = - 3} \end{array}$ ,
επομένως: f(1) = 0

και

.

Και επειδή $- 3,1 \in \left( { - 6,3} \right)$ , όλα φαίνονται καλά,

και αφού δουλέψαμε με συνεπαγωγές αν κάνουμε επαλήθευση αντικαθιστώντας στην αρχική, διαδοχικά, όπου x το -3 και το 1 έχουμε:

$f\left( {f( - 3)} \right) = - 6 + 9 - 2f( - 3) \Rightarrow f(0) = 3$ , δεκτό.

και

$f\left( {f(1)} \right) = 2 + 1 - 2f(1) \Rightarrow f(0) = 3$ , δεκτό.

Οπότε όλα φαίνονται τέλεια.

Για να δούμε όμως:

Στο διάστημα $\left[ { - 6,3} \right]$ η f συνεχής με f(3) = - 6

και $\displaystyle{{\rm{f}}\left( { - {\rm{6}}} \right) = {\rm{27}}}$ και επειδή $- 3 \in \left[ { - 6,27} \right]$ , υπάρχει από το Θ.Ε.Τ $\xi \in \left( { - 6,3} \right)$ ώστε $f(\xi ) = - 3$ .
Για x=ξ έχουμε:
$\displaystyle{f\left( {f(\xi )} \right) = 2\xi + {\xi ^2} - 2f(\xi )\mathop \Rightarrow \limits^{f(\xi ) = - 3} f\left( { - 3} \right) = 2\xi + {\xi ^2} + 6 \Rightarrow f\left( { - 3} \right) = {\xi ^2} + 2\xi + 1 + 5 \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( { - 3} \right) = {\left( {\xi + 1} \right)^2} + 5 \Rightarrow f\left( { - 3} \right) \ge 5}$ ,
επομένως η άσκηση έχει πρόβλημα αφού δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι και f(-3)=0.

Που οφείλεται το πρόβλημα;
Ότι δεν υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση που να επαληθεύει την αρχική, όπως μας είπε ο Γιώργος;

Και τι πρέπει να κάνουμε σε αυτή τη κατηγορία των ασκήσεων;

Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 2:05 pm**

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε: επομένως η άσκηση έχει πρόβλημα αφού δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι και f(-3)=0.

Που οφείλεται το πρόβλημα;
Ότι δεν υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση που να επαληθεύει την αρχική, όπως μας είπε ο Γιώργος;

Και τι πρέπει να κάνουμε σε αυτή τη κατηγορία των ασκήσεων;

Θωμάς

Μα το πρώτο που πρέπει να κάνει ο κατασκευαστής είναι να χρησιμοποιήσει υπαρκτή συνάρτηση ως οδηγό για την κατασκευή.
Τώρα αν ο μαθητής στην συγκεκριμένη - λαθεμένη- άσκηση δώσει την απάντηση όλα είναι εντάξει. Αν καταλάβει και το λάθος του δίνουμε και ... δωράκι.

Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 2:12 pm**

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:Χάρη να είσαι καλά.
Αν το όνομά σου είναι Θεοχάρης θα έχεις το ίδιο όνομα με τον γυιό μου.
Θωμάς

Το Χάρης προκύπτει από το Χαρίλαος ,
Ευχαριστώ κ. Θωμά
Καλά Χριστούγεννα

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 2:22 pm**

Γιώργο ακριβώς για το λόγο αυτό έβαλα την άσκηση.

Μας δόθηκε η άσκηση, με την παρατήρηση ότι είναι πολύ καλή.

Το λάθος το βρήκαμε όλως τυχαία συνεργαζόμενοι με το Βασίλη ως εξής:

Ξεκινήσαμε από αντίθετα σημεία,
Επειδή μας έλεγε ότι διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-3,1) υποψιαστήκαμε ότι f(-3)=f(1)=0
Ο Βασίλης έδειξε ότι f(-3)=0 και εγώ $\displaystyle{f( - 3) \ge 5}$ , οπότε στη διαδικασία να βρούμε ποιος έκανε το λάθος, βρήκαμε το λάθος στην άσκηση.

Καλές γιορτές σε όλους,
Θωμάς

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 3:14 pm**

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:
$f\left( {f({x_0})} \right) = 2{x_0} + {x_0}^2 - 2f({x_0})\mathop \Rightarrow \limits^{f({x_0}) = 0} f(0) = 2{x_0} + {x_0}^2\mathop \Rightarrow \limits^{f(0) = 3}$
$\Rightarrow {x_0}^2 + 2{x_0} - 3 = 0 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = 1}&{or}&{{x_0} = - 3} \end{array}$ ,
επομένως: και .

<.....>

$\displaystyle{f\left( {f(\xi )} \right) = 2\xi + {\xi ^2} - 2f(\xi )\mathop \Rightarrow \limits^{f(\xi ) = - 3} f\left( { - 3} \right) = 2\xi + {\xi ^2} + 6 \Rightarrow f\left( { - 3} \right) = {\xi ^2} + 2\xi + 1 + 5 \Rightarrow }$
$\displaystyle{ \Rightarrow f\left( { - 3} \right) = {\left( {\xi + 1} \right)^2} + 5 \Rightarrow f\left( { - 3} \right) \ge 5}$ ,
επομένως η άσκηση έχει πρόβλημα αφού δεν μπορεί ταυτόχρονα να είναι και f(-3)=0.

Θωμά, νομίζω ότι ο συλλογισμός που βάζεις δεν είναι σωστός: Για δες σε παρακαλώ το πρώτο "και" που σημείωσα παραπάνω. Αν δεν κάνω λάθος πρέπει να γίνει "ή". Οπότε το δεύτερο "και" που σημείωσα δεν δίνει άτοπο.

Με πρώτη ματιά μπαλώνεται το κενό, αλλά δεν το κοίταξα παραπάνω γιατί έχω πολύ δουλειά σήμερα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 23, 2010 5:05 pm**

Καλό απόγευμα το θέμα το έχω βάλει και εδώ http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=383237

mathematica.gr

Είναι σωστή;

Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;

Re: Είναι σωστή;