mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 12, 2011 6:49 pm**

Δίνεται κύκλος (O,R)

και μια διάμετρος

αυτού. Προεκτείνουμε την

κατά $B\varGamma =4R.$
Από το

φέρνουμε τυχαία ευθεία $A\varDelta$ που τέμνει τον κύκλο στο $\varDelta$ και παίρνουμε σ' αυτήν σημείο

ώστε $A\varDelta\cdot AM = AO\cdot A\varGamma .$
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

β) Να προσδιοριστεί η γωνία $\varGamma\widehat{A}M=\hat{\theta},$ ώστε η $O\varDelta$ να είναι κάθετη στην $\varGamma M .$
γ) Στην περίπτωση όπως στο ερώτημα (β), να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου $O\varDelta M\varGamma .$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 12, 2011 8:37 pm**

1. Αν από το σημείο Μ φέρουμε κάθετη προς την ΑΓ τότε από τα από τα εγγραψιμα τετράπλευρα:
ΟΓΜΔ και ΒΔΜΓ προκύπτει ότι
$A\Sigma =3R$
Άρα το Σ είναι σταθερό και συνεπώς ο γ.τ. του Σημείου Μ είναι η κάθετη στο Σ προς την ΑΓ.

2. Από το ορθογώνιο τρίγωνο είναι:
$\varphi +\omega =90^{0}$
και επειδή:
$\omega =2\varphi$
άρα:
$\varphi =30^{0}$

3. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΝΓ του οποίου η υποτείνουσα είναι 5R, προκύπτει ότι:
$ON=\frac{5R}{2},N\Gamma =\frac{5R\sqrt{3}}{2}$
Άρα το εμβαδόν του είναι:
$E(O\Gamma N)=\frac{25R^2\sqrt{3}}{8}$
Επίσης το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΜΝ έχει:
$\Delta N=ON-O\Delta =\frac{5R}{2}-R=\frac{3R}{2}$
άρα και:
$MN=\frac{R\sqrt{3}}{2}$
άρα με εμβαδό:
$E(\Delta MN)=\frac{3R^2\sqrt{3}}{8}$
Επομένως:
$E\left(O\Gamma M\Delta \right)=E\left(O\Gamma N \right)-E\left(\Delta MN \right)=\frac{11R^{2}\sqrt{3}}{4}$

Σημείωση:
Για την αναζήτηση του γ.τ. μπορούμε να πούμε πως από τη δοθείσα σχέση το τόπος του Μ είναι το αντίστροφο του δοθέντος κύκλου
ως προς πόλο το σημείο Α και δύναμη αντιστροφής το .(Δεύτερο σχήμα)

mathematica.gr

Παλαιό θέμα

Παλαιό θέμα

Re: Παλαιό θέμα