mathematica.gr

Είναι δυνατόν να υπάρχουν τρείς σταθεροί κύκλοι (Κ,ρ), (Λ,σ), (Μ,τ) και ένα τρίγωνο ΑΒΓ που οι πλευρές του ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ να εφάπτονται αντίστοιχα στούς κύκλους αυτούς και να συνεχίζουν να εφάπτονται με την ίδια αντιστοιχία γιά άπειρες θέσεις του ίδιου τριγώνου; Αιτιολογήστε την απάντηση σας.

S.E.Louridas

Οι πλευρές του τριγώνου είναι κοινές εφαπτόμενες των κύκλων, ανά ζεύγη.
Όμως δύο κύκλοι έχουν πεπερασμένες το πλήθος κοινές εφαπτόμενες (το πολύ τέσσερις: δύο εσωτερικές και δύο εξωτερικές). Συνεπώς τα τρίγωνα που φτιάχνουν αυτές οι εφαπτόμενες είναι πεπερασμένα το πλήθος (εν γένει 4x4x4=64).

Φιλικά,

Μιχάλης

Μιχάλη (αν και έτσι βγήκε κάτι το καλό) μάλλον εγώ δεν έβαλα στην σωστή θέση την λέξη "αντίστοιχα''.
ΘΕΛΩ λοιπόν να διευκρινήσω πως εννοούσα η ΑΒ να εφάπτεται συνεχώς στον (Κ,ρ), η ΑΓ στόν (Λ,σ) και τέλος η ΒΓ στόν (Μ,τ), γιά το ίδιο τρίγωνο σε άπειρες θέσεις με τον τρόπο που αναφέραμε.

S.E.Louridas

Η διατύπωση του Σωτήρη ήταν σαφής. "Στο ίδιο τρίγωνο".
Εικάζω ότι όπως έχει τεθεί το πρόβλημα, υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να συμβεί αυτό.
Δυστυχώς (για τους προφήτες) απαιτείται απόδειξη.
Ξεκινάμε το ψάξιμο, επειδή το πρόβλημα είναι πολύ ελκυστικό.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Παρατηρούμε ότι:
1) το εξάπλευρο ΚΑΛΓΜΒ έχει σταθερό εμβαδόν.
2) Τα σημεία Κ, Λ, Μ έχουν σταθερή θέση στο επίπεδο.
3) Τα μήκη ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ είναι σταθερά
4) Η απόσταση του Κ από το ΑΒ, η απόσταση του Λ από το ΑΓ
και η απόσταση του Μ από το ΒΓ είναι σταθερές.

Μάλλον και κάτι άλλο σταθερό θα υπάρχει, που είναι το καταραμένο;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Υπόδειξη:

Στόχευσα, τελικά, στην λύση του εξής προβλήματος (στοιχειώδης λύση με πολύ ενδιαφέρον):

"" Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ κινήται, ώστε οι πλευρές του ΑΒ, ΑΓ να εφάπτονται σε δύο σταθερούς κύκλους, τότε και η τρίτη πλευρά του ΒΓ, θά κινήται εφαπτόμενη και αυτή σέ ένα σταθερό κύκλο''.

(*) Θεωρώ φίλε Ανδρέα Πούλο, οτι θά είχε (;) σημασία , όχι τόσο αυτή καθεαυτή η λύση που εντάξει πάντα έχει κορυφαία αξία, αλλά και άν θα μπορούσαμε σιγά-σιγά να διαμορφώσουμε ένα διδακτικό περιβάλλον όπου θα στόχευε στην μελέτη του πώς μπορούμε να δημιουργούμε ισοδύναμα προβλήματα, ώστε αντί να λύσουμε το ένα πρόβλημα να λύσουμε το ισοδύναμο του, όταν αυτό μας διευκολύνει. Απλά σκέφτομαι φωναχτά.

S.E.Louridas

Σωτήρη,
τα πολύ καλά βιβλία προβλημάτων είναι γραμμένα με αυτόν ακριβώς τον τρόπο.
Δεν είναι απλές συλλογές θεμάτων, που συνδέονται μεταξύ τους,
μόνο και μόνο επειδή επιλύονται με το ίδιο θεώρημα ή με την ίδια τεχνική.
Έχουν ένα πλήθος χαρισμάτων.
Ξεκινούν από το ειδικό και οδηγούνται στο γενικό.
Δείχνουν μία ποικιλία μεθόδων επίλυσης, τα όρια και τις δυνατότητες της κάθε μίας μεθόδου.
Αναδεικνύουν αυτό που "το έχουμε μπροστά μας", αλλά δεν του δίνουμε σημασία.
Θέτουν νέα ερωτήματα, ακόμα κι αν δεν τα απαντούν πλήρως.
Οι συγγραφείς τους έχουν μελετήσει προσεκτικά πλήθος προβλημάτων
που αφορούν το θέμα που πραγματεύονται, είναι αυτό που λέμε "ειδικοί στο θέμα τους".
Από τη μελέτη ενός τέτοιου βιβλίου, ο αναγνώστης πρέπει να αναδεικνύει νέες ικανότητες,
όχι μόνο στην επίλυση προβλημάτων, αλλά και στην κατασκευή προβλημάτων.

Το έχω ξαναγράψει, το βιβλίο των Vasilyevκαι Gutenmacher "Straight Lines and Curves",
το θεωρώ ως βιβλίο - υπόδειγμα για το πώς πρέπει να γράφονται βιβλία επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων.
Μακάρι, να μεταφραστεί και στη γλώσσα μας.
Θα ήταν πράγματι μία προσφορά στη μαθηματική μας εκπαίδευση.

Τώρα, για το θέμα μας. Το εξετάζω με το Geogebra, μήπως μου έρθει κάποια ιδέα, αλλά ακόμα τίποτα.
Τον Κώστα Δόρτσιο δεν βλέπω αυτές τις μέρες στο Φόρουμ και με ανησυχεί.
Αυτός θα μπορούσε να δώσει μία βοήθεια.
Ή παίζει μουσική με το συγκρότημά του ή είναι άρρωστος. Άλλη εξήγηση δεν υπάρχει.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Θεωρώ ότι πρέπει να δώσω ένα βήμα εκκίνησης και στην συνέχεια να ανεβάσω την λύση, έχοντας πάντα στό μυαλό μου, ότι όταν ένα πρόβλημα έχει μία λύση τότε κατά τεκμήριο θά έχει τουλάχιστον άλλη μία, έστω και άν δέν την γνωρίζουμε ή δεν μπορούμε να την φανταστούμε.

Ας θεωρήσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ,κατ' αρχή σε μία αρχική θέση. Ας θεωρήσουμε στην συνέχεια δύο κύκλους που τους ονομάζουμε (Κ,ρ) και (Λ,σ) και πού εφάπτονται στίς πλευρές ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.Στήν συνέχεια και χρησιμοποιώντας ότι ένα σημείο που βλέπει ένα ευθύγραμμο τμήμα υπό σταθερή γωνία κινήται σε σταθερό τόξο προσδιορίζουμε ένα τρίτο σταθερό κύκλο στον οποίο εφάπτεται η πλευρά ΒΓ και όλα αυτά σε απειρία θέσεων, ώστε....

S.E.Louridas

Άρα, το επόμενο αναγκαίο μεθοδολογικό βήμα είναι να δούμε τι γίνεται στην περίπτωση που οι κύκλοι Κ, Λ «συρρικνωθούν» σε σημεία .
Δηλαδή να θεωρήσουμε ότι οι ΑΒ, ΑΓ διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Κ, Λ και το τρίγωνο ΑΒΓ κινούμενο να έχει την ιδιότητα η πλευρά του ΒΓ να εφάπτεται σε σταθερό κύκλο.
Πράγματι:
Η κορυφή Α κινείται σε σταθερό τόξο, έστω C αφού βλέπει το σταθερό τμήμα ΚΛ υπό σταθερή γωνία. Αν τώρα από το Α θεωρήσω παράλληλη προς την ΒΓ, τότε θα τμήση το τόξο έστω σε σημείο Χ με την ιδιότητα <ΧΑΛ=<Γ. Αυτό σημαίνει ότι η χορδή ΛΧ είναι σταθερή και επομένως και το σημείο Χ είναι σταθερό. Έστω τώρα ΑΝ το ύψος του τριγώνου που προφανώς έχει σταθερό μήκος και ΧΨ κάθετη στην ΒΓ με Ψ σημείο της ΒΓ. Προφανώς ΧΨ=ΑΝ, οπότε ο κύκλος (Χ,ΧΨ) είναι σταθερός.
Τι μένει; Μα να δούμε τα παραπάνω πώς εφαρμόζονται όταν έχουμε τους κύκλους μας πλέον (Κ,ρ) και (Λ,σ).


S.E.Louridas

Και για να κλείνουμε το οδοιπορικό αυτό ας πάμε στο πρόβλημα μας.

♦ Ναι είναι δυνατόν και μάλιστα πολλαπλά και αυτό επειδή:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Θεωρούμε (ας πούμε εντός του τριγώνου) δύο κύκλους (Κ,ρ) και (Λ,σ) που εφάπτονται στις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ, αντίστοιχα. Από τα κέντρα Κ, Λ θεωρούμε τις παράλληλες προς τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα που αφ’ ενός τέμνονται στο σημείο Δ αφ’ ετέρου τέμνουν την ΒΓ στα σημεία Ε, Ζ αντίστοιχα.
Τότε έχουμε την δημιουργία ενός επίσης σταθερού τριγώνου ΔΕΖ με την ευθεία ΕΖ να είναι η δια με την ευθεία ΒΓ, που όμως τώρα οι πλευρές του ΔΕ και ΔΖ διέρχονται από τα σταθερά σημεία Ε και Ζ, οπότε «πέφτουμε» στην αμέσως προηγούμενη περίπτωση που ανέφερα.

(*)Χαίρομαι που βλέπω μετά από καιρό τον Κώστα Δόρτσιο στο Καντράν του υπολογιστή μου.

S.E.Louridas