mathematica.gr

Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [a,b]. Ποιές προυποθέσεις πρέπει να ικανοποιεί η f , έτσι ώστε να ισχύει:
, όπου min f ' , max f ' είναι αντιστοίχως η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f ' , στο [a,b]. Να αιτιολογήσετε, τις απαντήσεις σας...

Χρήστο το ερώτημα είναι αν η παράγωγος έχει μέγιστο και ελάχιστο; Το υπόλοιπο δεν είναι αυτόματο;
Μαυρογιάννης

Καλημέρα. Το ερώτημα..ειναι απο τον απειροστικό του thomas!
Εγώ αντελήφθην
1) f συνεχής στο [a,b]
2) f παραγωγίσιμη στο [a,b]
3) f' συνεχής στο [a,b].
Μένει να δω αν είμαι σωστός!

Η συνθηκη θα πρεπει να ειναι οτι η f ' (πρωτη παραγωγος) συνεχης στο [a,b].
Αρα υπαρχει (ΘΜΤ) k ωστε f'(k)=(f(b)-f(a))/(b-a).Αφου η f ' συνεχης θα εχει μεγιστη και
ελαχιστη τιμη. Αρα minf ' <=f'(k)<=maxf '.
(Εξυπνη Ασκηση)

chris_gatos έγραψε:Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα [a,b]. Ποιές προυποθέσεις πρέπει να ικανοποιεί η f , έτσι ώστε να ισχύει:
, όπου min f ' , max f ' είναι αντιστοίχως η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f ' , στο [a,b]. Να αιτιολογήσετε, τις απαντήσεις σας...

Καλημέρα Χρήστο
Αν κατάλαβα καλά από τα δεδομένα απαιτείται να είναι παραγωγίσιμη η f στο [α , β];
Διαφορετικά μπορούμε να βρούμε παράδειγμα που να ισχύει το ζητούμενο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη η f στο [α , β].
Γιώργος

Δεν υπάρχουν δεδομένα, απλά σου αφήνει το πεδίο ελεύθερο, να ορίσεις εσυ τα δεδομένα (προυποθέσεις)

Χρήστο , πάντως σίγουρα απαιτεί η f΄ να έχει ελάχιστη και μέγιστη τιμή. Έτσι δεν είναι;

Γιώργος

Η εκφώνηση είναι ακριβώς όπως την έδωσα...

Πρεπει να το απαιτει η ασκηση δεδομενου των συνθηκων που εχουν δωσει ολοι οι προηγουμενοι σχετικα με το min-max?

Στο Χρήστο και στους συμμετέχοντες στο post, μια καλημέρα.
Η συνέχεια της f΄ στο [α,β] είναι ικανή συνθήκη για την ύπαρξη των ολικών ακροτάτων της.
Δεν γνωρίζω να υπάρχει γενική συνθήκη που να ικανοποιεί και το αναγκαίο.
Το μόνο που γνωρίζουμε (darboux) για το σύνολο τιμών της f΄ είναι ότι αυτό είναι διάστημα, κλειστό όμως γιατί;
Άρα αν το ερώτημα είναι να βρεθούν οι ικανές συνθήκες (προϋποθέσεις) συμφωνώ με την άποψη του papel, για την αναγκαία δεν γνωρίζω κάτι.

Θωμάς

Νομίζω πως η άσκηση είναι ασαφής. Όπως την διαβάζω δεν απαγορεύεται να υπάρχουν σημεία στο στα οποία η δεν είναι παραγωγίσιμη.

Ούτε καν συνεχής.
π.χ.

| x , 0<=x<1
f(x)= |
|-x+1, 1<=x<=2


τότε f'(x)=1 ή -1 για κάθε χ εκτός του 1,
και f(2)-f(0)/2-0 = -1/2

Δε εμφανιζεται σωστα. Την ξαναγραφω

f(x)= x για 0<=x<1
f(x)= -x+1 για 1<=x<=2


τότε f'(x)=1 ή -1 για κάθε χ εκτός του 1,
και f(2)-f(0)/2-0 = -1/2