mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 2:47 pm**

μου ζητείται να αναπτύξω σε δυναμοσειρά
το
$f(x)=\frac{2-x}{(1-x)^3}$

και εγω καταλήγω στο $-\frac{1}{2}\sum(n-1)nx^{n-2}(x-2)$
Α) είναι σωστό?
Β)φτιάχνει καλύτερα

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 3:23 pm**

Μία επιπλέον απορία ου ήθελα να διατυπώσω και μου γεννήθηκε μέσα απο την λύση κάποιων ασκήσεων είναι η εξής

λέμε ότι (1). $ln(1-x)=-\sum\frac{x^n}{n}$ και εγώ θέλω να βρω το αναπτυγμα MacLaurin της f(x)=ln(x^2-7x+12)

αυτή η συνάρτηση σίγουρα ,φτιάχνει αφου γίνεται f(x)=ln(x-3)+ln(x-4)

Το ερώτημα που μου γεννήθηκε λοιπόν είναι το εξής
Εγω έχοντας αυτα θα βάλλω στον αρχικο τύπο (4-x)

και

και θα αθροισω?
Εκει σταματάω ή φτιάχνει καλύτερα?Σημείωση ότι εγω θέλω να δημιουργήσω MacLaurin σειρα
και επιπλεον .Αν όντως μπορω να θέτω γιατι να μην θέτω ολόκληρο το τριώνυμο στην βασική δεδομένη σειρα(1)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 4:00 pm**

Μανόλη κατέβασε το αρχείο παρακάτω που αναφέρεται στις σειρές - δυναμοσειρές κάπως ολοκληρωμένα

http://www.cup.gr/Files/files/chapters/ ... _ch_08.pdf

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 4:32 pm**

Ευχαριστώ πολύ,,πολύ χρήσιμο αρχείο
όμως
και πάλι δεν απαντάται το ερώτημα μου για την δεύτερη μου απορία
Τι επιτρέπεται στην αντικατάσταση σε μια δυναμοσειρά

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 4:33 pm**

MANOLISMATHS έγραψε:μου ζητείται να αναπτύξω σε δυναμοσειρά
το
$f(x)=\frac{2-x}{(1-x)^3}$

και εγω καταλήγω στο $-\frac{1}{2}\sum(n-1)nx^{n-2}(x-2)$
Α) είναι σωστό?
Β)φτιάχνει καλύτερα

Σχεδόν σωστό. Πρέπει να συνεχίσεις λίγο ακόμα για να βλέπουμε δυναμοσειρά. Η συγκεκριμένη δεν είναι ακριβώς δυναμοσειρά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 4:38 pm**

MANOLISMATHS έγραψε: Το ερώτημα που μου γεννήθηκε λοιπόν είναι το εξής
Εγω έχοντας αυτα θα βάλλω στον αρχικο τύπο και και θα αθροισω?

Όχι. Ο τύπος μιλά για $\ln( {\color {red} 1}-x)$ .

Βγαίνεις από την δυσκολία αν πεις $\ln (4-x) = \ln 4 + \ln \left(1 -\frac {x}{4} \right)$ και λοιπά.

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 4:41 pm**

κυριε μιχάλη πως προχωράει?
γιατί δεν ξέρω πως να το προχωρήσω,,,λογικά δεν εννοειτε να το σπάσω ως άθροισμα δυναμοσειρών??
Αρα μπορω να βάζω στην θέση του χ μόνο πολλαπλάσια του? όχι επιπλέον πολυώνυμα?
Δεν ξερω αν είχα γίνει κατανοητός εννούσα ln(1-x_o)=ln(1-(4-x))=ln(x-3)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 4:51 pm**

MANOLISMATHS έγραψε: θέλω να βρω το αναπτυγμα MacLaurin της

$\displaystyle {\ln(x^2-7x+12) = \ln (3-x)(4-x) = \ln 12 (1- \frac {x}{3}) (1- \frac {x}{4})$
$\displaystyle{= \ln 12 + \ln (1- \frac {x}{3}) + \ln (1- \frac {x}{4}) = ...$

MANOLISMATHS έγραψε:κυριε μιχάλη
Δεν ξερω αν είχα γίνει κατανοητός εννούσα

Πολύ λάθος δρόμος για πολλούς λόγους.

MANOLISMATHS έγραψε: Εκει σταματάω ή φτιάχνει καλύτερα?Σημείωση ότι εγω θέλω να δημιουργήσω MacLaurin σειρα
και επιπλεον .Αν όντως μπορω να θέτω γιατι να μην θέτω ολόκληρο το τριώνυμο στην βασική δεδομένη σειρα(1)

Μανώλη, δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. Καλό είναι να βελτιώσεις τις διατυπώσεις σου γιατί είναι προβληματικές. Δεν μπορούμε να σε βοηθήσουμε αν δεν καταλάβουμε τι ζητάς.

Φιλικά,

Μιχάλης

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 5:10 pm**

Στην πρώτη την δυναμοσειρά
Πως μπορώ να βελτιώσω το αποτέλεσμα?????Στην μορφή?Για να φαίνεται δυναμοσειρά

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 5:27 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε:
MANOLISMATHS έγραψε:μου ζητείται να αναπτύξω σε δυναμοσειρά
το
$f(x)=\frac{2-x}{(1-x)^3}$

και εγω καταλήγω στο $-\frac{1}{2}\sum(n-1)nx^{n-2}(x-2)$
Α) είναι σωστό?
Β)φτιάχνει καλύτερα
Σχεδόν σωστό. Πρέπει να συνεχίσεις λίγο ακόμα για να βλέπουμε δυναμοσειρά. Η συγκεκριμένη δεν είναι ακριβώς δυναμοσειρά.

Πως μπορω να την κάνω δυναμοσειρά??????

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 5:39 pm**

Για

είναι $\displaystyle{\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}}$ . Παραγωγίζοντας δυο φορές παίρνουμε $\displaystyle{\frac{1}{(1-x)^3}=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)x^{k-2}}$ . Άρα και $\displaystyle{\frac{-x}{(1-x)^3}=-\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)x^{k-1}}$ καθώς και $\displaystyle{\frac{2}{(1-x)^3}=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)x^{k-2}}$ .

Προσθέτοντας έχουμε $\displaystyle{\frac{2-x}{(1-x)^3}=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)x^{k-2}-\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)x^{k-1}=2+\sum_{k=3}^{+\infty}k(k-1)x^{k-2}-\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)x^{k-1}=}$

$\displaystyle{2+\sum_{k=2}^{+\infty}(k+1)kx^{k-1}-\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)x^{k-1}=2+\sum_{k=2}^{\infty}\left((k+1)k-\frac{k(k-1)}{2}\right)x^{k-1}=}$

$\displaystyle{2+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k(k+3)}{2}x^{k-1}=2+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k+1)(k+4)}{2}x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+1)(k+4)}{2}x^{k}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 06, 2011 5:46 pm**

Και κάτι ακόμα : Ο πέμπτος όρος μιας σειράς Τάιλορ: είναι η πέμπτη ή η τέταρτη παράγωγος..Εγώ θεωρώ το δεύτερο
Όταν μου θέλω μια συνάρτηση να την αναπτύξω μέχρι τον όρο της 5ης τάξης πρέπει να γράψω και την τέταρτη παράγωγο και επιπλέον το υπόλοιπο?
Ξέρω ότι ίσως να ακούγεται λίγο τυπικό ,αλλά μου είναι χρήσιμο για να αντιληφθώ την έννοια της τάξης στην σειρα Taylor

Κυριε Αναστάση τώρα πραγματικά κατάλαβα.....

Η ερώτηση μου κατά βάσει βρίσκεται και στο εξής σημείο
Εγώ γνωρίζω την δυναμοσειρά πv2 αναπτύσσεται το ημίτονο
Αν μου πει κανείς να αναπτύξω την δυναμοσειρά της $g(x)=x^{2011}sinx^2$
Εγώ θα πω αμέσως
$g(x)=\sum\frac{(-1)^n \ x^{2(2n+1)+2011}}{(2n+1)!}$

Είναι σωστό να το γράψω αυτό αμέσως??

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 07, 2011 1:09 am**

MANOLISMATHS έγραψε: $-\frac{1}{2}\sum(n-1)nx^{n-2}(x-2)$
<...>
Πως μπορω να την κάνω δυναμοσειρά??????

MANOLISMATHS έγραψε: Η ερώτηση μου κατά βάσει βρίσκεται και στο εξής σημείο
Εγώ γνωρίζω την δυναμοσειρά που αναπτύσσεται το ημίτονο
Αν μου πει κανείς να αναπτύξω την δυναμοσειρά της $g(x)=x^{2011}sinx^2$
Εγώ θα πω αμέσως
$g(x)=\sum\frac{(-1)^n \ x^{2(2n+1)+2011}}{(2n+1)!}$

Είναι σωστό να το γράψω αυτό αμέσως??

Μάλλον σκέπτεσαι φωναχτά χωρίς να έχεις μελετήσει το θέμα.

Θα απαντήσω έμμεσα.

Στο πρώτο: Αν ξέρεις πώς να γράψεις π.χ. το
x^5(x-2) + 3x^6(x-2) - 4x^7(x-2)

,ή άλλο ανάλογο, ως πολυώνυμο, τότε μπορείς να απαντήσεις στο ερώτημά σου.

Στο δεύτερο: Αν ξέρεις να απαντήσεις στο: Έστω $f(x)= 3x + \sin(x)$ , να βρεθεί το f(x^2)

, τότε μπορείς να απαντήσεις στο ερώτημά σου.

Αν όχι, τότε σηκώνω τα χέρια ψηλά.

Μ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 07, 2011 3:28 pm**

Ιδού ένα παράδειγμα
Να γίνει σε σειρά MacLaurin
η cos(6X+2)

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 07, 2011 5:03 pm**

MANOLISMATHS έγραψε:Ιδού ένα παράδειγμα
Να γίνει σε σειρά MacLaurin
η

Είναι θέμα ρουτίνας. Π.χ. $f^{4n}(0)= 6^{4n}cos(2)$ , ανάλογα οι άλλες παράγωγοι, και λοιπά.
Θα ήταν πιο ενδιαφέρον να ζήταγες την σειρά Taylor γύρω από -2, που είναι άμεση από την σειρά Maclaurin.

M.

mathematica.gr

Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: μια απορία στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: μια απορία στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: μια απορία στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές

Re: Δυο απορίες στις δυναμοσειρές