mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 07, 2011 4:14 pm**

Να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης της $\displaystyle{\bf \sum c_{n}z^{n}}$ με $\displaystyle{\bf |z|<1}$ , όταν

$\displaystyle{\bf c_{n}=\begin{cases}\bf 2^{n} &\bf ,\; n=2k\\ \bf \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}&\bf,\;n=2k-1\end{cases}}$

για κ=1,2,3,4,..............

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 07, 2011 5:14 pm**

Ωmega Man έγραψε:Να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης της $\displaystyle{\bf \sum c_{n}z^{n}}$ με $\displaystyle{\bf |z|<1}$ , όταν

$\displaystyle{\bf c_{n}=\begin{cases}\bf 2^{n} &\bf ,\; n=2k\\ \bf \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}&\bf,\;n=2k-1\end{cases}}$

για κ=1,2,3,4,..............

Επειδή ο $c_{2k-1}$ τείνει στο 0 (οι όροι είναι $\approx \frac {1}{e^n}$ ), η ακτίνα σύγκλισης προέρχεται από τα $c_{2k}$ .

Από τον τύπο $\displaystyle{\frac{1}{R} = \limsup c_k^{\frac{1}{k}}= \limsup \left( {2^{2k}}\right) ^{\frac{1}{2k}} =2$

έχουμε $\displaystyle{R = \frac{1}{2}$

Edit: διόρθωσα λογιστικό+τυπογραφικό μου σφάλμα καθ' υπόδειξην του Δημήτρη Σκουτέρη. Τον ευχαριστώ.

mathematica.gr

Ακτίνα σύγκλισης.

Ακτίνα σύγκλισης.

Re: Ακτίνα σύγκλισης.