Mihalis_Lambrou έγραψε:R BORIS έγραψε:Να δείξετε ότι το
έχει δυο ρίζες αντίστροφες
Ακόμα καλύτερα, ελέγχουμε ότι τα (3 -
)/2 και (3 +
)/2 είναι ρίζες. Φυσικά είναι αντίστροφες η μία της άλλης.
Στην παραπάνω λύση δεν εξήγησα πώς σκέφτηκα. Εννοείται ότι οι ρίζες που έγραψα δεν είναι ουρανοκατέβατες! Αξίζει να γράψω την μέθοδο (= τα μυστικά της δουλειάς...) γιατί εκεί βρίσκεται το κλειδί της άσκησης.
Μας δόθηκε ένα πολυώνυμο
και μας ζητήθηκε να δείξουμε ότι έχει αντίστροφες ρίζες. Με άλλα λόγια, αν x ρίζα του αρχικού, οπότε
... (1)
θέλουμε να δείξουμε ότι η 1/x είναι επίσης ρίζα. Το τελευταίο ισοδυναμεί με το ότι το x ικανοποιεί την
... (2)
Διώχνουμε το x^5 από την (2), με χρήση της (1).
Δίνει
δηλαδή
... (3)
Πολλαπλασιάζουμε τη (3) επί x για να το κάνουμε πεμπτοβάθμιο (η αιτία της επιλογής αυτής αιτιολογείται στο επόμενο βήμα)
... (4)
Μεταξύ της (1) και της (4) διώχνουμε το x^5. Το πετυχαίνουμε αυτό πολλαπλασιάζοντας την (1) επί Α μετά αφαιρούμε την (4). Θα βρούμε
... (5)
Δηλαδή δευτεροβάθμια. Ζήτωωωω! Ξέρουμε να την λύνουμε! Και τα καλά νέα είναι ότι το γινόμενο των ριζών είναι 1, διότι ΑΒ/ΑΒ = 1. Τελειώσαμε!
Με τα συγκεκριμένα Α, Β της άσκησης η τελική δευτεροβάθμια βγήκε
, και από κει βρήκα τις ρίζες που έγραψα.
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
Υ.Γ.
Τώρα είδα την ωραία εξήγηση του Νίκου, που βασίζεται σε άλλη ιδέα. Τον ευχαριστώ.
Συμπέρασμα: τίποτα ουρανοκατέβατο στα Μαθηματικά.... Όλα έχουν τις αιτίες τους.
Άλλο Μαθηματικά και άλλο Αλχημεία.
. Ο άλλος παράγοντας θα είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου 1. Ας το πούμε 
και επομένως το πολυώνυμο έχει παράγοντα το 
που όντως έχει δύο πραγματικές αντίστροφες ρίζες.