Εκθετική εξίσωση
Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 23, 2011 1:33 pm
Από τον Νίκο Ζανταρίδη (Ρουμανικής προελεύσεως)
Να λυθεί η
Να λυθεί η
Ανs.kap έγραψε:Από τον Νίκο Ζανταρίδη (Ρουμανικής προελεύσεως)
Να λυθεί η
είναι μία λύση της εξίσωσης, με εφαρμογή της ανισότητας ΑΜ-ΓΜ έχουμε ![\displaystyle{3=2^{x-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}}=2^{x-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}-1}\geq 3\sqrt[3]{2^{x+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-3}}\geq 3\sqrt[3]{2^{3\sqrt[3]{x\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}-3}}=3.}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ec42dd164aa1497d755b55a5fca5bcfa.png "\displaystyle{3=2^{x-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}}=2^{x-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}-1}+2^{\frac {1}{\sqrt{x}}-1}\geq 3\sqrt[3]{2^{x+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-3}}\geq 3\sqrt[3]{2^{3\sqrt[3]{x\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}-3}}=3.}")
Άρα πρέπει να ισχύει παντού ισότητα, οπότε
τιμή η οποία ικανοποιεί προφανώς την εξίσωση. Άρα υπάρχει μοναδική λύση η 