mathematica.gr

Παίρνω θάρρος από τις υπέροχες λύσεις των συναδέλφων και τα καλά τους λόγια και δημοσιεύω δυο ακόμα ασκήσεις στα πολυώνυμα διάσημα θέματα την εποχή που έδινα εισαγωγικές στο ΕΜΠ (1973)

Α)Αν διακεκριμένοι ακέραιοι τότε να δείξετε ότι το πολυώνυμο
δεν γράφεται υπό την μορφή όπου τα πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές και τουλάχιστον πρώτου βαθμού

B)Αν οι διαιρέσεις του με τα δίνουν αντίστοιχα υπόλοιπα δείξτε ότι : το είναι παράγοντας του και το είναι παράγοντας του πολυωνύμου Έστω τώρα ότι ισχύουν : και Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Θεωρείστε ότι τα δεν έχουν κοινούς παράγοντες ούτε το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου,(είναι πρώτα μεταξύ τους)

Aπαντώ στο πρώτο θέμα του κυρίου Μπόρη,ως εξής:
Υποθέτουμε πως μπορεί να ισχύει: Ρ(χ)=Α(χ)Β(χ) όπου Α(χ),Β(χ) δύο πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές,βαθμών
κ και ν-κ,αντίστοιχα( κ>=1).Τότε,προφανώς θα ισχύει : Ρ(αi)=A(αi)Β(αi)=-1 για i=1 έως ν (1).
Όμως Α(αi),Β(αi) ακέραιοι.Αρα απο την (1) έχουμε : Α(αi)=1 και Β(αi)=-1 (2) ή Α(αi)=-1 και Β(αi)=1 (3),για κάθε i
απο 1 εώς και ν.Οι (2) και (3) οδηγούν σε άτοπο γιατι τα A(χ),Β(χ) είναι βαθμών κ,ν-κ δηλαδή μικρότερου του ν
και οι εξισώσεις Α(χ)=1 (ή -1) και Β(χ)=1 (ή -1) έχουν ν διαφορετικές ρίζες....
Συνεπώς το Ρ(χ) δε μπορεί να γραφεί ως γινόμενο των Α(χ),Β(χ)....

Καλωσορίζω κι εγώ με τη σειρά μου τον κύριο Μπόρη!

Για την πρώτη:

Ας υποθέσουμε αντίθετα ότι το γράφεται στη μορφή , όπου
Έχουμε δηλαδή . Όμως άρα

για κάθε έχουμε είτε [ και ] είτε [ και ].

Όμως σε κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις έχουμε

, και φυσικά από την άλλη το πολυώνυμο είναι το πολύ βαθμού (αφού καθένα είναι τουλάχιστον πρώτου βαθμού).

Άρα το είναι το μηδενικό πολυώνυμο (αφού μηδενίζεται για περισσότερες από διακεκριμένες τιμές και είναι το πολύ βαθμού). Συνεπώς πρέπει και τότε και από την υπόθεση άρα τελικά

. Όμως εάν θέσουμε ,

τότε ο συντελεστής του του είναι το , ενώ του είναι το , δηλαδή , άτοπο. (ΟΚ, στην πραγματικότητα το είναι ίσο με αφού τα πρέπει να είναι μονικά πολυώνυμα).

Πολύ καλή άσκηση!

Φιλικά,
Αλέξανδρος Συγκελάκης

Η λύση που είχα ετοιμάσει έχει επικαλύψεις με εκείνες του Χρήστου και του Αλέξανδρου. Την ανεβάζω μόνο για τις μικροδιαφορές στην επιχειρηματολογία:

Ας υποθέσουμε ότι με τα να έχουν βαθμούς . Τότε . Αυτό σημαίνει ότι κάθε είναι και το .Χρειαζόμαστε n φορές να εμφανισθεί το -1 σε κάποιο πολυώνυμο και n φορές να εμφανιθεί το +1. Δεν γίνεται και τα δύο πολυώνυμα να γίνουν -1 λιγότερες φορές από τον βαθμό τους διότι τότε θα είχαμε εμφανίσεις του -1 λιγότερες από . Αν κάποιο όμως γίνει -1 περισσότερες φορές από τον βαθμό του θα είναι σταθερό. Συνεπώς κάθε ένα από τα δύο πολυώνυμα θα πρέπει να πάρει την τιμή -1 τόσες φορές όσες ο βαθμός του. Φυσικά το ίδιο επιχείρημα ισχύει και για το 1. 'Αρα τα πολυώνυμα έχουν ρίζες όλους τους To το αυτό ισχύει με και το . καθώς και το άρα και το . Το πολυώνυμο αυτό όμως έχει βαθμό το πολύ (άτοπο)

Μαυρογιάννης

chris_gatos έγραψε:.Οι (2) και (3) οδηγούν σε άτοπο γιατι τα A(χ),Β(χ) είναι βαθμών κ,ν-κ δηλαδή μικρότερου του ν
και οι εξισώσεις Α(χ)=1 (ή -1) και Β(χ)=1 (ή -1) έχουν ν διαφορετικές ρίζες....

Χρήστο έχω μία μικρή ένσταση με τη διατύπωσή σου. Νομίζω ότι το ορθό είναι να πεις ότι :

Τουλάχιστον ένα από τα πολυώνυμα ή ή ή έχει περισσότερες ρίζες απ' ότι ο αντίστοιχος βαθμός του (όχι ν διαφορετικές ρίζες), άρα λοιπόν κάποιο από αυτά είναι το μηδενικό πολυώνυμο συνεπώς κάποιο από τα ή είναι μηδενικού βαθμού άτοπο.

Ακριβώς γι' αυτό το λόγο χρησιμοποίησα το πολυώνυμο στη λύση μου. Για να αποφύγω κάποια (ορθά μεν αλλά μελανά και δυσκολότερο εύκολο να τα διατυπώσεις) σημεία.

Φιλικά,
Αλέξανδρος

Μα στην ουσία το ίδιο λέμε Αλέξανδρε. Ο κοινός παρονομαστής μας είναι το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. Ναι έχεις δίκιο πως έπρεπε να μιλήσω για πολυώνυμα, αλλά νομίζω πως στην ουσία το ίδιο λέω. Σ'ευχαριστώ πολύ!

Χρήστο συγγνώμη αν δε μετέφερα καλά αυτό που ήθελα στο προηγούμενο μήνυμά μου! Εννοούσα ότι το μελανό σημείο που δεν καταλαβαίνει κάποιος είναι το εξής (ανεξάρτητα από τη λέξη "πολυώνυμα" ή "εξισώσεις" - δε μένω σε αυτό):

chris_gatos έγραψε:οι εξισώσεις Α(χ)=1 (ή -1) και Β(χ)=1 (ή -1) έχουν ν διαφορετικές ρίζες

Ποιά ακριβώς πολυώνυμα έχουν ν διαφορετικές ρίζες? Και τα 4 ? Κάποια από αυτά? Τουλάχιστον ένα?
Νομίζω ότι κανένα από τα παραπάνω δεν έχει ν διαφορετικές ρίζες. Το σωστό είναι ότι τουλάχιστον ένα από τα πολυώνυμα έχει περισσότερες ρίζες απ' ότι ο αντίστοιχος βαθμός του (και όχι ακριβώς ν)! Ελπίζω τώρα να σου έδωσα ακριβώς να καταλάβεις αυτό που εννοούσα στο προηγούμενο μήνυμά μου χωρίς να σε κούρασα.

Αλέξανδρος

Την Α) την έλυσα όπως περίπου οι τρεις φίλοι παραπάνω, και δεν υπάρχει λόγος να την γράψω.

Για την Β) έχουμε

Είναι .
Άρα οπότε το διαιρεί το .
Όμοια για την περίπτωση του .

Από το προηγούμενο με , και έπεται ότι
α) το είναι βαθμού το πολύ ,
β) το διαιρεί το
γ) το διαιρεί το .

Άρα για κάποια είναι

(εδώ χρησιμοποιήθηκε το α).

Άρα
Συγκρίνοντας συντελεστές έχουμε τέσσερις γραμμικές εξισώσεις με 4 αγνώστους (οι δύο είναι πολύ απλές).
Έτσι εύκολα βρίσκουμε τα ζητούμενα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Αλέξανδρε,δεν το βλέπω το μελανό σημείο,αλλά συμπάθα με...Αφου υπάρχουν ν διαφορετικοί ακέραιοι που επαληθεύουν και τη μια και την άλλη πολυωνυμική εξίσωση,ταυτόχρονα και έκει στήριξα το άτοπο.Όντως θα ήταν καλύτερο να μιλούσα για πολυώνυμα και όχι για εξισώσεις.