mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 04, 2009 1:16 am**

Ο αριθμός $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ είναι άρρητος ή ρητός ;(Αφορμή για την ερώτηση πήρα από το βιβλίο που έδωσε-πρότεινε - ο Μπάμπης )

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 04, 2009 1:31 am**

Εγω απλά θα αναφέρω το μικρό προβληματάκι που έχουμε με το πρόσημο του % MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaaikdacqGHsisldaGcaaqaaiaaiwdaaS
% qabaaaaa!3427!

% MathType!MTEF!2!1!+-
% feqaeaartrvr0aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn
% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0l
% bbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0R
% Yxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qqQ8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGa
% caGaaeqabaaaamaaaOqaaiaaikdacqGHsisldaGcaaqaaiaaiwdaaS
% qabaaaaa!3427!

\displaystyle
2 - \sqrt 5

.Εδώ λοιπόν θα πρέπει να προσδιορίσουμε το πως θα δουλέψουμε...Ενστερνιζόμενοι της άποψης που λέει πως η κυβική ρίζα του χ ορίζεται για κάθε χ στο R,ή της άλλης που απαιτεί χ>=0;;;;;;;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 04, 2009 1:32 am**

Βασίλη μία ιδέα είναι η ακόλουθη:

Με $x=\root{3}\of{2+\sqrt{5}}$ , $y=\root{3}\of{2-\sqrt{5}}$ είναι
xy=-1

και $x^{3}+y^{3}=4$ . Επίσης $x^{3}+y^{3}\allowbreak =\allowbreak \left( x+y\right) \left( \left( x+y\right) ^{2}-3xy\right)$ οπότε με x+y=u

(ο αριθμός που μας ενδιαφέρει) έχουμε $4=u\left( u^{2}+3\right)$ δηλαδή ο

είναι ρίζα του $u\left( u^{2}+3\right) -4=\allowbreak \left( u-1\right) \left( u^{2}+u+4\right)$ . Αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί πρέπει ο αριθμός μας να είναι ίσος με 1.
Μαυρογιάννης

ΥΓ (Λίγα λεπτά αργότερα) Με την παραπάνω επεξεργασία νομίζω ότι προσπερνάμε το ερώτημα που εύλογα θέτει ο Χρήστος (η άσκηση προέρχεται από εκπαιδευτική πραγματικότητα άλλης χώρας): Οι x,y

απλώς είναι δύο αριθμοί που οι κύβοι τους μας δίνουν $2+\sqrt{5},2-\sqrt{5}$ και θέλουμε να μάθουμε αν ο x+y

είναι ρητός ή αρρητος

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 04, 2009 3:28 am**

bilstef έγραψε:Ο αριθμός $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ είναι άρρητος ή ρητός ;(Αφορμή για την ερώτηση πήρα από το βιβλίο που έδωσε-πρότεινε - ο Μπάμπης )

" Άλλος" τρόπος: Γράφουμε $A = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ .
Υψώνοντας στον κύβο είναι
$A^3 = 2+\sqrt{5}+ 2-\sqrt{5} + 3(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})A$
= 4 -3A

.
Άρα, απορρίπτοντας τις μιγαδικές ρίζες, είναι Α=1.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

mathematica.gr

άρρητος ή ρητός ;

άρρητος ή ρητός ;

Re: άρρητος ή ρητός ;

Re: άρρητος ή ρητός ;

Re: άρρητος ή ρητός ;