mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 09, 2011 8:01 pm**

Να λυθεί η
$\boxed{\displaystyle{\int_{0}^{\frac{dy}{dx}}{\frac{\cos{z}\,dz}{16+9\sin^2z}=\frac{1}{12}\arctan{x}}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 09, 2011 9:47 pm**

Γιατί δεν καταλαβαίνω τίποτα...;

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 09, 2011 10:00 pm**

American mathemetic monthly

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μαρ 09, 2011 11:43 pm**

erxmer έγραψε:Να λυθεί η
$\boxed{\displaystyle{\int_{0}^{\frac{dy}{dx}}{\frac{\cos zdz}{16+9sin^2z}=\frac{1}{12}arctanx}}}$

Έχουμε $\displaystyle{\int_{0}^{f{'}(x)}\frac{\cos z}{16+6\sin^2z}\,dz=(1/12)\tan^{-1}x\stackrel{sin z=y}{\Rightarrow}\tan^{-1}\left((3/4)\sin\left(f{'}(x)\right)\right)=\tan^{-1}x\Rightarrow(3/4)\sin\left(f{'}(x)\right)=x\Rightarrow}$

$\displaystyle{\sin\left(f{'}(x)\right)=4x/3\Rightarrow f{'}(x)=\sin^{-1}4x/3\Rightarrow f(x)=\int\sin^{-1}4x/3\,dx\stackrel{4x/3=y}{=}(3/4)\int\sin^{-1}y\,dy=}$

$\displaystyle{(3/4)y\sin^{-1}y-(3/4)\int\left((1-y^2)^{1/2}\right){'}\,dy=x\sin^{-1}(4x/3)-(1/4)\sqrt{9-16x^2}+c}$ , που επαληθεύει την εξίσωση.

mathematica.gr

Oλοκλήρωμα

Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα