mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 15, 2011 11:49 pm**

'Εστω $N^{ [2] } = A \cup B$ για κάποια σύνολα Α,Β νδο :
i) υπάρχει $M\subset N$ : M άπειρο , και $M^{ [2] } \subset A$ ή $M^{ [2] } \subset B$ .
ii)Κάθε ακολουθία πραγματικών αριθμών περιέχει μια μονότονη ακολουθία .

ΥΓ: (ναί γίνετε και με άλλο τρόπο αλλά για να δούμε και με το λήμμα Ράμση)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 27, 2011 9:19 pm**

Επειδή το θέμα το γνωρίζω δεν θέλω να δώσω την λύση. Να εξηγήσω όμως την ορολογία διότι ίσως να μην είναι κατανοητή.

Αν

ένα σύνολο, τότε με $A^{(2)}$ συμβολίζουμε το σύνολο όλων των υποσυνόλων του

με δύο στοιχεία. Για παράδειγμα $\mathbb{N}^{(2)} = \{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\ldots\}$ .

To (i) λοιπόν ζητάει να δειχθεί ότι αν το $\mathbb{N}^{(2)}$ διαμεριστεί σε δύο μέρη, τότε θα υπάρχει άπειρο υποσύνολο

του $\mathbb{N}$ ώστε το $M^{(2)}$ να είναι υποσύνολο ενός από τα δύο μέρη.

Αυτό είναι το θεώρημα Ramsey στην άπειρη μορφή του. Στην πεπερασμένη μορφή του το έχουμε δει εδώ.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μάιος 23, 2011 12:40 am**

Θα δείξω το (1). Το (2) είναι απλό με γνώση του (1).

Βάφουμε τα στοιχεία του Α κόκκινα και το Β μπλε για ευκολία και υποθέτουμε ότι τα 2-σύνολα είναι ακέραια σημεία που βρίσκονται πάνω απο την διαγώνιο στο 1ο τεταρτημόριο.

Έστω πως δεν υπάρχει μονοχρωματικό $M^{(2)}$ άπειρο.

Λήμμα:
Έστω αύξουσα ακολουθία φυσικών x_n