mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 26, 2011 11:39 am**

Αν $a,b,c \geq 0$ τέτοιοι ώστε a+b+c=1

να αποδείξετε ότι

$\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}\leq \sqrt{2}\left(\sqrt{ab+bc+ca}+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right).$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 26, 2011 7:16 pm**

(Με μικρή επιφύλαξη για τις πράξεις)
Aπο ΒCS για τα $\displaystyle{\left( {\sqrt a ,\sqrt b ,\sqrt c } \right)}$ και $\displaystyle{\left( {\sqrt {a \cdot k} ,\sqrt {b \cdot l} ,\sqrt {c \cdot m} } \right)}$ παιρνω :

$\displaystyle{\left( {a\sqrt k + b \cdot \sqrt l + c \cdot \sqrt m } \right) \le \sqrt {\left( {a + b + c} \right) \cdot \left( {ak + bl + cm} \right)} }$

Ετσι

$\displaystyle{\begin{array}{l} a\sqrt {a + b} + b\sqrt {b + c} + c\sqrt {c + a} \le \sqrt {\left( {a + b + c} \right) \cdot \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \right)} \le \\ \sqrt {2 \cdot \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \end{array}}$
Αναλογικά
$\displaystyle{b\sqrt {a + b} + c\sqrt {b + c} + a\sqrt {c + a} \le \sqrt {2 \cdot \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} }$
και
$\displaystyle{c\sqrt {a + b} + a\sqrt {b + c} + b\sqrt {c + a} \le \sqrt {2 \cdot \left( {ab + bc + ca} \right)} }$

Προσθέτοντας τις τρεις τελευταίες και a+b+c=1 παίρνω το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 27, 2011 7:52 pm**

Η συνάρτηση $f(x)=\sqrt{1-x}$ είναι κοίλη στο διάστημα [0,1]

άρα

$\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c} = f(a)+f(b)+f(c) \leq 3f(\frac{a+b+c}{3}) = \sqrt{3}\sqrt{2}.$

Αρκεί να δείξουμε ότι $\sqrt{ab+bc+ca}+2\sqrt{a^2+b^2+c^2} \geq \sqrt{3}.$

Είναι $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow ab+bc+ca \leq \dfrac{1}{3}.$

Ακόμα $a+b+c=1 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 = 1-2(ab+bc+ca).$

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=\sqrt{x}+2\sqrt{1-2x}$ με $x\in[0,\frac{1}{3}]$

Η

έχει ελάχιστο στο σημείο $x=\frac{1}{3},$ το $g(\frac{1}{3})=\sqrt{3}.$

Άρα $\sqrt{ab+bc+ca}+2\sqrt{a^2+b^2+c^2} = g(ab+bc+ca) \geq \sqrt{3}.$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $a=b=c=\dfrac{1}{3}.$

mathematica.gr

Μια ανισότητα

Μια ανισότητα

Re: Μια ανισότητα

Re: Μια ανισότητα