mathematica.gr

Από το ίχνος του ύψους τριγώνου , φέρω .

Η τέμνει το ύψος στο και η την πλευρά στο

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Είναι γνωστό ότι: για κάθε σημείο Z του ύψους AD το ύψος διχοτομεί τη γωνία EDH. (Θέλει απόδειξη)
Άρα:

Επειδή η DE//AC θα είναι:

Άρα:

και

από τις σχέσεις αυτές προκύπτει το ζητούμενο.

Πρόταση: Σε ένα τραπέζιο, η ευθεία που ορίζεται από το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του και το σημείο τομής των διαγωνίων του,
διχοτομεί τις δύο βάσεις του.

Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη πρόταση, στο τραπέζιο η ευθεία διχοτομεί την
Δηλαδή το είναι το μέσο του

Στο ορθογώνιο τρίγωνο η είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Απόδειξη πρότασης:
Σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, φέρνουμε και έχουμε:

Στο τρίγωνο

Στο τρίγωνο

Από θεώρημα Θαλή:

Άρα

Από θεώρημα Θαλή:

Άρα Όμοια μέσο του

Αναρτώ την βοηθητική πρόταση που χρησιμοποίησα στην απόδειξή μου που λέει ότι:
Αν Μ είναι τυχαίο σημείο του ύψους ΑΔ ενός τριγώνου και Ε, Ζ τα σημεία που οι ΓΜ, ΒΖ
τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα τότε το ύψος ΑΔ διχοτομεί τη γωνία ΕΔΖ.
Απόδειξη:
Αρκεί να δειχθεί ότι ισχύει

όπου Σ και Ρ είναι τα σημεία τομής της παραλλήλου προς τη βάση ΒΓ και των προεκτάσεων των ΔΕ και ΔΖ αντίστοιχα.
Έστω ακόμα τα Κ, Λ τα σημεία τομής της παραλλήλου αυτής με τις προεκτάσεις των ΓΕ και ΒΖ αντίστοιχα.
Από το θεώρημα της δέσμης με κέντρο το σημείο Μ είναι:

Από το ίδιο θεώρημα και με κέντρο το σημείο Ε προκύπτει:

τέλος από το ίδιο θεώρημα και με κέντρο το σημείο Ζ θα είναι:

Από τις σχέσεις (2),(3) και (4) προκύπτει η (1).

Μετά την παραπάνω όμορφη απόδειξη της πρότασης του κ. Κώστα(που τον ευχαριστώ ιδιαίτερα),να δώσω κι εγώ μια λίγο διαφορετική λύση.

Έχουμε λοιπόν τα εξής:

Απο το Η φέρνουμε
Απο την προηγούμενη πρόταση έχουμε οτι (1)
Επίσης (2) ως εντός εναλλάξ
και (3) ως οξείες γωνίες με παράλληλες πλευρές.

Από (1),(2) και (3) έχουμε οτι .
Δηλαδή η HF είναι ύψος και διχοτόμος,άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές!

Μία ακόμη αντιμετώπιση .

Φέρω , κάθετες στην .Από τα όμοια τρίγωνα ,προκύπτει :

(1), ( ισούνται προς τα ύψη των τριγώνων).

Από Θ. Θαλή παίρνω :(2)

Από (1),(2) έχω : , δηλαδή τα τρίγωνα είναι όμοια , οπότε .

Συνέπειες : 1η) Απεδείχθη (με άλλο τρόπο) , ότι :

2η) Επειδή δε (εντός-εκτός και επί τα αυτά) , απεδείχθη ότι το είναι ισοσκελές .

KARKAR έγραψε:Από το ίχνος του ύψους τριγώνου , φέρω . Η τέμνει το ύψος στο και η την πλευρά στο . Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Καλησπέρα. Μια απάντηση εκτός φακέλου σε μια παλιά ανάρτηση του Θανάση. Από θεώρημα Ceva στο και θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι η είναι διάμεσος προς την υποτείνουσα του ορθογωνίου .

KARKAR έγραψε:Από το ίχνος του ύψους τριγώνου , φέρω .Η τέμνει το ύψος στο και η την πλευρά στο .Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της ισοσκελές

Στάθης

KARKAR έγραψε:Από το ίχνος του ύψους τριγώνου , φέρω .

Η τέμνει το ύψος στο και η την πλευρά στο

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Χριστός Ανέστη ,Χρόνια πολλά σε όλους.

Επί το στοιχειωδέστερον τα του Μεγάλου Στάθη .

Στο τραπέζιο η ευθεία ενώνει το σημείο τομής των διαγωνίων του με το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του και άρα διέρχεται από τα μέσα των βάσεων του .

Την απόδειξη της πρότασης κάνει πιο πάνω ο Φίλος ο Μιχάλης.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος προς την υποτείνουσα του ισούται με το μισό της , δηλαδή .

Φιλικά Νίκος