mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 01, 2011 12:09 pm**

Βλέπω μπροστά μου ένα ερώτημα σε φετινό ξένο διαγωνισμό , χωρίς λύση. Το δίνω χωρίς να το έχω ακόμα προσπαθήσει , αν και κάτι μου θυμίζει :

ΑΣΚΗΣΗ

Αν μια συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο IR , να αποδειχθεί ότι υπάρχει

, τέτοιο ώστε :

$\displaystyle f(a) \cdot f'(a) \cdot f''(a)\cdot f ^{(3)}(a) \geq 0$

Μπάμπης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 01, 2011 1:18 pm**

Λήμμα: Έστω δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε g(x) > 0

και

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Τότε υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ ώστε $g{''}(\xi) > 0$ .

Απόδειξη: Αν $g{'}(x) \leqslant g{'}(0)$ για κάθε $x \geqslant 0$ τότε από θεώρημα μέσης τιμής παίρνουμε $g(x) \leqslant g(0) + g{'}(0)x$ για κάθε $x \geqslant 0$ . Βάζοντας x = -g{'}(0)/g(0)

στην πιο πάνω σχέση καταλήγουμε σε άτοπο. Επομένως υπάρχει x > 0

ώστε

. Από άλλη μια εφαρμογή του θεωρήματος μέσης τιμής καταλήγουμε στο ζητούμενο.

Πόρισμα:
Έστω δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει μια από τις πιο κάτω συνθήκες.
(α) g(x) > 0

και

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
(β) g(x) < 0

και

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
(γ) g(x) < 0

και

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
Τότε υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ ώστε $g{'}(\xi) > 0$ αν ισχύει η συνθήκη (α), $g{'}(\xi) < 0$ αν ισχύει η (β) και $g{'}(\xi) < 0$ αν ισχύει η (γ).

Απόδειξη: Εφαρμόζουμε το λήμμα στην συνάρτηση h(x) = g(-x)

στην περίπτωση (α), h(x) = -g(-x)

στην περίπτωση (β) και h(x) = -g(x)

στην περίπτωση (γ).

Στην άσκηση τώρα. Αν υπάρχει

ώστε είτε η

είτε κάποια από τις παραγώγους της να ισούται με 0 στο

τότε τελειώσαμε. Από Darboux λοιπόν μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε μία από τις συναρτήσεις

f,f{'},f{''},f{''}

είτε είναι παντού θετική είτε παντού αρνητική. Τότε από το λήμμα και το πόρισμα θα ισχύει μια από τις εξής περιπτώσεις: ++++,+-+-,-+-+,----, όπου με +-+- π.χ. συμβολίζουμε την περίπτωση οι f,f{''}

να είναι παντού θετικές και οι

f{'},f{''}

παντού αρνητικές. Αλλά σε όλες τις περιπτώσεις η

ff{'}f{''}f{''}

θα είναι παντού θετική και άρα θα υπάρχει το ζητούμενο

.

Η ίδια απόδειξη δουλεύει για να δείξει και το ακόλουθο:

Έστω

θετικός ακέραιος και έστω

μια

φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ . Τότε υπάρχει $a \in \mathbb{R}$ ώστε $\displaystyle{ \prod_{k=0}^{4n-1}f^{k}(a) \geqslant 0}$ όπου με $f^{(k)}$ συμβολίζουμε την

-οστή παράγωγο της

και με $f^{(0)}$ την συνάρτηση

.

To

στην γενίκευση ήταν λανθασμένο. Διορθώθηκε από το σωστό 4n-1

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 01, 2011 2:04 pm**

Λίγο διαφορετικά

Αν κάποια από τις $\displaystyle{f,f,{'} f{''} ,f^{(3)} }$ μηδενίζεται σε κάποιο πραγματικό αριθμό τότε το ζητούμενο ισχύει.

Έστω ότι οι παραπάνω συναρτήσεις δεν μηδενίζονται οπότε θα διατηρούν πρόσημο στο R .

Λήμμα 1

Αν η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f , διατηρεί πρόσημο στο R , είναι κυρτή και γνησίως μονότονη τότε f(x) > 0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

Απόδειξη(Για την περίπτωση η f να είναι γνησίως αύξουσα, ομοίως και αν η f είναι γνησίως φθίνουσα)

Θα υπάρχει $\displaystyle{ x_o \in R\,\,\,\omega \sigma \tau \varepsilon \,\,\,f{'} (x_o ) > 0\,\,}$ οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle{C_f }$ στο $\displaystyle{ M(x_o ,f(x_0 ))}$ είναι $\displaystyle{ y = f{'} (x_o )(x - x_0 ) + f(x_o )\,}$

Η f είναι κυρτή , άρα για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει $\displaystyle{f(x) \ge f{'} (x_o )(x - x_0 ) + f(x_o )}$ και επειδή $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f{'} (x_o )(x - x_0 ) + f(x_o )} \right) = + \infty \,}$ προκύπτει $\displaystyle{ \,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty }$ . Η f διατηρεί πρόσημο στο R , άρα ισχύει το ζητούμενο.

Λήμμα 2

Αν η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f , διατηρεί πρόσημο στο R , είναι κοίλη και γνησίως μονότονη τότε f(x) < 0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

Απόδειξη( ομοίως )

Έστω τώρα $\displaystyle{F(x) = f(x)f{'} (x)f{''} (x)f^{(3)} (x)\,\,,\,\,x \in R}$

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ να είναι:

$\displaystyle{ (1)\,\,f^{(3)} > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f{''} (x) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\,\,f^{(3)} > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f{''} (x) < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\,\,f^{(3)} < 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f{''} (x) > 0}$ και $\displaystyle{ (4)\,\,f^{(3)} < 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f{''} (x) < 0}$

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω λήματα εύκολα δείχνουμε πως F(x) > 0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

Για παράδειγμα $\displaystyle{(1)\,\,f^{(3)} > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f{''} (x) > 0\,}$

Τότε η f ' είναι κυρτή και γνησίως αύξουσα άρα (λήμμα 1) f '(x) > 0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ οπότε η f είναι κυρτή και γνησίως αύξουσα άρα (λήμμα 1) f (x) > 0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

$\displaystyle{\,(2)\,\,f^{(3)} > 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f{''} (x) < 0\,\,\,}$

Τότε η f ' είναι κυρτή και γνησίως φθίνουσα άρα (λήμμα 1) f '(x) > 0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ οπότε η f είναι κοίλη και γνησίως αύξουσα άρα (λήμμα 2) f (x) < 0 για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

κλπ

Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 01, 2011 3:22 pm**

Θα σας γυρίαω λίγο πίσω (τους παλιούς) όπου ο γραφικός γατούλης έκανε τα πρώτα βηματάκια παρουσίας στο pathfinder-mathematica.

Πιέστε εδώ

Υ.Γ:Όσοι δεν μπορείτε (πιθανολογώ,μπορεί και να μπορείτε!) να το δείτε ή πρέπει να κάνετε εγγραφή στο pathfinder,λέω σαν αναφορά πως πρόκειται
για μία άσκηση που υπάρχει στον Απειροστικό λογισμό του Σ.Ντούγια.

Σ.Σ:Εξαιρετικές οι παρεμβάσεις Κώστα Σερίφη(Κώστα που είσαι;Δεύρο έξω!),Κώστα Τηλέγραφου(Kostas 2000gr) και του Αντώνη(ΑntonisMath),καθώς και η γενίκευση του Νίκου Μαυρογιάννη.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 01, 2011 3:45 pm**

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:...αν και κάτι μου θυμίζει ...

Μπάμπης

Μπάμπη, να βοηθήσω τη μνήμη σου. Είναι θέμα του Putnam (5-12-1998)

mathematica.gr

Τρεις φορές παραγωγίσιμη και ύπαρξη

Τρεις φορές παραγωγίσιμη και ύπαρξη

Re: Τρεις φορές παραγωγίσιμη και ύπαρξη

Re: Τρεις φορές παραγωγίσιμη και ύπαρξη

Re: Τρεις φορές παραγωγίσιμη και ύπαρξη

Re: Τρεις φορές παραγωγίσιμη και ύπαρξη