mathematica.gr

Νδο. Για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχουν φυσικοι αριθμοί x,y,z,w τέτοιοι ώστε

Πρόκειται για το γνωστό θεώρημα Lagrange. Η απόδειξή του υπάρχει σε όλες
τις προχωρημένες Θεωρίες Αριθμών, π.χ. στον Hardy, Introduction to the Theory of Numbers.

Βλέπε και εδώ http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%2 ... re_theorem

Μ.

Ας μου επιτραπεί να αναφέρω οτι η διαπραγμάτευση του θεωρήματος αυτού του Lagrange υπάρχει και στο τεύχος 59 του ετους 2006 του περιοδικού της Ε. Μ. Ε. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄(σελίδες 16-19) από ένα Μεγάλο Μαθηματικό ταλέντο τον Μιχαήλ Ρασσιά. Στην στήλη αυτή τότε γιά τις Μαθηματικές Ολυμπιάδες είχα την τιμή να είχα την επιμέλεια. Και αισθάνομαι όμορφα γιατί τόλμησα, με την δυναμική ύποστήριξη του προέδρου της συντακτικής επιτροπής του περιοδικού Αντώνη Κυριακόπουλου και ανοίχτηκαν οι πόρτες και είχαν γράψει εκεί Συνάδελφοι από όλη την Ελλάδα οπως ο Καρακίτσιος Ηλίας, ο Σκοτίδας Σωτήρης, ο Ρασσιάς Μιχαήλ (ασημένιο Ολυμπιακό Μετάλλιο σε ηλικία 16 ετών) και πολλοί άλλοι, αξιολογότατα άρθρα που προσέφεραν στους διαγωνιζόμενους.

S.E.Louridas

Κι' εδώ http://www.math.ualberta.ca/~mlalin/Lagrange.pdf είναι ένα πολύ καλό άρθρο με στοιχειώδη απόδειξη του θεωρήματος του Lagrange (και όχι μόνον).

Επίσης αν θέλουμε να γράψουμε τον φυσικό αριθμό σαν άθροισμα τετραγώνων τεσσάρων ακεραίων λαμβάνοντας υπόψη όλες τις μεταθέσεις και όλες τις αλλαγές προσήμων

τότε υπάρχουν τρόποι να γίνει αυτό (C.G.J. Jacobi, 24.4.1828).

Η απόδειξή του παραπάνω απαιτεί προηγμένη γνώση Αναλυτικής Θεωρίας Αριθμών και σειρών Theta και Eisenstein. Μια από τις αποδείξεις βρίσκεται στο πολύ καλό βιβλίο

Complex Analysis - Eberhard Freitag & Rolf Busam - Springer - Verlag Berlin Heidelberg 2005, Printed in The Netherlands (σε Αγγλική μετάφραση)