mathematica.gr

Σε τετράπλευρο , που δεν είναι τραπέζιο, οι απέναντι πλευρές προεκτεινόμενες τέμνονται στα σημεία . Να αποδειχθεί ότι:
1) Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων διέρχονται από κοινό σημείο (σχήμα).
2) Τα κέντρα των παραπάνω κύκλων είναι ομοκυκλικά σημεία και ότι το σημείο βρίσκεται κι’ αυτό στον ίδιο κύκλο.
3) Οι προβολές του σημείου στις πλευρές του αρχικού τετραπλεύρου είναι συνευθειακά σημεία..
4) Αν το αρχικό τετράπλευρο είναι εγγράψιμο τότε το σημείο βρίσκεται στην ευθεία (σχήμα 2).

Είναι το γνωστό θεώρημα του Miquel το οποίο είναι μια καλή εφαρμογή των εγγραψίμων τετραπλεύρων.

Αναρτώ τη λύση σε "δόσεις" γιατί δεν μπόρεσα να αναρτήσω όλα μου τα σχήματα.

1ο) Από το πρώτο σχήμα οι γωνίες φ και ω με κορυφή το σημείο Μ μεταφέρονται στο τρίγωνο ΑΒΕ και συνεπώς το άθροισμα
ω+φ είναι γωνία παρ/κή της Β. Άρα το τετράπλευρο ΒCMZ είναι εγγράψιμο. Άρα ο περιγεγραμμένο κύκλος στο τρίγωνο BCZ
διέρχεται από το σημείο Μ. Όμοια εργαζόμαστε και για τους άλλου κύκλου.

2ο) Στο δεύτερο σχήμα η γωνία ω με κορυφή το σημείο Μ είναι ίση με τη γωνία Κ1 του τετραπλεύρου Κ1Κ2Κ4Κ3. Αν η γωνία Κ4
είναι ίση με θ τότε η παραπληρωματική της με κορυφή το σημείο Μ είναι ίση με ω. Συνεπώς:

Άρα το τετραπλευρο Κ1Κ2Κ4Κ5 είναι εγγράψιμο.

3ο) Στο τρίτο σχήμα έχουμε:

και

Άρα:

που σημαίνει ότι το τετράπλευρο ΜΚ2Κ4Κ3 είναι εγγράψιμο. Άρα το σημείο Μ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραπλεύρου Κ1Κ2Κ4Κ3.

4ο Στο τέταρτο σχήμα φαίνεται το γεγονός πως οι προβολές του σημείου Μ ορίζουν τις τέσσερις ευθείες του Simson που ανά δύο ταυτίζονται διότι έχουν δύο έχουν δύο κοινά σημεία η μια με την άλλη.

Επειδή πλησιάζουν οι αντίστοιχες εξετάσεις επιλογής θα απαντήσω με βάση το γεγονός των υψηλών Μαθηματικών γνώσεων που έχουν οι διαγωνιζόμενοι αυτής της φάσης. Επιγραμματικά λέω ότι ο Σεραφείμ κανόνισε ένα « Ραντεβού» μεταξύ των Miguel και Simson τουλάχιστον.
Άρα το ερώτημα (1) αφορά το πρώτο μέρος του θεωρήματος του Miguel, (***)αφού βέβαια προηγηθεί η αναφορά ότι θα υπάρχει Υποχρεωτικώς και δεύτερο σημείο τομής των δύο «μικρών» κύκλων (ADZ), (DCE) καθότι αν εφάπτονταν στο D οι χορδές ΑΖ, CE θα όριζαν παράλληλους φορείς πράγμα άτοπο καθότι τέμνονται στο σημείο Β. Από εκεί και μετά τα πράγματα είναι γνωστά από το συγκεκριμμένο θεώρημα που οι διαγωνιζόμενοι τουλάχιστον στους διεθνείς διαγωνισμούς το χρησιμοποιούν χωρίς απόδειξη.
Εννοείται ότι ο λύτης γνωρίζει πώς όταν έχουμε τεμνόμενους κύκλους ,πάντα θεωρούμε την κοινή τους χορδή (την φέρουμε) όπως επίσης στους εφαπτόμενους κύκλους φέρουμε την κοινή τους εφαπτομένη με όλα τα θεωρητικά ντοκουμέντα που έχουμε, π.χ. την καθετότητα της διακέντρου στην κοινή χορδή που δημιουργεί προϋποθέσεις εγγραψίμμων τετραπλεύρων κ.λ.π..
Το (2) προκύπτει από το γεγονός ότι έχουμε:

Το (3) είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος του Simson (που επίσης χρησιμοποιείται χωρίς απόδειξη): Τα ίχνη των καθέτων στις πλευρές τριγώνου από σημείο της περιγεγραμμένης του περιφέρειας βρίσκονται στην ίδια ευθεία.
Το (4) προκύπτει από το γεγονός:

Η αντίστροφη διαδικασία είναι επίσης γεγονός.

(*)
Τό ανάρτησα σχεδόν ταυτόχρονα με τον Κώστα οπότε ήδη το θέμα έχει καλυφθεί πλήρως και συνεπώς απλά το αφήνω θέλοντας να επισημάνω ότι πρέπει να αναφερθούμε στο σημείο (***) που ανέφερα παραπάνω.
Ευτυχείς συμπτώσεις!!!

S.E.Louridas

5ο Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΒCD είναι:

που δηλώνει ότι Ζ,Μ, Ε είναι συνευθειακά.

Σημείωση:

Παρόλο που πλατείασα σε σχήματα ήμουν λιτός στις γεωμετρικές εκφράσεις. Πιστεύω όμως
να είναι κατανοητά. Κατάφερα πάντως να σας κουράσω.


Κώστας Δόρτσιος