mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 4:39 pm**

Βρήκα μία άσκηση στη διάταξη αριθμών (απλές ανισοτικές σχέσεις) σε ένα σχολικό βοήθημα. Είναι απλή αλλά την μοιράζομαι μαζί σας γιατί είμαι περίεργος με πόσους τρόπους μπορεί να λυθεί.

Να δείξετε ότι $\sqrt{a^2+1} > a ,\forall a \in R$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 4:51 pm**

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 5:56 pm**

Ας δούμε και εδώ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 6:00 pm**

Διαφορετικά, με περιπτώσεις:

Αν $\displaystyle{a<0}$ ισχύει, αφού το πρώτο μέλος είναι θετικό ενώ το δεύτερο αρνητικό.

Αν $\displaystyle{a>0}$
$\displaystyle{\sqrt{a^2+1}>a \Leftrightarrow a^2+1>a^2 \Leftrightarrow 1>0}$ που ισχύει.

(Με πρόλαβε ο Αντώνης, γιατί νομίζω αναφέρετε και στο θέμα που δίνει)

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 09, 2011 6:13 pm**

Ευχαριστώ για τις άμεσες απαντήσεις σας. Με διαφωτίσατε κυριολεκτικά καθώς η λύση μου είναι αρκετά "χαζή". Την αναρτώ, απλά και μόνο, για να είναι συγκεντρωμένες όλες οι δυνατές προσεγγίσεις.

$\displaystyle {\sqrt{a^2 + 1} > a \Leftrightarrow a^2 + 1 > a \sqrt{a^2 + 1} \Leftrightarrow 2a^2 + 2 - 2a\sqrt{a^2 + 1} > 0 \Leftrightarrow a^2 + 1 -2a\sqrt{a^2 + 1} + a^2 + 1 > 0 \Leftrightarrow (\sqrt{a^2 + 1} - a)^2 + 1 > 0}$

mathematica.gr

Διάταξη αριθμών

Διάταξη αριθμών

Re: Διάταξη αριθμών

Re: Διάταξη αριθμών

Re: Διάταξη αριθμών

Re: Διάταξη αριθμών