mathematica.gr

Το συνημμένο περιέχει μια εργασία μου με θέμα « ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ ΛΑΘΩΝ ΠΟΥ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΙΝΟΥΝ ΣΕ ΜΙΑ ΛΥΣΗ». Την εργασία αυτή την έχω παρουσιάσει σε πολλές πόλεις της Ελλάδας( Λαμία-Συνέδριο της Ε.Μ.Ε.2005, Μεσολόγγι, Πάτρα κτλ.). Στην εργασία αυτή παρουσιάζω τους τρόπους, με βάση τη Μαθηματική Λογική, με τους οποίους μπορούμε να αποδείξουμε μια πρόταση στα μαθηματικά, όπως επίσης και τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να εργαστούμε για να βρούμε ένα μαθηματικό αντικείμενο ( αριθμό, συνάρτηση, διάνυσμα κτλ.). Στη συνέχεια, επισημαίνω λάθη που μπορεί να γίνουν σε μια λύση.
Νομίζω ότι είναι πολύ σημαντικό, όταν έχουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα, να ξέρουμε τους τρόπους με τους οποίους μπορούμε να εργαστούμε.
Με την δημοσίευση αυτή εκπληρώνω μια υπόσχεση που είχα δώσει στους φίλους μου Κώστα Σερίφη και Μπάμπη Στεργίου.

Ένα ακόμα Ευχαριστώ στον Αντώνη Κυριακόπουλο για την προσφορά του.

Θεωρώ σημαντική - χρήσιμη αυτή την εργασία για όλους μας. Το μαθηματικό, τον μαθητή που θέλει να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά, τον οποιονδήποτε που του αρέσουν τα Μαθηματικά και θέλει να μάθει την τέχνη τους.
Τυπώστε τη και διαβάστε τη με προσοχή.
Η πρώτη σκέψη των περισσοτέρων συναδέλφων, ενδεχομένως, να είναι: Εντάξει, όλα αυτά γνωστά μου είναι!
Η δεύτερη θα πρέπει να είναι ένα ερώτημα: Τα εφαρμόζω όταν λύνω μια άσκηση, όταν θέλω να διδάξω τα Μαθηματικά, όταν γράφω - δημιουργώ ένα μαθηματικό ερώτημα ή μια άσκηση;
Ακόμα, μπορεί να αναρωτηθεί κάποιος: είναι τόσο απαραίτητη η εφαρμογή τους ή κάνουν περίπλοκη την διδασκαλία των Μαθηματικών.
Φαντάζομαι, στο τελευταίο ερώτημα, απάντησαν καταφατικά οι μαθηματικοί που μας συμβούλεψαν να αφαιρέσουμε τρία - τέσσερα σύμβολα των Μαθηματικών από τη διδασκαλία τους.... - μπερδεύουν τους μαθητές!
Δεν συμφωνώ.
-Ποια είναι η απάντηση;
Αυτό που ο Αντώνης γράφει στον επίλογο της εργασίας του.
"...δεν ισχυρίζομαι ότι, αν κανείς ξέρει όλα αυτά από τη Μαθηματική Λογική, θα λύνει όλα τα προβλήματα. Ισχυρίζομαι όμως ότι, τότε, θα γνωρίζει σίγουρους τρόπους για να εργαστεί, δεν θα οδηγείται σε εσφαλμένες λύσεις και το σπουδαιότερο θα μπορεί να ελέγχει αν μια λύση είναι σωστή ή όχι"

Αυτό το τελευταίο... κάτι μου θυμίζει μα... δεν μπορώ να θυμηθώ!!!

Αντώνη, να είσαι πάντα καλά.

Αντώνη, σε ευχαριστούμε πολύ !

Προσπάθησα να βάλω την εργασία αυτή σε πολλά σημεία ώστε να μην περάσει απαρατήρητη από κανένα μέλος μας . Την έδωσα ακόμα και σε συγγενικές ιστοσελίδες , ώστε αυτή σου η προσπάθεια, απόσταγμα σκληρής μελέτης και εμπειρίας μιας ολόκληρης ζωής , αφιερωμένης στα μαθηματικά και τον ορθολογισμό, να πιάσει τόπο εκει που πρέπει : στα μυαλά των μαθηματικών !
Να ξέρεις ότι με αυτή σου την προσφορά - δεν θέλω να σε κολακέψω - θα είσαι ,θέλεις δε θέλεις , στο μυαλό μας και θα σε σκεφτόμαστε τουλάχιστον κάθε φορά που μια απόδειξη δεν ..πάει καλά ή μας δίνει αντιφατικά πράγματα .

Μπάμπης

Καλημέρα!
Θέλω κι εγω να ευχαριστήσω τον Αντώνη Κυριακόπουλο για την προσφορά των γνώσεων του προς όφελος όλων μας.
Γνώσεις που αποτελούν το απόσταγμα τόσων χρόνων ενασχόλησης με το αγαπημένο μας αντικείμενο...
Ευχαριστώ Κύριε Αντώνη...

Στις μέρες πού ζούμε επιτυχής πολιτική σημαίνει όχι η προφύλαξη από το αναξιόπιστο ή το αναξιοκρατικό αλλά η πιστή εφαρμογή τού δόγματος "ΠΡΟΣΟΧΗ !!τα κακώς εν οίκω....μη εν δήμω"(η άποψη της ανασφάλειας και της αναξιοκρατείας πού σε κάποιες μάλλιστα περιπτώσεις αυτό επιδιώκεται μέσα από την γνώμη-φωνή της ανωνυμίας ).
Σέ τέτοιες μέρες το νά βρίσκεται ένας διακεκριμένος επιστήμονας όπως ο Αντώνης Κυριακόπουλος να προσφέρει στην Μαθηματική Κοινότητα απλόχερα την επιστημονική του γνώση καί τις εμπειρίες του, είναι μία απάντηση στην πρόκληση της εποχής μας.
Μέ την ελπίδα καί άλλων τέτοιων προσφορών απο τον Αντώνη
Σωτήρης Ε.Λουρίδας

Ένα ακόμα Ευχαριστώ στον Αντώνη Κυριακόπουλο για την προσφορά του !!!

και να πω βέβαια ότι
άλλο να τα διαβάζεις στο χαρτί και άλλο να έχεις την τύχη να τον ακούς να σου τα εξηγεί από κοντά και να απαντάει στις απορίες σου

αυτή την τύχη την έχω και ξανά τον ευχαριστώ
---

κε Αντώνη
το καλοκαίρι έφτασε και ο καφές στην πλατεία μας περιμένει...

Ευχαριστούμε κ. Κυριακόπουλε για την προσφορά σας...
Μας βοηθάτε να βελτιωνόμαστε, να γινόμαστε καλύτεροι, να ανεβαίνουμε επίπεδο, ώστε να μπορούμε καμιά φορά και να διαφωνούμε μαζί σας !!!

Ευχαριστίες στον Αντώνη Κυριακόπουλο που μοιράστηκε μαζί μας την εργασία του. Απλή, κατανοητή, με προσεκτικά διαλεγμένα παραδείγματα. Μια δουλειά προπάντων ωφέλιμη. Από την οποία μπορούν να ωφεληθούν παλιοί και νέοι συνάδελφοι.
Ας μου επιτρέψει ο Αντώνης να προσθέσω κάποιες οδηγίες χρήσεως:
1) Προς όλους τους συναδέλφους: Διαβάστε την
2) Προς όλους τους συναδέλφους: Ξαναδιαβάστε την. Υπάρχουν πράγματα που θα δείτε στην δεύτερη ανάγνωση.
3) Προς τους νέους συναδέλφους: Πάρτε ένα ντοσσιέ Α4. Τυπώστε την εργασία και περάστε την μέσα. 'Οποτε έχετε χρόνο γράψτε καθαρά κάποια απόδειξη που κάνατε ή είδατε και νομίζετε ότι είναι αξιοπρόσεκτη. Προαπαθείστε να την εντάξετε στην εργασία του Αντώνη, ολόκληρη ή μέρος της. Περάστε την στο ντοσσιέ. 'Οσο οι σελίδες αυξάνουν ένα μέρος από την συμπυκνωμένη πείρα της εργασίας θα περνάει σε σας.
4) Προς τους σχολικούς συμβούλους: Αν θεωρείτε τους εαυτούς σας συναδέλφους μας θα έχετε σταθεί στα σημεία 1), 2). Αν όχι πηγαίνετε στα σημεία 1) 2) και μετά στην επόμενη γραμμή:
'Εχοντας διαβάσει την εργασία μήπως θα πρέπει να σκεφτείτε να κάνετε κάποια εξ΄ίσου χρήσιμη εισήγηση στους συναδέλφους της περιφέρειας σας; Να χαρείτε όχι άλλες διαθεματικές, βιωματικές, διεπιστημονικές, διαπολιτισμικές, ομαδοσυνεργατικές μπούρδες. και κυρίως όχι άλλο κάρβουνο στη φουφού των μαθησιακών δυσκολιών. Σε μαθηματικούς απευθύνεστε διάβολε όχι σε νοσοκόμες.

Αντώνη ευχαριστούμε και πάλι
Μαυρογιάννης

Ένα μεγάλο ευχαριστώ.
Θα ήθελα βέβαια με αφορμή αυτή την εργασία να τονίσω ότι η δουλειά μας, και περισσότερο
αυτή των μαθητών, είναι πολύ δύσκολη απέναντι σε ζητήματα μαθηματικής λογικής αφού πλέον
δε διδάσκονται καν οι διαφορές μεταξύ της ισοδυναμίας και της συνεπαγωγής!!! Οι μαθητές
χρησιμοποιούν μόνο την ισοδυναμία και ας είναι λάθος τις περισσότερες των περιπτώσεων!
Με όλο το σεβασμό.

Να ευχαριστήσω και εγώ τον δάσκαλο και φίλο Αντώνη Κυριακόπουλο !

nsmavrogiannis έγραψε:Ευχαριστίες στον Αντώνη Κυριακόπουλο που μοιράστηκε μαζί μας την εργασία του. Απλή, κατανοητή, με προσεκτικά διαλεγμένα παραδείγματα. Μια δουλειά προπάντων ωφέλιμη. Από την οποία μπορούν να ωφεληθούν παλιοί και νέοι συνάδελφοι.
Ας μου επιτρέψει ο Αντώνης να προσθέσω κάποιες οδηγίες χρήσεως:
1) Προς όλους τους συναδέλφους: Διαβάστε την
2) Προς όλους τους συναδέλφους: Ξαναδιαβάστε την. Υπάρχουν πράγματα που θα δείτε στην δεύτερη ανάγνωση.
3) Προς τους νέους συναδέλφους: Πάρτε ένα ντοσσιέ Α4. Τυπώστε την εργασία και περάστε την μέσα. 'Οποτε έχετε χρόνο γράψτε καθαρά κάποια απόδειξη που κάνατε ή είδατε και νομίζετε ότι είναι αξιοπρόσεκτη. Προαπαθείστε να την εντάξετε στην εργασία του Αντώνη, ολόκληρη ή μέρος της. Περάστε την στο ντοσσιέ. 'Οσο οι σελίδες αυξάνουν ένα μέρος από την συμπυκνωμένη πείρα της εργασίας θα περνάει σε σας.
4) Προς τους σχολικούς συμβούλους: Αν θεωρείτε τους εαυτούς σας συναδέλφους μας θα έχετε σταθεί στα σημεία 1), 2). Αν όχι πηγαίνετε στα σημεία 1) 2) και μετά στην επόμενη γραμμή:
'Εχοντας διαβάσει την εργασία μήπως θα πρέπει να σκεφτείτε να κάνετε κάποια εξ΄ίσου χρήσιμη εισήγηση στους συναδέλφους της περιφέρειας σας; Να χαρείτε όχι άλλες διαθεματικές, βιωματικές, διεπιστημονικές, διαπολιτισμικές, ομαδοσυνεργατικές μπούρδες. και κυρίως όχι άλλο κάρβουνο στη φουφού των μαθησιακών δυσκολιών. Σε μαθηματικούς απευθύνεστε διάβολε όχι σε νοσοκόμες.

Αντώνη ευχαριστούμε και πάλι
Μαυρογιάννης

Με αφορμή τη διαμάχη.....(scripta manent)
Πως αλλάζουν τα πράγματα σε ενα χρόνο! Κύριε Μαυρογιάννη σας προτείνω να κάνετε ότι μας προτείνατε κι εσείς πριν από ενα περίπου χρόνο. Ειδικά στις σελιδες 16-17. Αν είχατε πέρυσι κάποια ένσταση έπρεπε να μας την πείτε τότε και όχι τώρα.

christodoulou έγραψε:Με αφορμή τη διαμάχη.....(scripta manent)
Πως αλλάζουν τα πράγματα σε ενα χρόνο! Κύριε Μαυρογιάννη σας προτείνω να κάνετε ότι μας προτείνατε κι εσείς πριν από ενα περίπου χρόνο. Ειδικά στις σελιδες 16-17. Αν είχατε πέρυσι κάποια ένσταση έπρεπε να μας την πείτε τότε και όχι τώρα.

Κύριε Χριστοδούλου
Συγχωρείστε με αλλά αν παρέλειψα κάτι πέρυσι αλλά και πριν τρεις μήνες, πριν ένα μήνα, πριν μία βδομάδα ή και σήμερα ακόμη ήταν η παρότρυνση να διαβάζουμε προσεκτικά, να κρίνουμε με μέτρο και να χαριτολογούμε με σύνεση. Παράλειψη μου διότι δεν φαντάστηκα ότι ήταν απαραίτητη στο πεπαιδευμένο κοινό του mathematica.
Επειδή κατα πώς φαίνεται ο κανόνας αυτός (του να διαβάζουμε προσεκτικά ντε!) σκοντάφτει σε εξαιρέσεις θα ήθελα να επισημάνω ότι:
1) Στις σελίδες 16-17 του αξιόλογου πονήματος του ο Αντώνης Κυριακόπουλος επισημαίνει ότι δε μπορούμε να προχωρήσουμε από την την ισότητα να βρούμε την εργαζόμενοι ως εάν η να ήταν αριθμός. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε για μεμονωμένο αλλά όχι για την . Αυτές είναι εντελώς κοινόχρηστες παρατηρήσεις. Διαφεύγουν όμως από αρκετούς συναδέλφους γιαυτό η εργασία του Αντώνη Κυριακόπουλου είναι χρήσιμη. Αυτός είναι και ο λόγος που είχα μπει στον κόπο να ανεβάσω κάποιες ασκήσεις στο παλιό mathematica που η συζήτηση τους καταγράφεται εδώ: 2) Στο σημείωμα του που περιέχεται στο θέμα viewtopic.php?f=46&t=7228 ο Αντώνης Κυριακόπουλος ούτε λίγο ούτε πολύ σημειώνει ότι στην επίλυση της εξίσωσης για δοθέν και ως προς δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Θεωρώ ότι αυτό δεν είναι σωστό.
3) Στ' αλήθεια που είναι η αντίφαση και για ποιο πράγμα έπρεπε να να προειδοποιήσω (αλήθεια ποιόν;) πριν ένα χρόνο;
4) Θα ήθελα να προσθέσω ότι κάποιοι από μας πρέπει να συμβιβαστούν στην ιδέα ότι δεν υπάρχουν άνθρωποι που έχουν σε όλα δίκιο. Οι άνθρωποι ενίοτε σφάλλουν χωρίς αυτό να μειώνει την αξία τους και την προσφορά τους. Και επομένως μπορούμε να επαινούμε κάτι καλό που έπραξαν χωρίς να υποχρεούμεθα να αναλάβουμε εργολαβικά την υπεράσπιση της όποιας ατυχούς κρίσης τους. Και αυτό ισχύει για όλους προς ολους.
5)

christodoulou έγραψε:Πως αλλάζουν τα πράγματα σε ενα χρόνο!

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα που επιβεβαιώνουν αυτή την φράση. Ωστόσο το συγκεκριμένο παράδειγμα που παρατίθεται από τον κύριο Χριστοδούλου είναι ατυχές. Δεν προκύπτει καμία αλλαγή γνώμης. Ας μην χαλάσουμε την συλλογή μας. Δεν πειράζει. Θα βρούμε ένα άλλο: Σε ένα ακριβώς χρόνο από τώρα κάποια μέλη μας να μας δώσουν δείγματα ότι μπορούν να διαβάζουν ένα κείμενο προσεκτικά.
Μαυρογιάννης

Ούτε διαμάχη είναι Ούτε Δικαστήριο.
Είναι Επιστημονικός διάλογος και σε αυτό το επίπεδο πρέπει να κρατηθεί.Μήν ξεχνάμε οτι παρακολουθούν Μαθητές και φοιτητές!!!!! Καλό λοιπόν είναι να απαντάμε σαν αυτό που είμαστε και οι παρακολουθούντες αισθάνονται και κρίνουν τι αντανακλάται από τόν καθένα μας και μας τοποθετούν ανάλογα. Μήν υποτιμάμε αυτούς που μας παρακολουθούν,αφού υπάρχει το ενδεχόμενο να είναι επιστημονικά και πάνω από εμάς.Επαναλαμβάνω οι αξίες στην επιστήμη αντανακλώνται δέν επιβάλλονται.Τι πιστεύει ο καθένας γιά τον εαυτό του είναι προσωπικό του θέμα και υπόθεση μελέτης άλλης επιστήμης.Εμείς εδώ στο mathematica θα πρέπει να διατηρήσουμε το υψηλώτατο Μαθηματικό και ηθικό επίπεδο που υπάρχει γιατί το ''γκρέμισμα'' είναι ευκολώτερο από το κτίσημο.

Σ.Ε.Λουρίδας

christodoulou έγραψε: Με αφορμή τη διαμάχη.....(scripta manent)
Πως αλλάζουν τα πράγματα σε ενα χρόνο! Κύριε Μαυρογιάννη σας προτείνω να κάνετε ότι μας προτείνατε κι εσείς πριν από ενα περίπου χρόνο. Ειδικά στις σελιδες 16-17. Αν είχατε πέρυσι κάποια ένσταση έπρεπε να μας την πείτε τότε και όχι τώρα.

Διάβασα επισταμένως τις σελίδες που αναφέρεις και δεν είδα κανένα λάθος. Δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. Επειδή ο κ. Μαυρογιάννης δεν συμφωνεί σε κάποιο σημείο με τον κ. Κυριακόπουλο, αυτό σημαίνει ότι δεν συμφωνεί με όλα όσα έχει πει και έχει γράψει;

Πράγματι, δεν υπάρχει καμμιά προσωπική διαμάχη.

Σε ότι με αφορά, επειδή ήμουν ένας από αυτούς που επίμονα υποστήριξε την ορθότητα της λύσης του Αλέξανδρου, έχω να πω τα εξής:

Εκτός από τον κ. Λάμπρου, δεν γνώριζα κανέναν σε προσωπικό επίπεδο πριν συμμετάσχω στο forum. Δεν έχω λοιπόν προσωπικά με κανέναν.

Παρακολουθώ πάντα με προσοχή τα γραφόμενα, και από αυτά που διαβάζω θεωρώ ότι είμαστε τυχεροί που υπάρχουν πάρα πολλοί αξιόλογοι συνάδελφοι στο forum.

Στο συγκεκριμένο θέμα για τη λύση του Αλέξανδρου απάντησα λόγω της ευαισθησίας του. Δεν έχω ούτε μαθητές που θα βαθμολογηθούν, ούτε κάποιο άλλο προσωπικό όφελος. Άλλωστε πως θα μπορούσα να υποστηρίξω την αλήθεια στα μαθηματικά και να πείσω με μόνο κίνητρο το προσωπικό όφελος;

Ούτε θυμάμαι να έχω διδάξει τη συγκεκριμένη χρήση της διακρίνουσας ή μη σε φοιτητές, διότι ποτέ δε μπορούσα να φανταστώ ότι κάτι τέτοιο είναι "βαθύ" και "δυσνόητο".

Δεν είναι ότι βλέπω επιφανειακά το θέμα ή ότι δεν γνωρίζω από ποσοδείκτες, ούτε ότι προσπαθώ να φέρω τα μαθηματικά στα μέτρα μου. Κανείς δεν είπε ότι δεν χρειάζονται οι ποσοδείκτες ή ότι η διακρίνουσα λύνει τα πάντα- τα όρια της χρήσης της τέθηκαν ξεκάθαρα πολλές φορές. Δεν ξέρω πως θα μπορούσα να γίνω πιο σαφής.

Ως γνωστό, "γηράσκω αεί διαδασκόμενος". Όλοι μας διδασκόμαστε από τους άλλους είτε έχουμε διδακτορικά και πλούσιες σπουδές και προϋπηρεσία είτε έχουμε δεκαετίες στις αίθουσες και σημαντικότατη εμπειρία. Όλοι μας!

Κι όλοι μας έχουμε δικαίωμα στο λάθος! Μόνο που αν μας το υποδεικνύουν με επιχειρήματα, οφείλουμε να αναρωτηθούμε μήπως κάνουμε εμείς λάθος και τότε θα πρέπει με παρησσία να αναθεωρήσουμε τις απόψεις μας. Όσα χρόνια κι αν τις πιστεύαμε, όσο σθεναρά κι αν τις υπερασπιστήκαμε.

Δεν έχει δίκιο ο κ. Κυριακόπουλος, απλώς και μόνο επειδή είναι ο κ. Κυριακόπουλος, ούτε εγώ και ο κ. Μαυρογιάννης επειδή είμαστε εμείς. Δε θα είχα κανένα πρόβλημα να παραδεχτώ δημόσια ότι έκανα λάθος στο συγκεκριμένο ζήτημα.
Έχω δει σπουδαίους μαθηματικούς να κάνουν λάθη σε ομιλίες τους και να ανακαλούν σε κατάμεστα ακροατήρια όταν κάνουν κάποιο λάθος κι έχω παραδειγματιστεί από τις πράξεις τους.

Με συγχωρείτε αν σας κούρασα...

Φιλικότατα,

Αχιλλέας

Υ.Σ. Η επικοινωνία μέσω internet έδειξε για άλλη μια φορά τις αδυναμίες της. Με χαρτί και μολύβι ή με πίνακα και κιμωλία σε μια αίθουσα τα πράγματα θα ήταν όλα πιο εύκολα. Με ανοικτό μυαλό και καλύτερη επικοινωνία, η αλήθεια δε μπορεί παρά να γίνει παραδεκτή.

achilleas έγραψε:...Κι όλοι μας έχουμε δικαίωμα στο λάθος! Μόνο που αν μας το υποδεικνύουν με επιχειρήματα, οφείλουμε να αναρωτηθούμε μήπως κάνουμε εμείς λάθος και τότε θα πρέπει με παρησσία να αναθεωρήσουμε τις απόψεις μας. Όσα χρόνια κι αν τις πιστεύαμε, όσο σθεναρά κι αν τις υπερασπιστήκαμε.

Δεν έχει δίκιο ο κ. Κυριακόπουλος, απλώς και μόνο επειδή είναι ο κ. Κυριακόπουλος, ούτε εγώ και ο κ. Μαυρογιάννης επειδή είμαστε εμείς. Δε θα είχα κανένα πρόβλημα να παραδεχτώ δημόσια ότι έκανα λάθος στο συγκεκριμένο ζήτημα.
Έχω δει σπουδαίους μαθηματικούς να κάνουν λάθη σε ομιλίες τους και να ανακαλούν σε κατάμεστα ακροατήρια όταν κάνουν κάποιο λάθος κι έχω παραδειγματιστεί από τις πράξεις τους.

Υ.Σ. Η επικοινωνία μέσω internet έδειξε για άλλη μια φορά τις αδυναμίες της. Με χαρτί και μολύβι ή με πίνακα και κιμωλία σε μια αίθουσα τα πράγματα θα ήταν όλα πιο εύκολα. Με ανοικτό μυαλό και καλύτερη επικοινωνία, η αλήθεια δε μπορεί παρά να γίνει παραδεκτή.

Προσωπικά, δέν θά μπορούσα παρά να συμφωνήσω μέ τήν συνολική τοποθέτηση. Δέν νομίζω ότι υπάρχει "δεύτερη οδός".
Πόσοι όμως είμαστε σέ θέση -καί σέ διάθεση- νά θέσουμε υπό κριτική καί δημιουργική αμφισβήτηση ακόμα καί αυτά πού θεωρούμε ώς καλώς γνωστά;

achilleas έγραψε:...Υ.Σ. Η επικοινωνία μέσω internet έδειξε για άλλη μια φορά τις αδυναμίες της. Με χαρτί και μολύβι ή με πίνακα και κιμωλία σε μια αίθουσα τα πράγματα θα ήταν όλα πιο εύκολα. Με ανοικτό μυαλό και καλύτερη επικοινωνία, η αλήθεια δε μπορεί παρά να γίνει παραδεκτή.

Αχιλλέα,

δέν συμφωνώ, όσον αφορά τήν συγκεκριμένη "αδυναμία" τής επικοινωνίας μέσω διαδικτύου. Μπορώ κάλιστα νά φανταστώ μαθηματικούς πού δέν θέλουν -καί δέν βρίσκονται- σχεδόν ποτέ μπροστά σέ πίνακα μέ συναδέλφους γιά τήν "αναζήτηση τής αλήθειας". Δέν φταίει τό μέσον, ευθύνονται οί άνθρωποι.
Τουναντίον, τό διαδίκτυο έχει, ώς γνωστόν, τήν εξαίσια ιδιότητα νά "εκθέτει χωρίς τά ρούχα τού βασιλιά" καί μάλιστα -μερικές φορές- παρά τήν τήν εντύπωσή μας ότι εμείς είμαστε "ντυμένοι".

Ένα μεγάλο ευχαριστώ και από εμένα στον κ. Κυριακόπουλο για την εθελοντική προσφορά του σε όλους μας και ας μην τον γνωρίζω προσωπικά παρά μόνο από κάποια Συνέδρια της ΕΜΕ που τον έχω ακούσει.
Για το επίκαιρο θέμα με την διακρίνουσα εγώ είχα την ίδια άποψη πριν να γνωρίζω κανενός άλλου τις απόψεις από το ίδιο πρωί στο ειδικό βαθμολογικό που σκεφτήκαμε αυτήν την λύση κι από κοινού με κάποιο συνάδελφο την απορρίψαμε γιατί έχει προβλήματα. Δεν πρέπει να έχουμε μια άποψη μόνο και μόνο γιατί την είπε κάποιος που συμπαθούμε ( ή κατά τους Πυθαγόρειους "αυτός έφα").Κατόπιν είδα στο Forum το θέμα να διογκώνεται αλλά δεν είχα αυτή την άποψη με σκοπό να στηρίξω κάποιον. Μιλάμε επώνυμα παίρνοντας ρίσκο να εκτεθούμε αλλά μόνο από κάποιους κακοπροαίρετους. Ευτυχώς είναι ελάχιστες αυτές οι περιπτώσεις και τελικά πρέπει να νιώθουμε τυχεροί που έχουμε τέτοια μέλη στο mathematica σαν τον κ. Κυριακόπουλο και πολλούς άλλους που μας προσφέρουν τόσα. Ειδικά εμείς εδώ στην Ρόδο είμαστε πολύ λίγοι και χωρίς πολύ χρόνο ελεύθερο για τέτοιες συζητήσεις και ανταλλαγές απόψεων.
Ευχαριστώ ξανά...

achilleas έγραψε:Πράγματι, δεν υπάρχει καμμιά προσωπική διαμάχη.
Σε ότι με αφορά, επειδή ήμουν ένας από αυτούς που επίμονα υποστήριξε την ορθότητα της λύσης του Αλέξανδρου, έχω να πω τα εξής:
Εκτός από τον κ. Λάμπρου, δεν γνώριζα κανέναν σε προσωπικό επίπεδο πριν συμμετάσχω στο forum. Δεν έχω λοιπόν προσωπικά με κανέναν.
Παρακολουθώ πάντα με προσοχή τα γραφόμενα, και από αυτά που διαβάζω θεωρώ ότι είμαστε τυχεροί που υπάρχουν πάρα πολλοί αξιόλογοι συνάδελφοι στο forum.
Στο συγκεκριμένο θέμα για τη λύση του Αλέξανδρου απάντησα λόγω της ευαισθησίας του. Δεν έχω ούτε μαθητές που θα βαθμολογηθούν, ούτε κάποιο άλλο προσωπικό όφελος. Άλλωστε πως θα μπορούσα να υποστηρίξω την αλήθεια στα μαθηματικά και να πείσω με μόνο κίνητρο το προσωπικό όφελος;
Ούτε θυμάμαι να έχω διδάξει τη συγκεκριμένη χρήση της διακρίνουσας ή μη σε φοιτητές, διότι ποτέ δε μπορούσα να φανταστώ ότι κάτι τέτοιο είναι "βαθύ" και "δυσνόητο".
Δεν είναι ότι βλέπω επιφανειακά το θέμα ή ότι δεν γνωρίζω από ποσοδείκτες, ούτε ότι προσπαθώ να φέρω τα μαθηματικά στα μέτρα μου. Κανείς δεν είπε ότι δεν χρειάζονται οι ποσοδείκτες ή ότι η διακρίνουσα λύνει τα πάντα- τα όρια της χρήσης της τέθηκαν ξεκάθαρα πολλές φορές. Δεν ξέρω πως θα μπορούσα να γίνω πιο σαφής.
Ως γνωστό, "γηράσκω αεί διαδασκόμενος". Όλοι μας διδασκόμαστε από τους άλλους είτε έχουμε διδακτορικά και πλούσιες σπουδές και προϋπηρεσία είτε έχουμε δεκαετίες στις αίθουσες και σημαντικότατη εμπειρία. Όλοι μας!
Κι όλοι μας έχουμε δικαίωμα στο λάθος! Μόνο που αν μας το υποδεικνύουν με επιχειρήματα, οφείλουμε να αναρωτηθούμε μήπως κάνουμε εμείς λάθος και τότε θα πρέπει με παρησσία να αναθεωρήσουμε τις απόψεις μας. Όσα χρόνια κι αν τις πιστεύαμε, όσο σθεναρά κι αν τις υπερασπιστήκαμε.
Δεν έχει δίκιο ο κ. Κυριακόπουλος, απλώς και μόνο επειδή είναι ο κ. Κυριακόπουλος, ούτε εγώ και ο κ. Μαυρογιάννης επειδή είμαστε εμείς. Δε θα είχα κανένα πρόβλημα να παραδεχτώ δημόσια ότι έκανα λάθος στο συγκεκριμένο ζήτημα.
Έχω δει σπουδαίους μαθηματικούς να κάνουν λάθη σε ομιλίες τους και να ανακαλούν σε κατάμεστα ακροατήρια όταν κάνουν κάποιο λάθος κι έχω παραδειγματιστεί από τις πράξεις τους.
Με συγχωρείτε αν σας κούρασα...
Φιλικότατα,
Αχιλλέας

Αγαπητέ Αχιλλέα.
1) Ποτέ δεν αντιμετώπισα τις απόψεις στα μαθηματικά σαν προσωπικές διαμάχες.
2) Ποτέ δεν ισχυρίστηκα ότι δεν κάνω λάθη. Αυτό τo έχω γράψει επανειλημμένως στο χώρο αυτό. Έχω γράψει ακόμα ότι , όποιος λέει ότι δεν κάνει λάθη στα μαθηματικά ή μιλάει με το θεό ή δεν ξέρει τι είναι μαθηματικά, ανεξάρτητα με το πόσα χρόνια ασχολείται με αυτά . Επίσης έχω γράψει ότι κανένας δεν τα ξέρει όλα και ότι το να παραδέχεται κάποιος τα λάθη του είναι δύναμη και όχι αδυναμία, όπως νομίζουν μερικοί.
3) Ο χώρος αυτός του mathematica θεωρώ ότι είναι πολύ ωφέλιμος για όλους μας. Όλοι μας έχουμε ωφεληθεί. Άλλος περισσότερο άλλος λιγότερο. Κάποια φορά συζητούσα με ένα συνάδελφο για το mathematica και μου έλεγε ότι το μόνο που έχει κερδίσει από αυτό το χώρο είναι που γνώρισε μερικούς αξιόλογους ανθρώπους( Αυτός που μου το είπε, διαβάζοντας αυτές οι γραμμές, θα αναγνωρίσει τον εαυτόν του) . Όταν τον ρώτησα από μαθηματικής πλευράς δεν έχεις ωφεληθεί τίποτα; Μου απάντησε όχι. Γιατί εσύ έχεις ωφεληθεί ,μου είπε. Έχω ωφεληθεί πάρα πολλά, του απάντησα. Εδώ, πρόσθεσα, πολλές φορές αποκομίζουμε ιδέες συζητώντας με μαθητές. Πόσο μάλλον όταν συζητάμε με συναδέλφους. Στο χώρο αυτό, έχω δει τρόπους που δεν τους είχα σκεφτεί. Έχω δει μεθόδους που μου άρεσαν πάρα πολύ . Έχω δει λύσεις που περιέχουν κάποιες από αυτές τις υπέροχες μαθηματικές κινήσεις που ξαφνιάζουν και γοητεύουν. Αυτός επέμενε στην άποψη του!!! Εγωισμός; Ή κάτι άλλο; Δεν το εξετάζω…
4) Θα ήθελα όμως να μου πεις πιο λάθος έχω κάνει(όχι ότι δεν κάνω λάθη, όπως σου εξήγησα παραπάνω ) σε αυτά που έχω γράψει σχετικά με το θέμα Δ3. Και με περισσότερη σαφήνεια, έχω γράψει τα εξής:
Α. Ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει αποδειχθεί και( και επομένως για τους μαθητές) ισχύει μόνο όταν οι συντελεστές α, β και γ () είναι δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί, ανεξάρτητοι του x.
ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ; Τα σχολικά βιβλία αναφέρουν πουθενά ότι ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ισχύει και όταν οι συντελεστές είναι συναρτήσεις του x; Από πού θα το ξέρει ένας μαθητής για να το εφαρμόσει; Δυστυχώς οι εξετάσεις έχουν ως «ευαγγέλιο» τα σχολικά βιβλία. Ίσως ο τίτλος του μηνύματός μου : « Επειδή δεν πρέπει να περνάνε λανθασμένα μηνύματα» να μην ήταν ο σωστός. Αλλά εκείνο που ήθελα να τονίσω είναι να μην περιμένουμε από τους μαθητές να εφαρμόζουν τύπους που δεν έχουν διδαχθεί. Αλλά αυτό κατά τη γνώμη μου δεν είναι τόσο σοβαρό. Άλλωστε θα μπορούσε ένας μαθητής να εφαρμόσει τον τύπο στο πρόχειρο και να μεταφέρει στο καθαρό τα αποτέλεσμα. Το τόνισα μόνο και μόνο για να μη νιώθουν άσχημα οι μαθητές που σκέφτηκαν να εφαρμόσουν το τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, αλλά δεν το έκαναν σκεπτόμενοι ότι δεν έχει αποδειχθεί. Είναι η «επιφάνεια» που είπα και που μερικοί το παρεξήγησαν . Πάντως αν ήμουν βαθμολογητής δεν θα το έπαιρνα λάθος . Η ουσία όμως είναι αυτό που γράφω παρακάτω.
Β. Αν στις σχέσεις υπάρχουν ποσοδείκτες και δεν τους γράφουμε και ούτε τους υπονοούμε, τότε μόνο κατά σύμπτωση δεν θα φθάσουμε σε λανθασμένο συμπέρασμα. Και στη σχέση που καταλήγαμε στο θέμα Δ3 υπήρχε ο ποσοδείκτης « Για κάθε». Έτσι, αν ένας επιμέριζε το « Για κάθε» στις δύο εκφράσεις του f(x), ανεξάρτητα πώς τους βρήκε, θα έκανε μεγάλο λάθος έστω και αν στη συνέχεια απέρριπτε τη μια περίπτωση.
ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΛΕΩ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ;
5) Αναρωτιέμαι λοιπόν ποιο είναι το λάθος που έχω κάνει. Και τούτο για να το διορθώσω και να ζητήσω και συγνώμη. Δυστυχώς, μερικοί συνάδελφοι χωρίς να έχουν καταλάβει τι θέλω να πω με αυτά που έγραψα, βρήκαν την ευκαιρία να βγάλουν τα απωθημένα τους. Δεν πειράζει. Τους κατανοώ. Εγώ πάντως αυτές τις πενιχρές γνώσεις που έχω θα εξακολουθήσω να τις μοιράζομαι με όλους τους φίλους του mathematica ( και όχι μόνο).
Αγαπητέ Αχιλλέα.
Τελειώνοντας, θέλω να σου πω ότι δεν έχουμε γνωριστεί προσωπικά και δεν ξέρω ποιος είσαι και τι κάνεις. Τον Αλέξανδρο όμως που είχα την τιμή να τον γνωρίσω, είναι ένας θαυμάσιος άνθρωπος με ήθος και διακριτικότητα. Τον αγαπώ, τον εκτιμώ και τον θεωρώ σπουδαίο μαθηματικό. Το έχω πει και στον ίδιο. Και αν φάνηκε ότι με το μήνυμά μου τον προσέβαλα, του ζητώ από αυτή τη στήλη δημόσια συγνώμη.
Με εκτίμηση.

Αγαπητέ κ. Αντώνη,

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: ....
4) Θα ήθελα όμως να μου πεις πιο λάθος έχω κάνει(όχι ότι δεν κάνω λάθη, όπως σου εξήγησα παραπάνω ) σε αυτά που έχω γράψει σχετικά με το θέμα Δ3. Και με περισσότερη σαφήνεια, έχω γράψει τα εξής:
Α. Ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει αποδειχθεί και( και επομένως για τους μαθητές) ισχύει μόνο όταν οι συντελεστές α, β και γ () είναι δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί, ανεξάρτητοι του x.
ΑΥΤΟ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ;

Το ότι έτσι το έχουν διδαχθεί οι μαθητές δεν είναι ανακριβές, έτσι είναι. (δείτε, όμως, και παρακάτω για το ρόλο του και του ). 'Οπως οι μαθητές έχουν διδαχθεί τον τύπο της εύρεσης ριζών με διακρίνουσα αρχίζοντας με συμπλήρωση τετραγώνου κ.τ.λ.

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα, αν θεωρήσουμε το δοθέν, δηλ. αν βάλουμε όποια τιμή για το από το πεδίο ορισμού θέλουμε, προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση με "γνωστούς" συντελεστές και την οποία μπορούμε κάλλιστα να λύσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο με τη διακρίνουσα.

Άλλωστε κι αυτός (ο τύπος) προκύπτει με συμπλήρωση τετραγώνου, παίρνοντας τετραγωνική ρίζα κ.ο.κ. Δεν κάνουμε στην πραγματικότητα τίποτα το διαφορετικό (έως την εύρεση των πιθανών τιμών).

Το ότι το μπορεί να πάρει άπειρες τιμές, δεν έχει απολύτως καμμιά σημασία. Κάθε φορά η "διαδικασία" είναι η ίδια. Δηλ., το ότι η εξίσωση



δίνει τις πιθανές τιμές του , δε χρησιμοποιεί καμμιά ιδιότητα του 2010 άλλη από το ότι είναι δοθέν.
Δεν παραβιάζουμε τίποτα από αυτά που έχουν μάθει οι μαθητές. Κάνουμε, ίσως, μια πιο εξεζητημένη χρήση του τύπου, αλλά δεν παραβιάζουμε την εγκυρότητα του τύπου.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Τα σχολικά βιβλία αναφέρουν πουθενά ότι ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ισχύει και όταν οι συντελεστές είναι συναρτήσεις του x;

Με εννοείται τον άγνωστο στη δευτεροβάθμια .
Στη δευτεροβάθμια,

ή (προσθήκη: και στην )

για δοθέν , ο ρόλος του είναι διαφορετικός- εδώ ο άγνωστος είναι ο ο οποίος μπορεί κάλλιστα να είναι συνάρτηση των συντελεστών της εξίσωσης κι άρα και του (και φυσικά είναι).

Άλλωστε, στην παραπομπή που έκανα στο βιβλίο του Arnold φαίνεται ξεκάθαρα η χρήση του τύπου επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης με διακρίνουσα για μια εξίσωση πολύ πιο "πολύπλοκη".

Προσθήκη: Οι μαθητές επίσης μαθαίνουν κι άλλες χρήσης της διακρίνουσας. Μαθαίνουν ( στη Β' ομάδα) να χρησιμοποιούν τη διακρίνουσα για να παραγτοποιούν εκφράσεις του τύπου ή .

Φυσικά, εδώ τα και έχουν άλλο ρόλο. Ένας εκ των δυο παίζει το ρόλο του αγνώστου της β' θμιας.

Και κάτι άλλο:
Για να δείξουμε ότι για κάθε , τι πειράζει να πάρουμε διακρίνουσα λύνοντας ως προς κι όχι ως προς ?

Θέλω να πω ότι το ως γράμμα της αλφαβήτου μπορεί παραδοσιακά να παίζει τον "πρωταγωνιστικό ρόλο" του "αγνώστου", αλλά μπορούμε ανάλογα με το πρόβλημα να τον κάνουμε κομπάρσο, αν θέλουμε κι αν μας επιτρέπεται, χωρίς να
χαλάμε το "σενάριο" που μας μάθανε σχολείο.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Από πού θα το ξέρει ένας μαθητής για να το εφαρμόσει; Δυστυχώς οι εξετάσεις έχουν ως «ευαγγέλιο» τα σχολικά βιβλία.

Αν δεν το διδαχθεί, ο *μέσος* μαθητής δε θα το ξέρει. Μπορεί να το αποπειραθεί από μόνος του (μόνη της) και άλλοτε να το κάνει σωστά κι άλλοτε λάθος, ανάλογα με τη δυσκολία ή τη λεπτότητα των μαθηματικών ισχυρισμών που πρέπει να επινοήσει.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Ίσως ο τίτλος του μηνύματός μου : « Επειδή δεν πρέπει να περνάνε λανθασμένα μηνύματα» να μην ήταν ο σωστός. Αλλά εκείνο που ήθελα να τονίσω είναι να μην περιμένουμε από τους μαθητές να εφαρμόζουν τύπους που δεν έχουν διδαχθεί. Αλλά αυτό κατά τη γνώμη μου δεν είναι τόσο σοβαρό.

Συμφωνώ σε αυτό. Οι προσδοκίες από τον *μέσο* μαθητή δεν θα έπρεπε να είναι αυτές. Αν και πολλοί μαθητές εδώ μέσα έχουν αποδειχθεί εξαιρετικά ώριμοι. Αλλά αυτοί είναι πιο πάνω από τον μέσο μαθητή.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Άλλωστε θα μπορούσε ένας μαθητής να εφαρμόσει τον τύπο στο πρόχειρο και να μεταφέρει στο καθαρό τα αποτέλεσμα. Το τόνισα μόνο και μόνο για να μη νιώθουν άσχημα οι μαθητές που σκέφτηκαν να εφαρμόσουν το τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, αλλά δεν το έκαναν σκεπτόμενοι ότι δεν έχει αποδειχθεί. Είναι η «επιφάνεια» που είπα και που μερικοί το παρεξήγησαν . Πάντως αν ήμουν βαθμολογητής δεν θα το έπαιρνα λάθος . Η ουσία όμως είναι αυτό που γράφω παρακάτω.
Β. Αν στις σχέσεις υπάρχουν ποσοδείκτες και δεν τους γράφουμε και ούτε τους υπονοούμε, τότε μόνο κατά σύμπτωση δεν θα φθάσουμε σε λανθασμένο συμπέρασμα. Και στη σχέση που καταλήγαμε στο θέμα Δ3 υπήρχε ο ποσοδείκτης « Για κάθε». Έτσι, αν ένας επιμέριζε το « Για κάθε» στις δύο εκφράσεις του f(x), ανεξάρτητα πώς τους βρήκε, θα έκανε μεγάλο λάθος έστω και αν στη συνέχεια απέρριπτε τη μια περίπτωση.
ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΛΕΩ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ;

Όχι, δεν είναι. Και συμφωνούμε απόλυτα εδώ. Κανείς απ'όσο διάβασα- και τα διάβασα όλα με προσοχή- δεν υποστήριξε το αντίθετο. Ανεξάρτητα
πως βρήκε τις εκφράσεις για το , η χρήση του "για κάθε"  θέλει πολλή προσοχή. Τονίζω το "ανεξάρτητα".

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: 5) Αναρωτιέμαι λοιπόν ποιο είναι το λάθος που έχω κάνει.

[/quote]

Το λάθος σας ήταν ότι για την εύρεση των πιθανών τιμών του (για δοθέν ) μοιάζει να αφορίσατε τη χρήση της διακρίνουσας ως λαθεμένη. Δεν είναι.

Προσθήκη: Η λύση του Αλέξανδρου είναι σωστότατη, όπως και η λύση όπως παρουσιάστηκε από τον κ. Μαυρογιάννη. Πέρα από το ήθος, τις γνώσεις και την προσωπικότητα τους. Επιστημονικά κι όχι με ιδιαίτερα βαθμολογικά κριτήρια οι λύσεις αυτές είναι απόλυτα σωστές. Αυτό πρέπει να επισημαίνεται. (τέλος προσθήκης)

Το ότι οι μαθητές εν γένει ή κάποιοι (λίγοι φαντάζομαι) συνάδελφοι δεν μπορούν να χρησιμοποιήσουν αυτή την επιχειρηματολογία σωστά (όπως γράφτηκε), δεν ακυρώνει την ορθότητά της.

Πολλοί συνάδελφοι πολύ πιο έμπειροι από μένα στη διδασκαλία στις σχολικές αίθουσες-
κάποιοι που δημοσίευσαν την άποψη τους εδώ κι άλλοι που επικοινώνησαν μαζί μου τηλεφωνικά ή με προσωπικό μήνυμα- επεσήμαναν πως η χρήση του τύπου εγκυμονεί κινδύνους για το πως θα το χειρισθούν οι μαθητές τους και δήλωσαν την προτίμηση τους στον άλλο τρόπο (για τη εύρεση των πιθανών τιμών, επαναλαμβάνω).

Για να το λένε τόσοι και πιο έμπειροι από μένα με τους μαθητές κάτι ξέρουν.

Πιστεύω πως έπεισα κάποιους από αυτούς για την ισοδυναμία των τρόπων (μέχρι την εύρεση των πιθανών τιμών), αλλά και πάλι μου δήλωσαν την προτίμηση στον άλλον. Κανένα πρόβλημα. Παρά τις προσωπικές προτιμήσεις, η ορθότητα του τύπου επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης παραμένει.


Αγαπητέ κ. Αντώνη,

Κάτι πιο γενικό που δεν αφορά τόσο το συγκεκριμένο ζήτημα:

Στα μαθηματικά, όπως γνωρίζετε πολύ καλύτερα από μένα, συχνά υπάρχουν πολλοί τρόποι για την επίλυση ενός προβλήματος. Κάποιοι τρόποι είναι πιο βραχείς και εξεζητημένοι κι άλλοι πιο μακροσκελείς αλλά ευκολότερα κατανοητοί.

Πολλές φορές, λοιπόν, είναι φυσικό να αποδεχόμαστε ως πιο "σωστό" τον τρόπο που μπορούμε να χειριστούμε και να κατανοήσουμε καλύτερα. Νοιώθουμε πιο ασφαλείς. Είναι προτιμότερο να περπατήσουμε έναν μακρύτερο δρόμο που έχουμε χιλιοπερπατήσει, παρά να επιχειρήσουμε ένα πιο σύντομο που δεν ξέρουμε τις παγίδες του. Κι όταν χρειαστεί να δείξουμε το δρόμο σε άλλους, θεωρούμε πιο σίγουρο να υποδείξουμε τον δρόμο που έχουμε χιλιοπερπατήσει κι όχι τον άλλον που ενδεχομένως να τους οδηγήσει σε παγίδες.

Μου έχει συμβεί πάμπολλες φορές αυτό. Μου έχει τύχει άλλοι (συμφοιτητές, καθηγητές) να προτείνουν ευφυείς προσεγγίσεις σε προβλήματα που αδυνατούσα να τις κάνω γρήγορα κτήμα μου.
(για να μην παρεξηγηθώ, δεν εννοώ ότι η χρήση της διακρίνουσας είναι τέτοιου είδους ευφυής προσέγγιση)
Τις καταλάβαινα, αλλά δεν τις "έννοιωθα" για να τις κάνω "δικές" μου. Και στην επόμενη προσπάθεια επίλυσης παρόμοιων ή αντίστοιχων προβλημάτων αρκετές φορές έπαιρνα το δρόμο που αισθανόμουν πιο ασφαλής.

Αυτό θεωρώ πως με ζημίωσε, διότι έμαθα λιγότερα απ'όσα μπορούσα.
Αλλά δεν πειράζει...συνεχίζουμε.

Με εκτίμηση,

Αχιλλέας

Διάβασα το άρθρο και θα ήθελα την άποψή σας για την εξής άσκηση:

Να βρεθεί η συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε
Σε αυτή την άσκηση θέλουμε να βρούμε ένα "μαθηματικό αντικείμενο", την .Οπότε στο τέλος, αν δεν δουλέψουμε με ισοδυναμίες, είναι απαραίτητη η επαλήθευση.
Έστω ότι η άσκηση αλλάζει σε:
Αν ισχύει για κάθε, να δείξετε ότι για κάθε
Σε αυτή την περίπτωση, έχω την εντύπωση ότι δουλεύουμε με την ευθεία απόδειξη(και όχι με τη μέθοδο εύρεσης μαθηματικού αντικειμένου) και στο τέλος η επαλήθευση δεν χρειάζεται. Κάνω λάθος;