mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 21, 2011 1:50 am**

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 21, 2011 2:08 am**

Αν η

είναι σταθερή εύκολα βρίσκουμε $f(x)\equiv 0$ .
Αλλιώς έστω η μηδενίζεται για $x=a\neq 0$ . Τότε για x=a

παίρνουμε

.Άτοπο.
Αν $f(0)\neq 0$ τότε f(f(0)y)=f(f(0))

.Άτοπο.
Άρα f(x)=0

αν και μόνο αν x=0

.
Για $x\neq 0, y=\frac{f(x)-x}{f(x)}$ παίρνουμε xf(y)=0

, άρα

, δηλαδή $f(x)=x, x\neq0$
Άρα f(x)=x

για κάθε

, που είναι δεκτή.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 21, 2011 3:49 pm**

Επίσης, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=402262

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 28, 2014 6:41 pm**

Ας δούμε και το:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
$\Bbb{R}^+=(0,+\infty)$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 15, 2015 12:53 am**

socrates έγραψε:Ας δούμε και το:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y) ,$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$
$\Bbb{R}^+=(0,+\infty)$

Λύση:
http://artofproblemsolving.com/communit ... 20p3668234

mathematica.gr

Συναρτησιακή 93

Συναρτησιακή 93

Re: Συναρτησιακή 93

Re: Συναρτησιακή 93

Re: Συναρτησιακή 93

Re: Συναρτησιακή 93