mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 8:13 pm**

Δίνεται η εξίσωση $\sqrt {\lambda + 1} \cdot x^2 + \sqrt {\lambda ^2 + \lambda + 4} \cdot x + \sqrt {\lambda + 1} = 0$

α) Να βρεθούν οι τιμές του $\lambda \in R$ ώστε η εξίσωση να έχει λύση στο

.
β) Να δείξετε ότι για κάθε $\lambda > 3$ η εξίσωση έχει δύο αντίστροφες ρίζες.
γ) Να βρεθεί ο $\lambda \in R$ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζα την x_0 = - 1

και να δείξετε ότι αυτή είναι διπλή.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 25, 2011 8:44 pm**

α)
Πρέπει
$\displaystyle{\Delta \geq 0\Rightarrow \lambda ^2+\lambda +4-4\lambda -4\geq 0\Rightarrow \lambda ^2-3\lambda \geq 0\Rightarrow \lambda (\lambda -3)\geq 0\Rightarrow \lambda \in (-\infty,0]\cup[3,+\infty)}$

Όμως για να είναι πραγματικοί αριθμοί οι ρίζες πρέπει και $\displaystyle{\lambda \geq -1}$
Άρα $\displaystyle{\lambda \in [-1,0]\cup[3,+\infty)}$ (Για $\displaystyle{\lambda=-1}$ η εξίσωση είναι πρωτοβάθμια με λύση $\displaystyle{x=0}$ )

β)
Είναι γνωστό ότι από τη διακρίνουσα ότι για $\displaystyle{\lambda >3}$ η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις.
Από τους τύπους του Vieta:
$\displaystyle{P=\frac{\sqrt{\lambda +1}}{\sqrt{\lambda +1}}=1}$ .
Άρα η εξίσωση έχει δύο αντίστροφες πραγματικές λύσεις αφού έχουν γινόμενο $\displaystyle{1}$

γ)
Αν βάλουμε όπου $\displaystyle{x}$ το $\displaystyle{-1}$ προκύπτει:
$\displaystyle{\sqrt{\lambda ^2+\lambda +4}=2\sqrt{\lambda +1}\Rightarrow\lambda ^2+\lambda +4=4\lambda +4\Rightarrow \lambda =0 \; \eta \; \lambda =3}$

Αν αντικαταστήσουμε στην διακρίνουσα βλέπουμε ότι προκύπτει $\displaystyle{0}$ και στις δύο περιπτώσεις, άρα η λύση είναι διπλή.

mathematica.gr

Απλή Επαναληπτική

Απλή Επαναληπτική

Re: Απλή Επαναληπτική