mathematica.gr


https://www.mathematica.gr/forum/

Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=15183

Σελίδα 1 από 2

Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 29, 2011 12:52 pm
από Γιαννακάκης Αντώνης
Καλημέρα και χρόνια πολλά.

Ψάχνω επαναληπτικές ασκήσεις που να ξεφεύγουν, κατά λίγο, απ'τα πλαίσια του σχολικού βιβλίου και βοηθημάτων, πάνω στην ευθεία, αν είναι και κάποια συνδυαστική, να μπει και αυτή.

Ευχαριστώ.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 29, 2011 2:36 pm
από KARKAR
Η ευθεία \epsilon _{1}: 2x+3y-6=0 τέμνει τους άξονες xx' , yy' στα σημεία A , B αντίστοιχα .

Ευθεία \epsilon _{2} , κάθετη στην \epsilon _{1} , τέμνει τους άξονες xx' , yy' στα σημεία C , D αντίστοιχα .

Αν οι ευθείες BC , AD τέμνονται στο S(s,t) , να δειχθεί ότι : s^{2}+t^{2}=3s+2t .

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 29, 2011 9:56 pm
από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Να δείξετε ότι οι ευθείες )\kappa +1) x+(\kappa-1) y-(\kappa+5)=0, \kappa \in \mathbb{R} διέρχονται από
σταθερό σημείο. 'Υστερα να βρείτε ποιές από ,τις ευθείες αυτές τέμνουν το
τμήμα AB, όπου A(1, 0) καιB(2, 0).

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 29, 2011 11:29 pm
από m.pαpαgrigorakis
Άσκηση 3
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma. Έστω {\rm M} μεταβλητό σημείο της πλευράς {\rm B}\Gamma. Αν \Delta και {\rm E} είναι οι προβολές του {\rm M} στις {\rm A}{\rm B} και {\rm A}\Gamma αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος του \Delta {\rm E} διέρχεται από σταθερό σημείο.
Μίλτος

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 29, 2011 11:53 pm
από m.pαpαgrigorakis
Άλλη μία
Άσκηση 4
Είναι τα σημεία \left( {1, - 2} \right) και \left( { - 2,1} \right) προς το ίδιο μέρος της ευθείας 3x - 5y = 2 ή όχι;
Μ.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 30, 2011 1:07 am
από m.pαpαgrigorakis
Άσκηση 5
Ορθή γωνία \displaystyle{{\rm B}\hat A\Gamma } στρέφεται περί το σημείο {\rm A}\left( {4,6} \right). Οι πλευρές της τέμνουν τους ημιάξονες {\rm O}x και {\rm O}y στα σnμεία {\rm B} και \Gamma αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου {\rm M} του ευθ. τμήματος {\rm B}\Gamma
Μ.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 30, 2011 11:30 am
από Γιαννακάκης Αντώνης
m.pαpαgrigorakis έγραψε:Άσκηση 5
Ορθή γωνία \displaystyle{{\rm B}\hat A\Gamma } στρέφεται περί το σημείο {\rm A}\left( {4,6} \right). Οι πλευρές της τέμνουν τους ημιάξονες {\rm O}x και {\rm O}y στα σnμεία {\rm B} και \Gamma αντίστοιχα. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου {\rm M} του ευθ. τμήματος {\rm B}\Gamma
Μ.
Δεν την καταλαβαίνω την εκφώνηση αυτής, την αρχή συγκεκριμένα.

Άρχισα να προσπαθώ τις υπόλοιπες, όταν έχω αποτελέσματα, θα ποστάρω. Ευχαριστώ για τον κόπο σας.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 30, 2011 11:50 am
από m.pαpαgrigorakis
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε: Δεν την καταλαβαίνω την εκφώνηση αυτής, την αρχή συγκεκριμένα.
Άσκηση 5
Ένα σχήμα της, ίσως βοηθήσει

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 30, 2011 1:11 pm
από Γιαννακάκης Αντώνης
KARKAR έγραψε:Η ευθεία \epsilon _{1}: 2x+3y-6=0 τέμνει τους άξονες xx' , yy' στα σημεία A , B αντίστοιχα .

Ευθεία \epsilon _{2} , κάθετη στην \epsilon _{1} , τέμνει τους άξονες xx' , yy' στα σημεία C , D αντίστοιχα .

Αν οι ευθείες BC , AD τέμνονται στο S(s,t) , να δειχθεί ότι : s^{2}+t^{2}=3s+2t .
Λύση:
Ο συντελεστής της πρώτης ευθείας είναι \lambda _{1}=\frac{-2}{3}, συνεπώς ο συντελεστής \lambda _{2} της δεύτερης, επειδή το γινόμενο τους είναι -1 αφού δίνεται ότι είναι κάθετες, είναι ίσος με \lambda _{2}=\frac{3}{2}.

Για το σημείο Α θέτουμε όπου y=0 στην πρώτη ευθεία και προκύπτει A(3,0). Για το Β θέτουμε x=0 και βγαίνει B(0,2).

Η \epsilon _{2} γράφεται: \epsilon _{2} : y= \lambda _{2}x +k.

Για το σημείο C θέτουμε y=0 και έχουμε C(\frac{-2}{3}\kappa,0) και για το D βάζουμε x=0 οπότε D(0,\kappa).

Ας βρούμε τους συντελεστές των ευθειών (AD),(BC).

Είναι: \lambda _{BC}=\frac{3}{\kappa } και \lambda _{AD}=\frac{-\kappa}{3}.

Παρατηρούμε ότι \lambda _{BC}\lambda _{AD}=-1 άρα (BC)\perp (AD) οπότε και τα διανύσματα \vec{BS},\vec{SA} είναι κάθετα.

Τώρα έχουμε \vec{BS} \cdot \vec{SA}=0 \Rightarrow (s,t-2)(3-s,-t)=0\Rightarrow s(3-s)-t(t-2)=0\Rightarrow 3s - s^{2} -t^{2} +2t=0\Rightarrow s^{2} +t^{2}=3s + 2t.
ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:Να δείξετε ότι οι ευθείες (\kappa +1) x+(\kappa-1) y-(\kappa+5)=0, \kappa \in \mathbb{R} διέρχονται από
σταθερό σημείο. 'Υστερα να βρείτε ποιές από ,τις ευθείες αυτές τέμνουν το
τμήμα AB, όπου A(1, 0) καιB(2, 0).
Λύση (χρίζει εξέτασεις):
Η εξίσωση της οικογένειας ευθειών γράφεται: (\kappa +1) x+(\kappa-1) y-(\kappa+5)=0 \Rightarrow \kappa x + x + \kappa y -y - \kappa -5=0 \Rightarrow (x-y-5)+ \kappa (x+y-1)=0 \Rightarrow \begin{cases} & \text x-y=5 \\ & \text x+y=1 \end{cases} \Rightarrow, με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων παίρνουμε: 2x=6\Rightarrow x=3. Για x=3 η πρώτη σχέση δίνει y=x-5=-3.

Άρα το σταθερό σημείο είναι το \Sigma(2,-3).

Η ευθεία στην οποία ανήκουν τα A,B είναι η y=0 (σ'αυτό το σημείο της λύσης δεν είμαι σίγουρος, και είναι δυστυχώς κομβικό).

Λύνουμε το σύστημα:

\begin{cases} & \text (x-y-5)+ \kappa(x+y-1)=0 \\ & \text y=0 \end{cases} \Rightarrow (\epsilon_{1}): x-5+ \kappa x - \kappa=0.

Όμως, το σημείο \Sigma\in (\epsilon_{1}): 3-5+3 \kappa - \kappa=0 \Rightarrow \kappa=1 και, τέλος, για \kappa=1 η (\epsilon_{1}): x=3
Προς κύριο mpapagrigoraki, αν η άσκηση 3 χρειάζεται τύπους εσωτερικού γινομένου που είναι με προβολές διανυσμάτων, δεν είμαι σε θέση να την λύσω, καθώς έχουμε παραλείψει τους αντίστοιχους τύπους στο σχολείο.


Αν έχετε όρεξη και για άλλες ασκήσεις, θα επιθυμούσε 2-3 να εμπλέκουν και S,P (από τύπους Vieta), για να τα θυμηθώ λίγο, μιας και τα χρησιμοποιήσα φέτος σε κάποιες ασκήσεις.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 30, 2011 10:54 pm
από m.pαpαgrigorakis
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:
Προς κύριο mpapagrigoraki, αν η άσκηση 3 χρειάζεται τύπους εσωτερικού γινομένου που είναι με προβολές διανυσμάτων, δεν είμαι σε θέση να την λύσω, καθώς έχουμε παραλείψει τους αντίστοιχους τύπους στο σχολείο.
Καλησπέρα
Αντώνη δεν χρειάζονται τέτοιοι τύποι. Λύνεται χωρίς διανύσματα.

Μ.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 30, 2011 11:14 pm
από m.pαpαgrigorakis
Άσκηση 6
Ένα σημείο P του επιπέδου κινείται πάνω στην ευθεία y = x. Να βρείτε την ευθεία στην οποία κινείται το σημείο, που είναι συμμετρικό του Ρ ως προς την ευθεία x + 2y - 1 = 0
Μίλτος

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 12:09 am
από Γιαννακάκης Αντώνης
Νομίζω ότι χρειάζομαι μια βοήθεια στην #5 πριν δοκιμάσω την #6.

Παίρνω τον τύπο για κάθετα διανύσματα και βγάζω μια ευθεία, μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω. Έχω πάντα στο νου τον τύπο του μέσου βέβαια.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 12:33 am
από m.pαpαgrigorakis
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Νομίζω ότι χρειάζομαι μια βοήθεια στην #5 πριν δοκιμάσω την #6.

Παίρνω τον τύπο για κάθετα διανύσματα και βγάζω μια ευθεία, μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω. Έχω πάντα στο νου τον τύπο του μέσου βέβαια.
Δεν χρειάζεται να βρεις την ευθεία των ΒΓ. Αρκεί να πάρεις συντεταγμένες μέσου και μετά να απαλείψεις τις παραμέτρους (υποθέτω ότι χρησιμοποίησες). Περισσότερα στην
Υπόδειξη για την άσκηση 5
Έστω Β(κ,0) και Γ(0,λ)
Τότε θα ισχύει ότι \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A\Gamma } = 0 ή μετά από πράξεις 2\lambda + 3\kappa = 26 (1)
Το μέσον που ζητάμε έχει συντεταγμένες {\rm M}\left( {\frac{\kappa }{2},\frac{\lambda }{2}} \right).
Το σημείο \left( {x,y} \right) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου αν και μόνο αν
x = \frac{\kappa }{2} (2) και y = \frac{\lambda }{2} (3)
Από τις (1), (2), (3) σχέσεις απαλείφουμε τα \kappa ,\lambda και βρίσκουμε 2x+3y=13
Μίλτος

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 12:39 am
από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:
ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:Να δείξετε ότι οι ευθείες (\kappa +1) x+(\kappa-1) y-(\kappa+5)=0, \kappa \in \mathbb{R} διέρχονται από
σταθερό σημείο. 'Υστερα να βρείτε ποιές από ,τις ευθείες αυτές τέμνουν το
τμήμα AB, όπου A(1, 0) καιB(2, 0).
Λύση (χρίζει εξέτασεις):
..........
Η ευθεία στην οποία ανήκουν τα A,B είναι η y=0 (σ'αυτό το σημείο της λύσης δεν είμαι σίγουρος, και είναι δυστυχώς κομβικό).
Πρέπει να λάβεις υπόψιν και τα υπόλοιπα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 1:03 am
από Γιαννακάκης Αντώνης
ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:
ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:Να δείξετε ότι οι ευθείες (\kappa +1) x+(\kappa-1) y-(\kappa+5)=0, \kappa \in \mathbb{R} διέρχονται από
σταθερό σημείο. 'Υστερα να βρείτε ποιές από ,τις ευθείες αυτές τέμνουν το
τμήμα AB, όπου A(1, 0) καιB(2, 0).
Λύση (χρίζει εξέτασεις):
..........
Η ευθεία στην οποία ανήκουν τα A,B είναι η y=0 (σ'αυτό το σημείο της λύσης δεν είμαι σίγουρος, και είναι δυστυχώς κομβικό).
Πρέπει να λάβεις υπόψιν και τα υπόλοιπα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
Οπότε ακυρώνεται όλη η λύση.

Πώς είναι η ευθεία πάνω στην οποία είναι το AB;

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 1:15 am
από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:
Οπότε ακυρώνεται όλη η λύση.

Πώς είναι η ευθεία πάνω στην οποία είναι το AB;
Η εξίσωση της ευθείσς ΑΒ παραμένει y = 0 , και ορθά βρίσκεις σημείο τομης της παραμετρικής οικογένειας με τον χχ΄ άξονα. :coolspeak: Αλλά έχεις ευθύγραμμο τμήμα , και πρέπει να ορίσεις και τα υπόλοιπα σημεία του ΑΒ. ;)

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 7:23 pm
από Γιαννακάκης Αντώνης
m.pαpαgrigorakis έγραψε:
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Νομίζω ότι χρειάζομαι μια βοήθεια στην #5 πριν δοκιμάσω την #6.

Παίρνω τον τύπο για κάθετα διανύσματα και βγάζω μια ευθεία, μετά δεν ξέρω πως να συνεχίσω. Έχω πάντα στο νου τον τύπο του μέσου βέβαια.
Δεν χρειάζεται να βρεις την ευθεία των ΒΓ. Αρκεί να πάρεις συντεταγμένες μέσου και μετά να απαλείψεις τις παραμέτρους (υποθέτω ότι χρησιμοποίησες). Περισσότερα στην
Υπόδειξη για την άσκηση 5
Έστω Β(κ,0) και Γ(0,λ)
Τότε θα ισχύει ότι \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A\Gamma } = 0 ή μετά από πράξεις 2\lambda + 3\kappa = 26 (1)
Το μέσον που ζητάμε έχει συντεταγμένες {\rm M}\left( {\frac{\kappa }{2},\frac{\lambda }{2}} \right).
Το σημείο \left( {x,y} \right) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου αν και μόνο αν
x = \frac{\kappa }{2} (2) και y = \frac{\lambda }{2} (3)
Από τις (1), (2), (3) σχέσεις απαλείφουμε τα \kappa ,\lambda και βρίσκουμε 2x+3y=13
Μίλτος
Εγώ πήρα τον τύπο 2AM = AB + ΑΓ αλλά δεν βγάζω κάτι, μόνο τρόπος δηλαδή είναι αυτός;

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:
Οπότε ακυρώνεται όλη η λύση.

Πώς είναι η ευθεία πάνω στην οποία είναι το AB;
Η εξίσωση της ευθείσς ΑΒ παραμένει y = 0 , και ορθά βρίσκεις σημείο τομης της παραμετρικής οικογένειας με τον χχ΄ άξονα. :coolspeak: Αλλά έχεις ευθύγραμμο τμήμα , και πρέπει να ορίσεις και τα υπόλοιπα σημεία του ΑΒ. ;)

Γιατί δεν αρκεί η απάντησή μου;

Ρωτάει ποια ευθεία τέμνει το ΑΒ και εγώ λέω πως η μοναδική ευθεία είναι η x=3.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 8:34 pm
από m.pαpαgrigorakis
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Εγώ πήρα τον τύπο 2AM = AB + ΑΓ αλλά δεν βγάζω κάτι, μόνο τρόπος δηλαδή είναι αυτός;
Αυτός είναι ένας τρόπος. Κατά την γνώμη μου ο καλύτερος από όσους τρόπους ξέρω.
Και αυτό που γράφεις είναι μέρος ενός άλλου τρόπου λύσης, όμως πρέπει να δούμε λίγο ποιο ολοκληρωμένα τη σκέψη σου. Οπότε αν θες γράψε κάτι περισσότερο από τη λύση σου.
Μ.

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 9:26 pm
από ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:
Γιατί δεν αρκεί η απάντησή μου;

Ρωτάει ποια ευθεία τέμνει το ΑΒ και εγώ λέω πως η μοναδική ευθεία είναι η x=3.

Ένα σχήμα θα βοηθήσει στη διερεύνηση , η οποία θα πρέπει να είναι και πιο αναλυτική , και θα σου δείξει οτι δεν είναι η μοναδική ευθεία
Έστω Μ(λ,0) σημείο του τμήματος ΑΒ
(α) Αν λ=1 τότε ΜΞΑ και τότε κ =;
(β) Αν λ=2 τότε ΜΞΒ και τοτε κ=;
γ(γ) Αν 1<λ<2 τοτε Μ εσωτερικό του ΑΒ και τοτε κ=;

Re: Επαναληπτικές ασκήσεις στην ευθεία.

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 01, 2011 11:17 pm
από Γιαννακάκης Αντώνης
m.pαpαgrigorakis έγραψε:
Γιαννακάκης Αντώνης έγραψε:Εγώ πήρα τον τύπο 2AM = AB + ΑΓ αλλά δεν βγάζω κάτι, μόνο τρόπος δηλαδή είναι αυτός;
Αυτός είναι ένας τρόπος. Κατά την γνώμη μου ο καλύτερος από όσους τρόπους ξέρω.
Και αυτό που γράφεις είναι μέρος ενός άλλου τρόπου λύσης, όμως πρέπει να δούμε λίγο ποιο ολοκληρωμένα τη σκέψη σου. Οπότε αν θες γράψε κάτι περισσότερο από τη λύση σου.
Μ.
Πήρα και γω τυχαίες συντεταγμένες για τα B(a,0) και Γ(0,b) και χρησιμοποιήσα την καθετότητα και έφτασα στην ίδια σχέση.

Μετά βρήκα συντεταγμένες κέντρου M(a/2,b/2) και πήρα την σχέση 2AM = AB + ΑΓ, αντικαθιστώ συντεταγμένες και φτάνω σε μια σχέση που ισχύει, αλλά γεωμετρικός τόπος δεν εμφανίστηκε πουθενά.
Όλοι οι χρόνοι είναι UTC+02:00
Σελίδα 1 από 2

Δημιουργήθηκε από phpBB® Forum Software © phpBB Limited


Ελληνική μετάφραση από το phpbbgr.com