mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 04, 2011 7:10 pm**

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ABCD

. Αν

και

, βρείτε το λόγο: $\displaystyle\frac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {EBCFG} \right)}}$ , όπου $G \equiv DE \cap FK$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 04, 2011 11:01 pm**

Φίλε μου Μιχάλη, καλησπέρα

Έστω $\displaystyle{ AB = CD = a }$ και $\displaystyle{ AD = BC = b }$ Τότε θα είναι $\displaystyle{ FC = \frac{{EB}} {3}\mathop \Rightarrow \limits^{EB = \frac{{AB}} {2} = \frac{a} {2}} FC = \frac{a} {6} \Rightarrow \boxed{DF = \frac{{5a}} {6}} }$ .

Αν F’ είναι το σημείο τομής των ευθειών FK και ΑΒ τότε (επειδή Κ είναι το μέσο της DA) θα ισχύει : $\displaystyle{ F'A = DF = \frac{{5a}} {6}\mathop \Rightarrow \limits^{AE = \frac{a} {2}} \ldots \boxed{F'E = \frac{{4a}} {3}} }$

Προφανώς τα τρίγωνα GDF και GF’E είναι όμοια (από την παραλληλία των DF και F’E) οπότε ο λόγος δύο ομολόγων πλευρών τους (των DF, F'E) θα ισούται με το λόγο των αντιστοίχων υψών (GM, GN )δηλαδή

$\displaystyle{ \frac{{GM}} {{GN}} = \frac{{DF}} {{F'E}} = \frac{{\frac{{5a}} {6}}} {{\frac{{4a}} {3}}} \Rightarrow \ldots \frac{{GM}} {{GN}} = \frac{5} {8} \Rightarrow \frac{{GM}} {{GN + GM}} = \frac{5} {{5 + 8}}\mathop \Rightarrow \limits^{GN + GM = MN = BC = b} \frac{{GM}} {b} = \frac{5} {{13}} \Rightarrow \boxed{GM = \frac{{5b}} {{13}}}:\left( 1 \right) }$

Έτσι

$\displaystyle{ \left( {DGF} \right) = \frac{1} {2}\left( {DF} \right) \cdot \left( {GM} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),DF = \frac{{5a}} {6}} \left( {DGF} \right) = \frac{1} {2} \cdot \frac{{5b}} {{13}} \cdot \frac{{5a}} {6} \Rightarrow \left( {DGF} \right) = \frac{{25}} {{156}}ab\mathop \Rightarrow \limits^{ab = \left( {ABCD} \right)} \boxed{\left( {DGF} \right) = \frac{{25}} {{156}}\left( {ABCD} \right):\left( 2 \right)} }$

και

$\displaystyle{ \left( {DAE} \right) = \frac{1} {2}\left( {AD} \right) \cdot \left( {AE} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{AD = b,AE = \frac{a} {2}} \left( {DAE} \right) = \frac{1} {2} \cdot b \cdot \frac{a} {2} \Rightarrow \left( {DAE} \right) = \frac{1} {4}ab\mathop \Rightarrow \limits^{ab = \left( {ABCD} \right)} \boxed{\left( {DAE} \right) = \frac{1} {4}\left( {ABCD} \right):\left( 3 \right)} }$

Από (3) ,(4) με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

$\displaystyle{ \left( {DGF} \right) + \left( {DAE} \right) = \frac{{25}} {{156}}\left( {ABCD} \right) + \frac{1} {4}\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {ABCD} \right) - \left( {BCFGE} \right) = \frac{{64}} {{156}}\left( {ABCD} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {ABCD} \right) - \frac{{64}} {{156}}\left( {ABCD} \right) = \left( {BCFGE} \right) \Rightarrow \frac{{92}} {{156}}\left( {ABCD} \right) = \left( {BCFGE} \right) \Rightarrow \ldots \boxed{\frac{{\left( {ABCD} \right)}} {{\left( {BCFGE} \right)}} = \frac{{39}} {{23}}} }$

Με απέραντη φιλία

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 04, 2011 11:57 pm**

Και μια λύση με τη βοήθεια συντεταγμένων και εξισώσεων ευθειών.

: 04-5-2011 Γεωμετρία b.jpg (25.17 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων παίρνουμε τα σημεία
$\displaystyle A\left( {0,\;0} \right),\;E\left( {\frac{1}{2},\;0} \right),\;B\left( {1,\;0} \right),\;C\left( {1,\;\beta } \right),\;\;D\left( {0,\;\beta } \right),\;{\rm K}\left( {0,\;\frac{\beta }{2}} \right),\;\;\beta > 0$

Αφού $\displaystyle FC = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{6}AB \Rightarrow DF = \frac{5}{6}$ οπότε $\displaystyle F\left( {\frac{5}{6},\;\beta } \right)$ .

Η $\displaystyle DE$ έχει εξίσωση: $\displaystyle y = - 2\beta x + \beta$ και η $\displaystyle KF:\;y = \frac{{3\beta }}{5}x + \frac{\beta }{2}$ .

Τέμνονται στο $\displaystyle G\left( {\frac{5}{{26}},\;\frac{{8\beta }}{{13}}} \right)$ .

Φέρνουμε $\displaystyle GL \bot CD$ οπότε $\displaystyle GL = \beta - \frac{{8\beta }}{{13}} = \frac{{5\beta }}{{13}}$

Είναι: $\displaystyle \left( {DEA} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \beta = \frac{\beta }{4}$ και $\displaystyle \left( {DGF} \right) = \frac{1}{2}DF \cdot GL = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{{5\beta }}{{13}} = \frac{{25\beta }}{{156}}$

$\displaystyle \left( {EBCFG} \right) = \left( {ABCD} \right) - \left( {DEA} \right) - \left( {DGF} \right) = \beta - \frac{\beta }{4} - \frac{{25\beta }}{{156}} = \frac{{23\beta }}{{39}} \Rightarrow \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {EBCFG} \right)}} = \frac{{39}}{{23}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 05, 2011 12:08 am**

Με πρόλαβε ο Γιώργος με τις συντεταγμένες αλλά θα τη βάλω τη λύση μιας και την έγραψα αναλυτικά

Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο Α, και θετικό ημιάξονα Αx την ημιευθεία ΑΒ και θετικό ημιάξονα Αy την ημιευθεία ΑD. Τότε αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{ \left( {AB} \right) = a,\left( {AD} \right) = b }$ από τα δεδομένα του προβλήματος προφανώς οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β, C, F, D, E, E είναι όπως φαίνονται στο σχήμα.

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας EF (που υπάρχει εφόσον τα σημεία Ε και F έχουν διαφορετικές τετμημένες) είναι $\displaystyle{ \lambda _{EF} = \frac{{b - \frac{b} {2}}} {{\frac{{5a}} {6}}} \Rightarrow \lambda _{EF} = \frac{{\frac{b} {2}}} {{\frac{{5a}} {6}}} \Rightarrow \lambda _{EF} = \frac{{3b}} {{5a}} \Rightarrow \boxed{\left( {EF} \right):y - \frac{b} {2} = \frac{{3b}} {{5a}}x}:\left( 1 \right) }$

Ομοίως (για τον ίδιο λόγο υπάρχει και ο συντελεστής διεύθυνσης της ΒΕ) και είναι $\displaystyle{ \lambda _{DE} = \frac{{b - 0}} {{0 - \frac{a} {2}}} \Rightarrow \lambda _{DE} = - \frac{{2b}} {a} \Rightarrow \boxed{\left( {DE} \right):y - b = - \frac{{2b}} {a}x}:\left( 2 \right) }$

Η λύση του συστήματος των (1) και (2) προφανώς θα δώσει (συναρτήσει των a και b) τις συντεταγμένες του σημείου G.

Έχουμε:

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} y - \frac{b} {2} = \frac{{3b}} {{5a}}x \\ y - b = - \frac{{2b}} {a}x \\ \end{gathered} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( - \right)} \left\{ \begin{gathered} \frac{b} {2} = \frac{{3b}} {{5a}}x + \frac{{2b}} {a}x \\ y - b = - \frac{{2b}} {a}x \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{b} {2} = \frac{{13b}} {{5a}}x \\ y - b = - \frac{{2b}} {a}x \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{5a}} {{26}} \\ y - b = - \frac{{2b}} {a} \cdot \frac{{5a}} {{26}} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{5a}} {{26}} \\ y = \frac{{8b}} {{13}} \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{G\left( {\frac{{5a}} {{26}},\frac{{8b}} {{13}}} \right)} }$

Έχουμε:

$\displaystyle{ \overrightarrow {DF} = \left( {\frac{{5a}} {6} - 0,b - b} \right) \Rightarrow \boxed{\overrightarrow {DF} = \left( {\frac{{5a}} {6},0} \right)} }$ και $\displaystyle{ \overrightarrow {DG} = \left( {\frac{{5a}} {{26}} - 0,\frac{{8b}} {{13}} - b} \right) \Rightarrow \boxed{\overrightarrow {DG} = \left( {\frac{{5a}} {{26}}, - \frac{{5b}} {{13}}} \right)} }$

Έτσι έχουμε:

$\displaystyle{ \left( {DGF} \right) = \frac{1} {2}\left| {\det \left( {\overrightarrow {DF} ,\overrightarrow {DG} } \right)} \right| = \frac{1} {2}\left| {\left| {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{5a}} {6}} & 0 \\ {\frac{{5a}} {{26}}} & { - \frac{{5b}} {{13}}} \\ \end{array} } \right|} \right| \Rightarrow \left( {DGF} \right) = \frac{{25}} {{156}}ab\mathop \Rightarrow \limits^{ab = \left( {ABCD} \right)} \boxed{\left( {DGF} \right) = \frac{{25}} {{156}}\left( {ABCD} \right)}:\left( 1 \right) }$

Εύκολα βρίσκουμε:

$\displaystyle{ \left( {AED} \right)\mathop = \limits^{o\rho \theta o\gamma .} \frac{1} {2}\left( {AE} \right) \cdot \left( {AD} \right) = \frac{1} {2} \cdot \frac{a} {2} \cdot b \Rightarrow \left( {AED} \right) = \frac{1} {4}ab\mathop \Rightarrow \limits^{ab = \left( {ABCD} \right)} \boxed{\left( {AED} \right) = \frac{1} {4}\left( {ABCD} \right)}:\left( 2 \right) }$

Με πρόσθεση των (1) και (2) κατά μέλη παίρνουμε:

$\displaystyle{ \left( {DGF} \right) + \left( {AED} \right) = \frac{{25}} {{156}}\left( {ABCD} \right) + \frac{1} {4}\left( {ABCD} \right) = \frac{{64}} {{156}}\left( {ABCD} \right) = \left( {ABCD} \right) - \frac{{92}} {{156}}\left( {ABCD} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \frac{{92}} {{156}}\left( {ABCD} \right) = \left( {ABCD} \right) - \left( {DGF} \right) - \left( {AED} \right) \Rightarrow \frac{{92}} {{156}}\left( {ABCD} \right) = \left( {EBCFG} \right) \Rightarrow \ldots \boxed{\frac{{\left( {ABCD} \right)}} {{\left( {EBCFG} \right)}} = \frac{{39}} {{23}}} }$

Φιλικά

Στάθης

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 05, 2011 12:23 am**

Είναι εντυπωσιακό το ότι δόθηκαν ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ δύο παράλληλες (σχεδόν ταυτιζόμενες) προσεγγίσεις στην άσκηση, και μάλιστα ανορθόδοξες, λόγω φακέλου του θέματος.

Χειροκροτώ

το μεράκι (και την υπομονή) του Στάθη να γράψει αναλυτικότατα τη λύση του.

Γι' αυτό και τον προσπέρασα στο νήμα

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 05, 2011 7:54 am**

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Χειροκροτώ το μεράκι (και την υπομονή) του Στάθη να γράψει αναλυτικότατα τη λύση του.

Γιώργο θα συμφωνήσω. Ο τρόπος γραφής του Στάθη είναι υποδειγματικός. Αφού σας ευχαριστήσω για τις όμορφες λύσεις σας, να δώσω άλλη μια Γεωμετρική λύση στο πνεύμα του φίλου μου Στάθη.

Θέτω DK = KA = 13y

,

, άρα

και

. Φέρω την KH//AE

, οπότε

.

Τα τρίγωνα $GFD,\,GKH$ είναι όμοια (3 γωνίες ίσες), οπότε ο λόγος των υψών $GM,\,GN$ θα ισούται με το λόγο ομοιότητας καθώς και GM + GN = 13y

. Επομένως $GM = 10y,\,GN = 3y$ .

Θα ισχύει: $\left( {ABCD} \right) = \left( {EBCFG} \right) + \left( {FKD} \right) + \left( {GKH} \right) + \left( {KHEA} \right) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 12x \cdot 26y = \left( {EBCFG} \right) + \displaystyle\frac{{10x \cdot 13y}}{2} + \displaystyle\frac{{3x \cdot 3y}}{2} + \displaystyle\frac{{\left( {6x + 3x} \right)13y}}{2} \ldots \Leftrightarrow \left( {EBCFG} \right) = 184xy.$

Άρα $\displaystyle\frac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {EBCFG} \right)}} = \displaystyle\frac{{312xy}}{{184xy}} = \displaystyle\frac{{39}}{{23}}.$

mathematica.gr

Βρείτε το λόγο (11)

Βρείτε το λόγο (11)

Re: Βρείτε το λόγο (11)

Re: Βρείτε το λόγο (11)

Re: Βρείτε το λόγο (11)

Re: Βρείτε το λόγο (11)

Re: Βρείτε το λόγο (11)