mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 06, 2011 3:40 pm**

Σε κύκλο

η ακτίνα

είναι κάθετη στη διάμετρο

.

Συνδέω το μέσο

της

με το

, και χαράσσω τον κύκλο (M , MC)

που τέμνει την

στο

.

Να δειχθεί ότι η

είναι ίση με την πλευρά κανονικού πενταγώνου , εγγεγραμμένου στον (O , R)

.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 06, 2011 6:49 pm**

Είναι $\displaystyle{OC = R}$ και $\displaystyle{OM = \tfrac{R}{2}}$ .
Με πυθαγόρειο στο CMO: $\displaystyle{C{M^2} = {R^2} + \tfrac{{{R^2}}}{4} = \tfrac{{5{R^2}}}{4} \Rightarrow CM = \tfrac{{\sqrt 5 R}}{2}}$
$\displaystyle{\cos \widehat {CMO} = \tfrac{{MO}}{{CM}} = \tfrac{{\sqrt 5 }}{5}}$
Με νόμο συνημιτόνων στο MCD:

$\displaystyle{C{D^2} = C{M^2} + M{D^2} - 2 \cdot CM \cdot MD \cdot \cos \widehat {CMO}}$
$\displaystyle{ = \tfrac{{5{R^2}}}{4} + \tfrac{{5{R^2}}}{4} - 2\tfrac{{5{R^2}}}{4}\tfrac{{\sqrt 5 }}{5} = \tfrac{{10}}{4}{R^2} - \tfrac{{10\sqrt 5 }}{{20}}{R^2}}$
$\displaystyle{ = \tfrac{{10{R^2}}}{4} - \tfrac{{2\sqrt 5 }}{4}{R^2} \Rightarrow CD = \tfrac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{2}R}$ και το ζητούμενο εδείχθη.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 07, 2011 8:59 am**

Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο MOC

: $MC = \sqrt {O{C^2} + O{M^2}} = \sqrt {{R^2} + {{\left( {\displaystyle\frac{R}{2}} \right)}^2}} \ldots = \displaystyle\frac{{R\sqrt 5 }}{2}$ , οπότε:

$OD\mathop = \limits^{MD = MC} MC - MO = \displaystyle\frac{{R\sqrt 5 }}{2} - \displaystyle\frac{R}{2} = \displaystyle\frac{{R\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2} = {\lambda _{10}}$ .

Από Πυθαγόρειο στο τρίγωνο COD

: $CD = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}} = \sqrt {{R^2} + {\lambda _{10}}^2} = \ldots = \displaystyle\frac{{R\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{2} = {\lambda _5}$ .

mathematica.gr

Για υπομονετικούς

Για υπομονετικούς

Re: Για υπομονετικούς

Re: Για υπομονετικούς