mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 10, 2011 1:17 pm**

Αν

είναι μία ακολουθία συμπαγών υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ με στοιχεία ρητούς, να αποδείξετε ότι υπάρχει συμπαγές

υποσύνολο

του $\mathbb{R}$ με στοιχεία ρητούς ώστε $K_n^c \cap S \neq \varnothing, \forall n \in \mathbb{N}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μάιος 19, 2011 1:45 pm**

Πρόκειται για σχετικά γνωστή πρόταση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 20, 2011 6:39 am**

Μια πιο απλή δικαιολόγηση από αυτή του Ηλία που χρησιμοποιεί πολύ βαριά εργαλεία (τοπική συμπάγεια). Και με την ευκαιρεία:

Ηλία, το χρυσάφι που μας έφερες ήταν ένα βάλσαμο σ' αυτούς τους δύσκολους καιρούς. Λοιπόν

Σε κάθε διάστημα $[0,\frac {1}{n}]$ υπάρχει ένας τουλάχιστον ρητός $\displaystyle{s_n}$ που δεν ανήκει στο K_n

. Γιατί σε αντίθετη

περίπτωση, επειδή το $\displaystyle{K_n}$ είναι κλειστό,ως συμπαγές θα περιέχει και άρρητους (όρια ακολουθιών ρητών), το οποίο οδηγεί

σε αντίφαση.

Συνεπώς το σύνολο $S=\{0,s_1,s_2,...,s_n,...\}$ είναι το ζητούμενο συμπαγές (=κλειστό και φραγμένο)

mathematica.gr

Συμπαγή σύνολα ρητών

Συμπαγή σύνολα ρητών

Re: Συμπαγή σύνολα ρητών

Re: Συμπαγή σύνολα ρητών