mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 06, 2009 12:16 am**

Να βρεθεί το $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{\nu=1}^{\infty}{\frac{2\nu+1}{\nu^2(\nu+1)^2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 06, 2009 12:30 am**

$\displaystyle\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}$ .

Όμως κάθε μία από τις σειρές $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ και $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$

συγκλίνει (είναι γνωστό ότι $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ ). Άρα το ζητούμενο άθροισμα είναι ίσο με $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} - \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{6} +1 =1$ .

(Φυσικά δεν είναι αναγκαίο να γνωρίζουμε την τιμή του αθροίσματος $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ αφού εν τέλει εξαφανίζεται αλλά πρέπει να ξέρουμε ότι συγκλίνει για να μπορούμε να "σπάσουμε" το άθροισμα)

Αλέξανδρος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 06, 2009 12:35 am**

Γρηγόρη και λοιποί φίλοι γειά σας
Με ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων βρίσκουμε:
$\frac{2x+1}{x^{2}\left( x+1\right) ^{2}}=\allowbreak \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\left( x+1\right) ^{2}}$
Επομένως έχουμε "τηλεσκοπικη" σειρά της οποίας η ακολουθία μερικών αθροισμάτων είναι:
$\sum\limits_{i=1}^{\nu }\frac{2i+1}{i^{2}\left( i+1\right) ^{2}}=\allowbreak 1-\frac{1}{\left( \nu +1\right) ^{2}}$
από την οποία φαίνεται ότι το άθροισμα της σειράς είναι 1
Μαυρογιάννης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 06, 2009 12:56 am**

Αλέξανδρε δεν το είδα. Δεν πειράζει.
'Ετσι εν είδει συνειρμού:
Ο G. Simmons στο αριστουργηματικό έργο του
An Introduction to Topology and Mondern Analysis (Mc Graw Hill, 1963)
ένα από τα λίγα μαθηματικά βιβλία που αξιώθηκα να μελετήσω ολόκληρο σημειώνει στον πρόλογο του:

Μου φαίνεται ότι μπορεί να χαραχθεί μία αξιοσημείωτη διάκριση μεταξύ δύο τύπων καθαρών Μαθηματικών. Ο πρώτος, που ατυχώς επι του παρόντος είναι κάπως παρωχημένος, επικεντρώνει την προσοχή του σε συγκεκριμένες συναρτήσεις και θεωρήματα που είναι πλούσια νοήματος και ιστορίας, όπως η συνάρτηση γάμμα και το θεώρημα του πρώτου αριθμού, ή σε χυμώδη μεμονωμένα αποτελέσματα όπως ο υπέροχος τύπος του Euler
$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...=\frac{\pi ^{2}}{6}$
Ο δεύτερος αναφέρεται κυρίως στη μορφή και την δομή.

Αν και πάντα ένοιωθα ότι βρίσκομαι στην δεύτερη κατηγορία (όπως, κατά την δήλωση του, το συγκεκριμένο βιβλίο του Simmons) επίσης πάντα έννοιωθα κάποιο θαυμασμό και ζήλεια αν θέλετε για την τόλμη την σπιρτάδα και το μαθηματικό τσαγανό των ad hoc μεθόδων της πρώτης κατηγορίας.
Μαυρογιάννης

mathematica.gr

Άθροισμα σειράς

Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς

Re: Άθροισμα σειράς